Πέμπτο κλάσμα

Ποιο είναι το επόμενο κλάσμα;

 

Γνωρίζετε ότι ...

H σύγκλιση ή απόκλιση μιας ακολουθίας δεν έχει καμία σχέση με το πώς συμπεριφέρονται οι πρώτοι όροι της ακολουθίας. Eξαρτάται μόνο από τη συμπεριφορά της ουράς της.

Ακολουθία Look and Say

Εξετάστε την ακόλουθη σειρά αριθμών: 1, 11, 21, 1211,… Θα μπορούσατε να συνεχίσετε αυτή τη σειρά; Και ποιο είναι το μεγαλύτερο ψηφίο που θα εμφανιστεί ποτέ σε όλους αυτούς τους αριθμούς;

Αυτή η σειρά αριθμών είναι γνωστή ως η Look-and-Say ακολουθία. Κάθε όρος περιγράφει τον προηγούμενο.

Απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος με Αλγεβρική Προσέγγιση

Οι αριθμοί $a,b,$ και $c$ καλούνται πυθαγόρεια τριάδα αν ισχύει $a^2+b^2=c^2$. Έστω $a$ ένας περιττός θετικός ακέραιος και ότι οι $$b=\lfloor \frac{a^2}{2}\rfloor \text{και}c=\lceil {\displaystyle \frac{a^2}{2}}\rceil$$ είναι οι στρογγυλοποιημένες προς τα κάτω και προς τα άνω, αντίστοιχα, ακέραιες τιμές του ${\displaystyle \frac{a^2}{2}}$. 

Δείξτε ότι $a^2+b^2=c^2$.

(Υπόδειξη: Θέστε $a=2n+1$ και εκφράστε τα $b$ και $c$ συναρτήσει του $n$.)

Όροι αριθμητικής προόδου

Αν $p^2-qr$, $q^2-rp$, και $r^2-pq$ είναι όροι αριθμητικής προόδου και $p+q+r\ne 0$, τότε να αποδειχθεί ότι και οι αριθμοί $p,q,r$ αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου.

Άθροισμα Εμβαδών Άπειρων Ημικυκλίων

Tο ακόλουθο σχήμα δείχνει τις τρεις πρώτες γραμμές και μέρος της τέταρτης γραμμής μιας ακολουθίας γραμμών με ημικύκλια. H $n$-οστή γραμμή περιέχει $2^n$ ημικύκλια, ακτίνας  ${\displaystyle \frac{1}{2^n}}$. 

Nα βρεθεί το άθροισμα των εμβαδών όλων των ημικυκλίων

Binet's Formula

Έστω

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ 

με $F_0=0$, $F_1=1$, η ακολουθία Fibonacci, τότε $$F_n=\frac{{\varphi }^n-(-\varphi {)}^{-n}}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$$ Όπου $\varphi ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}=1.6180339875\dots$ είναι η χρυσή τομή.

Διαβάστε περισσότερα εδώ.

Η Χρυσή Σπείρα και η Ακολουθία Fibonacci στη Φύση και τα Μαθηματικά

Η ακολουθία Fibonacci $(1,1,2,3,5,8,13,21...)$ είναι μια μαθηματική ακολουθία όπου κάθε αριθμός προκύπτει ως άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτή η φαινομενικά απλή ακολουθία εμφανίζεται συχνά στη φύση, την τέχνη, την αρχιτεκτονική και ακόμα και στη μουσική, προσφέροντας μια εκπληκτική σύνδεση μεταξύ μαθηματικών και του φυσικού κόσμου.

Στην εικόνα βλέπουμε πώς σχηματίζεται η Χρυσή Σπείρα, μια προσεγγιστική εκδοχή της λογαριθμικής σπείρας. Τα τετράγωνα που εμφανίζονται έχουν πλευρές με μήκη ίσα με αριθμούς της ακολουθίας Fibonacci. Σχεδιάζοντας τόξα που ενώνουν τις αντίστοιχες γωνίες, προκύπτει η εμβληματική σπείρα, η οποία χαρακτηρίζεται από την αρμονία και την αισθητική ισορροπία.

Missing Number

 

Το πρόβλημα των ίσων καταθέσεων

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Καταθέτουμε σε μια τράπεζα στην αρχή κάθε χρόνου $\alpha$ ευρώ με ανατοκισμό και επιτόκιο $\epsilon \mathrm{\%}$. Τι ποσό θα πάρουμε ύστερα από $\nu$ χρόνια;

(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα των ίσων καταθέσεων).

ΛΥΣΗ

Η $1$η κατάθεση θα ανατοκιστεί για $\nu$ χρόνια και επομένως, σύμφωνα με τον τύπο του ανατοκισμού, θα γίνει $\alpha (1+\tau {)}^{\nu }$, όπου $\tau ={\displaystyle \frac{\epsilon }{100}}.$ 

Η $2$η κατάθεση θα ανατοκιστεί να $\nu -1$ χρόνια και επομένως θα γίνει $\alpha (1+\tau {)}^{\nu -1}$ κτλ. και η $v$-η κατάθεση θα τοκιστεί για $1$ χρόνο και θα γίνει $\alpha (1+\tau )$. 

Συνεπώς ύστερα από $\nu$ χρόνια θα πάρουμε το ποσό

Το πρόβλημα ανατοκισμού

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο $\epsilon$. Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προκύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. 

Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για $\nu$ χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του $\nu$-ου χρόνου.

(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ανατοκισμού).

ΛΥΣΗ

Στο τέλος του $1$ου χρόνου το κεφάλαιο $\alpha$ θα δώσει τόκο ${\displaystyle \frac{\epsilon }{100}}\cdot \alpha$ και μαζί με τον τόκο θα γίνει

75ος όρος ακολουθίας

Η αύξουσα ακολουθία$$1,5,6,25,26,30,31,125,126,\dots$$

αποτελείται από θετικούς ακέραιους που μπορούν να σχηματιστούν προσθέτοντας διακριτές δυνάμεις του $5$. 

$1=5^0$ , 

$5=5^1$ ,

$6=5^0+5^1$ 

και ούτω καθεξής. 

Ποιος είναι ο $75$ος ακέραιος σε αυτήν την ακολουθία;

Άθροισμα των n πρώτων όρων αριθμητικής προόδου

Έβδομος όρος

Τέλεια ακολουθία😉

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της παρακάτω ακολουθίας;

Νιοστός όρος

Ποιος είναι ο νιοστός όρος της παρακάτω ακολουθίας;

16ος όρος

Σε μία αριθμητική πρόοδο ο τρίτος όρος της είναι $32j+19k$ και ο δέκατος είναι $18j+12k$.

Να βρεθεί ο $16$ος όρος της, συναρτήσει των $j$ και $k$.

an=2022

Στην παρακάτω αύξουσα ακολουθία κάθε όρος έχει τα περισσότερα από τα μισά του ψηφία $2$: $$2,22,122,202,212,220,221,222,223,224,\dots .$$

Αν ο $n$-οστός όρος είναι ο $2022$, να βρεθεί ο $n$.

Binet's Formula

Binet's Formula

Επόμενος όρος

Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός σε αυτήν την ακολουθία:$$5,15,1115,3115,132115,1113122115,311311222115,?$$