THEOREM OF THE DAY: Thales’ Theorem

Click on the image.

Η μέτρηση του ύψους της Πυραμίδας του Χέοπα

Εισαγωγή

Η μέτρηση του ύψους της πυραμίδας του Χέοπα, από τον Θαλή, ενδεχομένως, να αποτελεί ένα πρώιμο παράδειγμα εφαρμογής της Τριγωνομετρίας. Ο υπολογισμός του απρόσιτου ύψους του εντυπωσιακού μνημείου επιτεύχθηκε χάρη στη σύνδεσή του, από τον Θαλή, με ένα “επίγειο” ανάλογό του.

Ο Θαλής ο Μιλήσιος

Ο Θαλής ο Μιλήσιος γεννήθηκε στη Μίλητο της Μ. Ασίας περίπου το 624 π.Χ.. Ήταν ο πρώτος απ’ τους επτά σοφούς της αρχαιότητας, ο πρώτος Έλληνας φιλόσοφος και, ίσως, ο πρώτος μαθηματικός, αφού εισήγαγε την απόδειξη στη Γεωμετρία. Θεωρείται ότι διδάχθηκε Γεωμετρία στον τόπο γέννησής της, δηλαδή στην Αίγυπτο.

Οι πρώτες γεωμετρικές έννοιες

Ποια ανάγκη, όμως, είχε ωθήσει τους Αιγύπτιους στη δημιουργία των πρώτων γεωμετρικών εννοιών; Η απάντηση πρέπει να αναζητηθεί σ’ ένα πρόβλημα πρακτικής φύσης. Οι Αιγύπτιοι κάθε φορά που πλημμύριζε ο Νείλος, έπρεπε να αποκαταστήσουν τα σύνορα των ιδιοκτησιών τους. Αυτό τους οδήγησε στο να ανακαλύψουν ένα σύνολο εμπειρικών κανόνων με πρακτικές εφαρμογές, κυρίως, σε μετρήσεις επί του εδάφους:

«Γη» + «μέτρηση» = «Γεωμετρία».

Θαλής: ο πατέρας της Γεωμετρίας

Ο Εύδημος (4ος-3ος αι. π.Χ.) αποδίδει στον Θαλή τον Μιλήσιο (περ. 624-548 π.Χ.) τα εύσημα για την εισαγωγή της γεωμετρίας από την Αίγυπτο στην Ελλάδα: αυτός της έδωσε ώθηση, κάνοντας πολλές ανακαλύψεις και επισημαίνοντας τις αρχές στους διαδόχους του, αντιμετωπίζοντας κάποια θέματα από γενική άποψη και άλλα με εμπειρικό τρόπο. 

Δεν αναφέρεται με ποιον τρόπο εννοούσε αυτήν τη γενίκευση, αλλά μία πάγια παράδοση υποδεικνύει τον Θαλή σαν τον πατέρα της θεωρητικο-επαγωγικής γεωμετρίας με την ευκλείδεια έννοια. Όμως, το ζήτημα δεν είναι τόσο προφανές. Στην πραγματικότητα, ο Πρόκλος (410-485) αναπαράγει από τον Εύδημο πληροφορίες που θα μπορούσαν να επιβεβαιώσουν τον ρόλο του Θαλή.

▪ Εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή

Θεώρημα

Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και μία παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του, έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου.

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΔΕ//ΒΓ. Θα αποδείξουμε ότι:

ΑΔΑΒ = ΑΕΑΓ = ΔΕΒΓ .

Επειδή ΔΕ//ΒΓ, από το θεώρημα του Θαλή έχουμε

ΑΔΑΒ = ΑΕΑΓ      (1).

Φέρουμε την ΕΖ παράλληλη της ΑΒ, οπότε το ΔΕΖΒ είναι παραλληλόγραμμο, άρα ΔΕ=ΒΖ (2).
Επειδή ΕΖ//ΑΒ, από το θεώρημα του Θαλή έχουμε

ΑΕΑΓ = ΒΖΒΓ       ή       ΑΕΑΓ = ΔΕΒΓ      (3).

Από τις (1) και (3) προκύπτει ότι ΑΔΑΒ = ΑΕΑΓ = ΔΕΒΓ .
Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Β' Λυκείου. 

▪ Παραβολές του Θαλή

Δίδονται δύο τεμνόμενες ευθείες GE, GH και σημείο F εκτός αυτών. Υπάρχει μία παραβολή εφαπτόμενη αυτών των ευθειών και εφαπτόμενη επίσης μιας απειρίας ευθειών UW, που προκύπτουν ως εξής:

Για κάθε κύκλο που διέρχεται από τα G και F θεωρούμε τα σημεία τομής του {U,W} με τις ευθείες GE, GH αντίστοιχα. Το σημείο F είναι η εστία της παραβολής ενώ η διευθετούσα της προσδιορίζεται εύκολα από τα δεδομένα (τις δύο ευθείες και το F).

Για περισσότερα κάντε κλικ εδώ.

▪ Thales’ Theorem

▪ Τα ελληνικά μαθηματικά εν συμβιώσει με την φιλοσοφίαν

Ιστορία των Μαθηματικών

Τα ελληνικά μαθηματικά εν συμβιώσει με την φιλοσοφίαν

 O Θαλής και ή Ιωνική Σχολή 

Ο Πυθαγόρας και η Ιταλική Σχολή 

Ελεάται, ατομικοί, σοφισταί

Ο Πλάτων καί ή Ακαδημία 

 Ο εύδοξος και η Σχολή της Κυζίκου

▪ Το θεώρημα του Θαλή

Κάντε κλικ εδώ.

▪ Θαλής ο Μιλήσιος

Ο Θαλής, ένας από τους Επτά Σοφούς της Ελλάδας.

