Το σύνολο των πραγματικών αριθμών το φανταζόμαστε ως ένα συνεχές, ως μία ευθεία εκτεινόμενη επ’ άπειρο προς τη θετική και την αρνητική κατεύθυνση, μέσα δε σε αυτό το σύνολο βρίσκονται, ως σημεία, όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, οι φυσικοί, οι ακέραιοι, τα κλάσματα, οι ρητοί, και οι ασύμμετροι, όπως ο ρίζα 2.
Ας κλείσουμε τα μάτια και ας επιλέξουμε στην τύχη ένα σημείο στο συνεχές των πραγματικών αριθμών.
Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε επιλέξει ρητό αριθμό και ποιά πιθανότητα άρρητο ?
Η διαίσθηση, σύμφωνα με όσα αναφέραμε παραπάνω, μας λέει ότι οι πιο συχνά εμφανιζόμενοι στις συναλλαγές μας, και άρα οι ‘περισσότεροι’ πραγματικοί αριθμοί δεν μπορεί παρά να είναι οι ρητοί,
μια διαίσθηση η οποία ισχυροποιείται αν συμβεί να έχουμε διδαχθεί και την ιδιότητα πυκνότητας, όπως αποκαλείται, των ρητών αριθμών, ότι δηλαδή μεταξύ κάθε δύο πραγματικών αριθμών υπάρχει και ένας ρητός.
Όμως για άλλη μια φορά η διαίσθηση μας, σε σχέση με φαινόμενα απειρίας, είναι λανθασμένη. Στην πραγματικότητα με πιθανότητα ΕΝΑ, δηλαδή με πιθανοθεωρητική βεβαιότητα, ο αριθμός που τυχαία επιλέξαμε θα είναι άρρητος, και με πιθανότητα ΜΗΔΕΝ ρητός!
Δηλαδή υπάρχουν απείρως περισσότεροι άρρητοι αριθμοί από ότι ρητοί, κλάσματα, το δε σύνολο των ρητών μέσα στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών είναι αμελητέο !
Ακόμη δε και μεταξύ των αρρήτων, υπάρχουν οι ‘χειρότεροι’ (οι λεγόμενοι υπερβατικοί άρρητοι) και οι ‘καλύτεροι’ (οι αλγεβρικοί άρρητοι, όπως είναι η χρυσή τομή και η ρίζα 2). Οι απείρως περισσότεροι άρρητοι είναι οι χειρότεροι, σε σχέση με τους οποίους οι καλύτεροι είναι επίσης αμελητέοι.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου