▪ Εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή

Θεώρημα

Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και μία παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του, έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου.

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΔΕ//ΒΓ. Θα αποδείξουμε ότι:

ΑΔΑΒ = ΑΕΑΓ = ΔΕΒΓ .

Επειδή ΔΕ//ΒΓ, από το θεώρημα του Θαλή έχουμε

ΑΔΑΒ = ΑΕΑΓ      (1).

Φέρουμε την ΕΖ παράλληλη της ΑΒ, οπότε το ΔΕΖΒ είναι παραλληλόγραμμο, άρα ΔΕ=ΒΖ (2).
Επειδή ΕΖ//ΑΒ, από το θεώρημα του Θαλή έχουμε

ΑΕΑΓ = ΒΖΒΓ       ή       ΑΕΑΓ = ΔΕΒΓ      (3).

Από τις (1) και (3) προκύπτει ότι ΑΔΑΒ = ΑΕΑΓ = ΔΕΒΓ .
Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Β' Λυκείου.