$e \neq Q$

Σαν σήμερα

Στις $6$ Μαρτίου $1939$ πέθανε ο Ferdinand von Lindemann. Ήταν ένας Γερμανός μαθηματικός γνωστός για την απόδειξή του, το $1882$, ότι ο αριθμός $π$ είναι ένας υπερβατικός αριθμός. 

Οι μέθοδοί του είναι παρόμοιες με εκείνες που επέτρεψαν στον Charles Hermite να αποδείξει ότι το $e$ είναι υπερβατικό το $1873$.

Υπερβατικός αριθμός $i^i$

Υπερβατικός αριθμός είναι κάθε αριθμός που δεν είναι ρίζα μη μηδενικού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Ο φανταστικός αριθμός $\sqrt{-1}   = i$ δεν είναι υπερβατικός (είναι η ρίζα του $x^2 +1)$, αλλά ο αριθμός $i^i$ είναι. 

Εκφράστε τον αριθμό $i^i$ σε εναλλακτική μορφή χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler $e^{iθ} = cos θ +isinθ$ και $τ = 2π$.

A) $sin^2 τ + cos^2 τ$
B) $sin e^ τ$
C) $e^{sinτ}$
D) $cos^{\frac{τ}{2}}$
(E) $e^{-\frac{τ}{4}}$

How Math Achieved Transcendence

In 1886 the mathematician Leopold Kronecker famously said, “God Himself made the whole numbers — everything else is the work of men.” Indeed, mathematicians have introduced new sets of numbers besides the ones used to count, and they have labored to understand their properties.

Although each type of number has its own fascinating and complicated history, today they are all so familiar that they are taught to schoolchildren. Integers are just the whole numbers, plus the negative whole numbers and zero. Rational numbers are those that can be expressed as a quotient of integers, such as $3,  -\dfrac{1}{2}$ and $\dfrac{57}{22}$. Their decimal expansions either terminate $(-\dfrac{1}{2} = −‍0,5)$ or eventually repeat $(\dfrac{57}{22} = 2,509090909…)$.

The Gelfond-Schneider theorem

The Gelfond-Schneider theorem is a partial positive answer to Hilbert's 7th Problem, giving a check for transcendability (not being the solution to ANY polynomial equation in rational coefficients) for a big class of numbers.

Σαν σήμερα

Σαν σήμερα το 1826, ο Νικολάι Λομπατσέφσκι παρέδωσε μια εργασία στα τμήματα μαθηματικών και φυσικής του Πανεπιστημίου του Καζάν σχετικά με τη «φανταστική του γεωμετρία». Αυτό ήταν αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως Υπερβολική Γεωμετρία.

mathshistory -Non-Euclidean_geometry

Η «υπερβατικότητα» του αριθμού π

Mερικά πράγματα όσο οικεία κι αν είναι δεν παύουν να προκαλούν θαυμασμό.

Όπως για παράδειγμα οι ιδιότητες του αριθμού $π=3.14159265358979323846…$

Ο αριθμός αυτός προκύπτει όταν διαιρούμε το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου με το μήκος της διαμέτρου του (ή μπορούμε να πούμε ότι είναι το εμβαδόν ενός κύκλου που έχει ακτίνα ίση με την μονάδα)

Το $π$ είναι υπερβατικός αριθμός, που σημαίνει ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές του οποίου να αποτελεί ρίζα το $π$.

Αλγεβρικοί και υπερβατικοί αριθμοί

Περιοδικό «Quantum»

Επιστολή Fermat προς τον Frenicle

Στις 18 Οκτωβρίου του 1640, ο Fermat έγραψε σε ένα γράμμα του προς τον Frenicle ότι αν ο αριθμός $p$ είναι πρώτος, τότε ο $p$ διαιρεί τον αριθμό $α^{p – 1} – 1$, για όλους τους ακέραιους αριθμούς α που δεν διαιρούνται από το $p$.

Η πρόταση αυτή σήμερα είναι γνωστή ως το μικρό θεώρημα του Fermat.

Μια ισοδύναμη διατύπωση είναι ότι αν ο $p$ είναι πρώτος τότε ο $p$ διαιρεί το $a^p – a$ για όλα τα ακέραια $a$. Το ερώτημα που προέκυψε φυσικά είναι αν η συγκεκριμένη ιδιότητα ικανοποιείται μόνο από τους πρώτους αριθμούς.

▪ Σύνολα αριθμών

$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{Z}$

▪ Θεώρημα Gelfond

Αν $a, b$ είναι μη μηδενικοί αλγεβρικοί αριθμοί και $a≠1$, τότε ο αριθμός 

$d=\frac{lnb}{lna}$

είναι είτε ρητός, είτε υπερβατικός.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ $e^ π ≅ π^e$

Μια μαθηματική σύμπτωση?

$e^ π ≅ π^e$

 

▪Προσεγγίσεις pandigital

▪ Υπερβατικό μυστήριο

Γνωρίζουμε ότι ο αριθμός π, ο αριθμός e και ο αριθμός e^π είναι υπερβατικοί αριθμοί. Αλλά μέχρι και σήμερα δεν γνωρίζουμε, αν οι αριθμοί π^e, e^e  και π^π είναι υπερβατικοί αριθμοί.
Κάποτε ίσως το μάθουμε.

▪ Αριθμός Champernowne

Ο αριθμός 0,123456789101112131415161718192021... που τα δεκαδικά του ψηφία είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί είναι υπερβατικός αριθμός και πήρε το όνομα του από τον Άγγλο μαθηματικό D.G.Champernowne, που δημοσίευσε μία εργασία του, το 1933.

▪ Η σταθερά Gelfond–Schneider

Η σταθερά Gelfond–Schneider είναι ο άρρητος αριθμός: 

Το 1930 ο Rodion Kuzmin απέδειξε ότι η σταθερά Gelfond–Schneider είναι και υπερβατικός αριθμός.

Πραγματικοί αριθμοί σε διάγραμμα Venn

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ A_R ⊂ R

▪ Πιθανότητα ΜΗΔΕΝ ρητός!

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών το φανταζόμαστε ως ένα συνεχές, ως μία ευθεία εκτεινόμενη επ’ άπειρο προς τη θετική και την αρνητική κατεύθυνση, μέσα δε σε αυτό το σύνολο βρίσκονται, ως σημεία,  όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, οι φυσικοί, οι ακέραιοι, τα κλάσματα, οι ρητοί, και οι ασύμμετροι, όπως ο ρίζα 2.

Ας κλείσουμε τα μάτια και ας επιλέξουμε στην τύχη ένα σημείο στο συνεχές των πραγματικών αριθμών.

Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε επιλέξει ρητό αριθμό και ποιά πιθανότητα άρρητο ?

Η διαίσθηση, σύμφωνα με όσα αναφέραμε παραπάνω, μας λέει ότι οι πιο συχνά εμφανιζόμενοι στις συναλλαγές μας, και άρα οι ‘περισσότεροι’ πραγματικοί αριθμοί δεν μπορεί παρά να είναι οι ρητοί,