Δεν υπάρχουν !

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν πολυώνυμα \( P(x) \) και \( Q(x) \), με \( Q(x) \neq 0 \), που να ικανοποιούν την εξίσωση: \[ \frac{P(x)}{Q(x)} = \sqrt{x^{2018} + 2017} \] για κάθε πραγματικό \( x \).

Αριθμητική τιμή

Δίνεται ότι η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου 

$p(x)=x^2−3x+5$ 

στο σημείο $x=k$ είναι ίση με $0$.

Να υπολογίσετε την τιμή του πολυωνύμου 

$q(x)=x^4−6x^3+9x^2−7$ 

στο σημείο $x=k$.

Πολυωνύμων ρίζες

$P(4) = ?$

Το πολυώνυμο $P(x)=ax^3 +bx^2 +cx−68000$ δίνει ένα υπόλοιπο $6000$ όταν διαιρείται με $x−1$, ένα υπόλοιπο $5000$ όταν διαιρείται με $x−2$ και ένα υπόλοιπο $4000$ όταν διαιρείται με $x − 3$. 

Ποιο είναι το υπόλοιπο όταν διαιρείται με το $x − 4$;

Find P(x)

$(x +y)(x+ z)(y+ z)=?$

Έστω $x, y$ και $z$ ρίζες της εξίσωσης 

$x^3 +ax^2 +bx − ab = 0$

όπου $a$ και $b$ είναι πραγματικοί αριθμοί. 

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

$Α=(x +y)(x+ z)(y+ z)$.

$p_2 + 2p_1 − 3p_0=?$

Έστω πολυώνυμο 

$P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 

με $a, b, c$ ακέραιους αριθμούς και $c$ περιττός. Αν $P(i)$ είναι η τιμή του πολυωνύμου όταν $x=i$ και 

$p^3_1 + p^3_2 + p^3_3 = 3p_1p_2p_3$

να βρεθεί η τιμή της παράστασης 

$p_2 + 2p_1 − 3p_0$.

Indian Olympiad Qualifier in Mathematics (IOQM) 2023

A Problem Set on Polynomials (80)

Click on the image.

Πολυώνυμα με συνθήκες

Δύο πολυώνυμα $f(x)$ και $g(x)$ ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: 

$f(x) · g(x)=4x^4 + 4x^3 + 13x^2 + 6x + 9 $

$f(x) + g(x)=4x^2 + 2x + 6$.

 

Να βρεθεί το γινόμενο των συντελεστών του $f(x)$.

Bangladesh Mathematical Olympiad 2012 | $P(10)=?$

$P(z_1) + P(z_2) + P(z_3)=?$

Έστω $z_1,z_2$ και $z_3$ οι ρίζες του πολυωνύμου 

$Q(x) = x^3 − 9x^2 + 1$

δηλαδή είναι 

$Q(z_1) = Q(z_2) = Q(z_3) = 0$. 

Αν 

$P(x) = x^5 − x^2 − x$ 

να βρεθεί το άθροισμα  

$P(z_1) + P(z_2) + P(z_3)$.

Άγνωστα πολυώνυμα

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $p(x)$ που ικανοποιούν την ταυτότητα 

$(x − 1)p(x+ 1) = (x +2)p(x)$ 

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$.

Εννιά συντελεστές

Έστω το πολυώνυμο ενάτου βαθμού $(4x − 2)^9$.

Το ανάπτυγμα του είναι της μορφής 

$(4x−2)^9 = c_0+c_1x+c_2x ^2+c_3x ^3+$

$+c_4x^ 4+c_5x ^5+c_6x^ 6+ c_7x ^7+c_8x ^8+c_9x ^9$.

Να βρεθεί το άθροισμα

$c_1+c_2+c_3+c_4+c_5+c_6+c_7+c_8+c_9$.

Δύο πολυώνυμα

Έστω δύο πολυώνυμα $f(x)$ και $g(x)$ για τα οποία ισχύουν: 

$$f(x) · g(x)=4x^4 + 4x^3 + 13x^2 + 6x + 9 \\ f(x) + g(x)=4x^2 + 2x + 6$$

Να βρεθεί το γινόμενο των συντελεστών του $f(x)$.

$x + y + z=?$

Αν 

$log_2(log_3(log_4 x)) = \\ log_3(log_4(log_2 y)) = \\ log_4(log_2(log_3 z)) = 0$

τότε η τιμή του αθροίσματος $x + y + z$ ισούται με: 

(A) $50$       (B) $58$        (C) $89$       (D) $111$      (E) $1296$

Παράγοντας το x - ρ

Έκτου βαθμού

Nα βρεθεί το άθροισμα των ριζών της πολυνυμικής εξίσωσης:

$$x^6 - 8x^5 +51x^4+302x^3+260x^2 - 1944x+1440 =0$$

(A) $1994$       (B) $12$       (C) $8$      (D) $4$      (E) $8$

Υπαρξιακό ερώτημα

Υπάρχει πολυώνυμο $P(x)$ με ακέραιους συντελεστές για το οποίο ισχύουν:

$P(13) = 21$ και $P(21)=34$?

$P(Q(x)) = P(x) Q(x) $

Έστω P(x) και Q(x) δύο μη σταθερά πολυώνυμα για τα οποία ισχύει 

$P(Q(x)) = P(x) Q(x) $

για όλα τα $x$. Να βρεθεί η τιμή $Q(1)$.

$P(-3)=?$