Πρόβλημα Κοινής Ρίζας Πολυωνύμων

Έστω $\{P_n(x){\}}_{n\ge 0}$ μια ακολουθία πολυωνύμων σε μία μεταβλητή $x$, που ορίζεται από

 $P_0(x)=1,P_1(x)=x$ 

και για όλους τους ακέραιους $n\ge 2$, ισχύει

$P_n(x)=x{P}_{n-1}(x)-P_{n-2}(x).$

Υπάρχει κοινή πραγματική ρίζα των 

$P_{2016}(x)-P_{2015}(x)$ και $\sum _{n=1}^{2015}{P}_n(x)$;

Πολυώνυμο πέμπτου βαθμού

Να βρεθεί πολυώνυμο $f(x)$ πέμπτου βαθμού, τέτοιο ώστε:

• $f(x)+1$ να είναι διαιρετό με $(x-1{)}^3$, και
• $f(x)-1$ να είναι διαιρετό με $(x+1{)}^3$.

Δίνεται η ένδειξη ότι η παράγωγος του πολυωνύμου, $f^{\prime }(x)$, περιλαμβάνει τον παράγοντα $(x^2-1{)}^2$.

Korea Math Olympiad Problem 2023

Να λυθεί η εξίσωση:

Ένα Πολυώνυμο που Παράγει Όλους τους Πρώτους Αριθμούς!

📌 Μπορεί ένα πολυώνυμο να παράγει όλους τους πρώτους αριθμούς;

Το 1976, μια ομάδα μαθηματικών από τον Καναδά και την Ιαπωνία, με επικεφαλής τον James P. Jones, ανακάλυψε ένα αξιοσημείωτο πολυώνυμο 26 μεταβλητών που έχει την εξής μοναδική ιδιότητα:

✅ Αν επιτρέψουμε στις 26 μεταβλητές του να παίρνουν τιμές στους μη αρνητικούς ακέραιους, τότε παράγει όλους τους πρώτους αριθμούς.

Άθροισμα συντελεστών πολυωνύμου

Γνωρίζουμε ότι οι ρίζες ενός πολυωνύμου τετάρτου βαθμού, του οποίου ο συντελεστής του όρου με την υψηλότερη δύναμη είναι $1,$ είναι ακέραιοι αριθμοί. Παρακάτω δίνονται κάποια τμήματα του γραφήματος αυτού του πολυωνύμου, που δείχνουν τα σημεία 

τομής με τους άξονες στον ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. 

Σύμφωνα με αυτά, ποιο είναι το άθροισμα των συντελεστών αυτού του πολυωνύμου;

Α) $72$

Β) $80$

Γ) $84$

Δ) $92$

Ε) $96$

Υπόλοιπο διαίρεσης πολυωνύμων

Δίνεται η εξίσωση $$\frac{P(2-3x)-2}{2\cdot Q(x-2)}=2x^3+5x+1$$ Αν ο σταθερός όρος του πολυωνύμου $P(x-1)$ είναι $-6$, τότε ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου $Q(x+1)$ με το $x+2$; $$\text{A) }-1\text{B) }-\frac{1}{2}\text{C) }\frac{1}{2}\text{D) }1\text{E) }2$$

Εύρεση πολυωνύμου

Να βρεθεί το πολυώνυμο $P(x).$

Δεν υπάρχουν !

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν πολυώνυμα $P(x)$ και $Q(x)$, με $Q(x)\ne 0$, που να ικανοποιούν την εξίσωση: $$\frac{P(x)}{Q(x)}=\sqrt{x^{2018}+2017}$$ για κάθε πραγματικό $x$.

Αριθμητική τιμή

Δίνεται ότι η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου 

$p(x)=x^2-3x+5$ 

στο σημείο $x=k$ είναι ίση με $0$.

Να υπολογίσετε την τιμή του πολυωνύμου 

$q(x)=x^4-6x^3+9x^2-7$ 

στο σημείο $x=k$.

Πολυωνύμων ρίζες

P(4)=?

Το πολυώνυμο $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-68000$ δίνει ένα υπόλοιπο $6000$ όταν διαιρείται με $x-1$, ένα υπόλοιπο $5000$ όταν διαιρείται με $x-2$ και ένα υπόλοιπο $4000$ όταν διαιρείται με $x-3$. 

Ποιο είναι το υπόλοιπο όταν διαιρείται με το $x-4$;

Find P(x)

(x+y)(x+z)(y+z)=?

Έστω $x,y$ και $z$ ρίζες της εξίσωσης 

$x^3+a{x}^2+bx-ab=0$

όπου $a$ και $b$ είναι πραγματικοί αριθμοί. 

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

${\rm A}=(x+y)(x+z)(y+z)$.

p2+2p1−3p0=?

Έστω πολυώνυμο 

$P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 

με $a,b,c$ ακέραιους αριθμούς και $c$ περιττός. Αν $P(i)$ είναι η τιμή του πολυωνύμου όταν $x=i$ και 

$p_1^3+p_2^3+p_3^3=3p_1{p}_2{p}_3$

να βρεθεί η τιμή της παράστασης 

$p_2+2p_1-3p_0$.

Indian Olympiad Qualifier in Mathematics (IOQM) 2023

A Problem Set on Polynomials (80)

Click on the image.

Πολυώνυμα με συνθήκες

Δύο πολυώνυμα $f(x)$ και $g(x)$ ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: 

$f(x)·g(x)=4x^4+4x^3+13x^2+6x+9$

$f(x)+g(x)=4x^2+2x+6$.

 

Να βρεθεί το γινόμενο των συντελεστών του $f(x)$.

Bangladesh Mathematical Olympiad 2012 | P(10)=?

P(z1)+P(z2)+P(z3)=?

Έστω $z_1,z_2$ και $z_3$ οι ρίζες του πολυωνύμου 

$Q(x)=x^3-9x^2+1$

δηλαδή είναι 

$Q(z_1)=Q(z_2)=Q(z_3)=0$. 

Αν 

$P(x)=x^5-x^2-x$ 

να βρεθεί το άθροισμα  

$P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)$.

Άγνωστα πολυώνυμα

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $p(x)$ που ικανοποιούν την ταυτότητα 

$(x-1)p(x+1)=(x+2)p(x)$ 

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$.

Εννιά συντελεστές

Έστω το πολυώνυμο ενάτου βαθμού $(4x-2{)}^9$.

Το ανάπτυγμα του είναι της μορφής 

$(4x-2{)}^9=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+c_3{x}^3+$

$+c_4{x}^4+c_5{x}^5+c_6{x}^6+c_7{x}^7+c_8{x}^8+c_9{x}^9$.

Να βρεθεί το άθροισμα

$c_1+c_2+c_3+c_4+c_5+c_6+c_7+c_8+c_9$.