Τέλεια ακολουθία😉

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της παρακάτω ακολουθίας;

Νιοστός όρος

Ποιος είναι ο νιοστός όρος της παρακάτω ακολουθίας;

16ος όρος

Σε μία αριθμητική πρόοδο ο τρίτος όρος της είναι $32j + 19k$ και ο δέκατος είναι $18j + 12k$.

Να βρεθεί ο $16$ος όρος της, συναρτήσει των $j$ και $k$.

$a_n=2022$

Στην παρακάτω αύξουσα ακολουθία κάθε όρος έχει τα περισσότερα από τα μισά του ψηφία $2$: $$2, 22, 122, 202, 212, 220, 221, 222, 223, 224, \dots.$$

Αν ο $n$-οστός όρος είναι ο $2022$, να βρεθεί ο $n$.

Binet's Formula

Binet's Formula

Επόμενος όρος

Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός σε αυτήν την ακολουθία:$$5, 15, 1115, 3115, 132115, 1113122115, 311311222115 , ?$$

Σωστή θέση

Τοποθετήστε τους αριθμούς $6, 10$ και $12$ στη σωστή θέση στην παρακάτω σειρά και συμπληρώστε την: $$1, 2, 4, 5, 9, 3, 7, 8, 11$$

Πιθανές ακολουθίες

Για να περάσει η ώρα σε μια σχολική εκδρομή με το λεωφορείο, μια ομάδα καθηγητών μαθηματικών δημιούργησε ένα ακολουθία αριθμών, με κάθε εκπαιδευτικό να λέει έναν όρο της ακολουθίας. 

Ο πρώτος και ο δεύτερος καθηγητής είπαν από έναν μη αρνητικό ακέραιο και κάθε ένας καθηγητής μετά από αυτόν είπε το άθροισμα όλων των προηγούμενων όρων της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, αν ο πρώτος καθηγητής είπε τον αριθμό $2$ και ο δεύτερος είπε τον αριθμό $8$, τότε

- ο τρίτος καθηγητής θα έλεγε το άθροισμα του πρώτου και του δεύτερου όρου, το οποίο είναι $2 + 8 = 10$, και

USAMO 1999/3: Introducing FAREY SEQUENCES !

$\lim _{n \to \infty } b_n=?$

Έβδομος όρος

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της παρακάτω ακολουθίας: $$148, 65, 55, 50, 25, 35, x$$

Επόμενος όρος

Ποιος είναι ο επόμενος όρος στην παρακάτω ακολουθία: $$2, 12, 1112, 3112,132112, ...$$

Ν-οστός όρος ακολουθίας Fibonacci

Δίνεται η ακολουθία Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...$ με αναδρομικό τύπο: $$F_{n+2} = F_n + F_{n+1}.$$

Nα αποδειχθεί ότι ο $n$-οστός όρος της $F_n$, δίνεται από τον τύπο

Ακολουθία δυνάμεων

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της παρακάτω ακολουθίας:

$9^2, 8^3, 7^4, 28^5, 18^6$

Exact value

Διπλασιαστική ακολουθία

Στην ακόλουθη αριθμητική ακολουθία, κάθε «όρος» προκύπτει αντιγράφοντας τον προηγούμενο «όρο» και, στη συνέχεια, διπλασιάζοντας τον:

Ποιος είναι ο $1990$ος  «όρος» σε αυτήν την ακολουθία;

$3997$ος όρος

Ποιος είναι ο $3997$ος όρος της ακολουθίας:

$$5, 0, 0, 0, -5, -5, 5, 0, 0, 0, -5, -5, 5, 0, 0, 0, -5, -5, …$$

Παράξενη ακολουθία

Κατασκευάζουμε μια ακολουθία θετικών ακεραίων με τον εξής τρόπο: μόλις γραφτεί ένας αριθμός, σχηματίζουμε τον επόμενο γράφοντας με την ίδια σειρά όλα τα ψηφία μειωμένα κατά $1$ και στη συνέχεια προσθέτουμε στα δεξιά αυτών των ψηφίων το αριθμό που δηλώνει το πλήθος των ψηφίων του προηγούμενου αριθμού. 

Για παράδειγμα, το $325$ θα ακολουθούσε το $2143$, ενώ το $4112$ θα ακολουθούσε το $314$.

Αν ξεκινήσουμε γράφοντας τον αριθμό $2994$, ποιος θα είναι ο $2024$ος αριθμός που θα γραφτεί;

Δύο γεωμετρικές πρόοδοι

Έστω $x, a_1, a_2, a_3, y$ και $b_1, x, b_2, 2y, b_3$ οι όροι δύο γεωμετρικών προόδων με $x \neq 0$ και $y \neq 0$. 

Να υπολογιστεί το πηλίκο $\dfrac{b_3a_1^8}{a_2^8b_1}$.

12.345ος όρος

Να βρεθεί ο $12.345$ος όρος της ακολουθίας 

$1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5,...$ 

(A) $155$

(B) $156$ 

(Γ) $157$ 

(Δ) $158$