▪ Θεώρημα Θαλή

Θεώρημα

Όταν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζουν στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα της άλλης.

 

▪ Πως το μέτρησε?

Από το βιβλίο της Γ Γυμνασίου.

▪Γεωμετρικές ανακαλύψεις

Το γεγονός ότι από όλους τους λαούς εκείνης της εποχής οι Έλληνες έκριναν ότι οι γεωμετρικές αλήθειες πρέπει να επαληθεύονται με λογική απόδειξη και όχι μόνο με πειραματικές μεθόδους, ονομάζεται πολλές φορές ελληνικό μυστήριο. Οι μελετητές έχουν προσπαθήσει να ερμηνεύσουν το ελληνικό μυστήριο και παρόλο που καμιά ερμηνεία δεν είναι από μόνη της ικανοποιητική........

Γύρω στα 600 π.Χ. η γεωμετρία μπαίνει σε ένα τρίτο στάδιο ανάπτυξης. Οι ιστορικοί των μαθηματικών αποδίδουν αυτή την εξέ­λιξη στους Έλληνες εκείνης της περιόδου και στις πρώτες πρωτο­ποριακές προσπάθειες του Θαλή του Μιλήσιου, ενός από τους «ε­φτά σοφούς» της αρχαιότητας. Φαίνεται πως ο Θαλής σπατάλησε το πρώτο μέρος της ζωής του ως έμπορος κι έγινε αρκετά πλούσιος ώστε να αφιερώσει το μεγαλύτερο μέρος της υπόλοιπης ζωής του σε μελέτες και μερικά ταξίδια. Επισκέφτηκε την Αίγυπτο κι έφερε μαζί του πίσω στη Μίλητο γνώσεις για τα επιτεύγματα των Αιγυ­πτίων στη γεωμετρία. Η πολύπλευρη μεγαλοφυία του έδωσε τη φήμη του πολιτικού, του συμβούλου, του μηχανικού, του επιχειρη­ματία, του φιλόσοφου, του μαθηματικού και του αστρονόμου. Είναι ο πρώτος άνθρωπος που έγινε γνωστός με το όνομα του στην ιστο­ρία των μαθηματικών και ο πρώτος με τον οποίο συνδέονται παρα­γωγικές γεωμετρικές ανακαλύψεις. Σ' αυτόν αποδίδονται τα παρα­κάτω στοιχειώδη αποτελέσματα: 

1. Ο κύκλος διχοτομείται από κάθε διάμετρο του. 

2. Οι γωνίες που βρίσκονται στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου

είναι ίσες. 

3. Οι κατακόρυφη γωνίες που σχηματίζονται από δύο τεμνόμενες

ευθείες είναι ίσες.

▪ Η συμβολή του Θαλή στην Γεωμετρία

Εργασία του Γιάννη  Π. Πλατάρου.

▪ Πρόσωπα και επιστήμες - Θαλής

Σειρά 5 επεισοδίων που παρουσιάζει, κάθε φορά, μια διακεκριμένη προσωπικότητα από το χώρο της επιστήμης των μαθηματικών, της φυσικής και της χημείας. Μέσα από γλαφυρά σκετς και πρακτικά παραδείγματα, γίνεται προσπάθεια να συνδεθούν θεωρήματα και νόμοι των θετικών επιστημών με τα ιστορικά πρόσωπα που τα διατύπωσαν και με τη σημερινή πρακτική τους χρησιμότητα.

▪ Θαλής ο Μιλήσιος

▪ Θαλής ο Μιλήσιος

Το θεώρημα του Θαλή και μερικές πρακτικές εφαρμογές του.     

▪ Μέτρηση ύψους πυραμίδας

Υπάρχουν δύο εκδοχές για τον τρόπο με τον οποίο ο Θαλής προκάλεσε το θαυμασμό, όταν ήταν στην Αίγυπτο, υπολογίζοντας το ύφος μιας πυραμίδας από τη σκιά της.

Η χρονικά πρώτη, που διατυπώθηκε από τον Ιερώνυμο, ένα μαθητή του Αριστοτέλη, λέει ότι ο Θαλής προσδιόρισε το ύφος της πυραμίδας μετρώντας τη σκιά που δημιουργούσε, τη στιγμή που η σκιά ενός ανθρώπου ήταν ίση με το ύφος του. Η δεύτερη εκδοχή, που διατυπώθηκε από τον Πλούταρχο, λέει ότι ο Θαλής έστησε ένα κοντάρι και στη συνέχεια έκανε χρήση όμοιων τριγώνων.

Howard Eves: «ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

▪ Ύψος πυραμίδας

Υπάρχουν δύο εκδοχές για τον τρόπο με τον οποίο ο Θαλής προκάλεσε το θαυμασμό- όταν ήταν στην Αίγυπτο- υπολογίζοντας στο ύψος μιας πυραμίδας από τη σκιά της. Η χρονικά πρώτη, που διατυπώθηκε από τον Ιερώνυμο, ένα μαθητή του Αριστοτέλη, λέει ότι ο Θαλής προσδιόρισε το ύφος της πυραμίδας μετρώντας τη σκιά που δημιουργούσε, τη στιγμή που η σκιά ενός ανθρώπου ήταν ίση με το ύψος του. Η δεύτερη εκδοχή, που διατυπώθηκε από τον Πλούταρχο, λέει ότι ο Θαλής έστησε ένα κοντάρι και στη συνέχεια έκανε χρήση όμοιων τριγώνων. Και οι δύο εκδοχές όμως δεν αναφέρουν τίποτα για την πραγματικά μεγάλη δυσκολία να μετρηθεί το μήκος της σκιάς της πυραμίδας — δηλαδή η απόσταση από τη σκιά της κορυφής της πυραμίδας μέχρι το κέντρο της βάσης της.