Το πρόβλημα των ίσων καταθέσεων

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Καταθέτουμε σε μια τράπεζα στην αρχή κάθε χρόνου $α$ ευρώ με ανατοκισμό και επιτόκιο $ε\%$. Τι ποσό θα πάρουμε ύστερα από $ν$ χρόνια;

(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα των ίσων καταθέσεων).

ΛΥΣΗ

Η $1$η κατάθεση θα ανατοκιστεί για $ν$ χρόνια και επομένως, σύμφωνα με τον τύπο του ανατοκισμού, θα γίνει $α(1+τ)^ν$, όπου $τ=\dfrac{ε}{100}.$ 

Η $2$η κατάθεση θα ανατοκιστεί να $ν-1$ χρόνια και επομένως θα γίνει $α(1+τ)^{ν-1}$ κτλ. και η $v$-η κατάθεση θα τοκιστεί για $1$ χρόνο και θα γίνει $α(1 + τ)$. 

Συνεπώς ύστερα από $ν$ χρόνια θα πάρουμε το ποσό

Το πρόβλημα ανατοκισμού

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο $ε%$. Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προκύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. 

Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για $ν$ χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του $ν$-ου χρόνου.

(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ανατοκισμού).

ΛΥΣΗ

Στο τέλος του $1$ου χρόνου το κεφάλαιο $α$ θα δώσει τόκο $\dfrac{ε}{100}\cdot α$ και μαζί με τον τόκο θα γίνει

75ος όρος ακολουθίας

Η αύξουσα ακολουθία$$1, 5, 6, 25, 26, 30, 31, 125, 126, … $$

αποτελείται από θετικούς ακέραιους που μπορούν να σχηματιστούν προσθέτοντας διακριτές δυνάμεις του $5$. 

$1 = 5^ 0$ , 

$5 = 5^ 1$ ,

$6 = 5^ 0 + 5^ 1$ 

και ούτω καθεξής. 

Ποιος είναι ο $75$ος ακέραιος σε αυτήν την ακολουθία;

Άθροισμα των $n$ πρώτων όρων αριθμητικής προόδου

Έβδομος όρος

Τέλεια ακολουθία😉

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της παρακάτω ακολουθίας;

Νιοστός όρος

Ποιος είναι ο νιοστός όρος της παρακάτω ακολουθίας;

16ος όρος

Σε μία αριθμητική πρόοδο ο τρίτος όρος της είναι $32j + 19k$ και ο δέκατος είναι $18j + 12k$.

Να βρεθεί ο $16$ος όρος της, συναρτήσει των $j$ και $k$.

$a_n=2022$

Στην παρακάτω αύξουσα ακολουθία κάθε όρος έχει τα περισσότερα από τα μισά του ψηφία $2$: $$2, 22, 122, 202, 212, 220, 221, 222, 223, 224, \dots.$$

Αν ο $n$-οστός όρος είναι ο $2022$, να βρεθεί ο $n$.

Binet's Formula

Binet's Formula

Επόμενος όρος

Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός σε αυτήν την ακολουθία:$$5, 15, 1115, 3115, 132115, 1113122115, 311311222115 , ?$$

Σωστή θέση

Τοποθετήστε τους αριθμούς $6, 10$ και $12$ στη σωστή θέση στην παρακάτω σειρά και συμπληρώστε την: $$1, 2, 4, 5, 9, 3, 7, 8, 11$$

Πιθανές ακολουθίες

Για να περάσει η ώρα σε μια σχολική εκδρομή με το λεωφορείο, μια ομάδα καθηγητών μαθηματικών δημιούργησε ένα ακολουθία αριθμών, με κάθε εκπαιδευτικό να λέει έναν όρο της ακολουθίας. 

Ο πρώτος και ο δεύτερος καθηγητής είπαν από έναν μη αρνητικό ακέραιο και κάθε ένας καθηγητής μετά από αυτόν είπε το άθροισμα όλων των προηγούμενων όρων της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, αν ο πρώτος καθηγητής είπε τον αριθμό $2$ και ο δεύτερος είπε τον αριθμό $8$, τότε

- ο τρίτος καθηγητής θα έλεγε το άθροισμα του πρώτου και του δεύτερου όρου, το οποίο είναι $2 + 8 = 10$, και

USAMO 1999/3: Introducing FAREY SEQUENCES !

$\lim _{n \to \infty } b_n=?$

Έβδομος όρος

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της παρακάτω ακολουθίας: $$148, 65, 55, 50, 25, 35, x$$

Επόμενος όρος

Ποιος είναι ο επόμενος όρος στην παρακάτω ακολουθία: $$2, 12, 1112, 3112,132112, ...$$

Ν-οστός όρος ακολουθίας Fibonacci

Δίνεται η ακολουθία Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...$ με αναδρομικό τύπο: $$F_{n+2} = F_n + F_{n+1}.$$

Nα αποδειχθεί ότι ο $n$-οστός όρος της $F_n$, δίνεται από τον τύπο

Ακολουθία δυνάμεων

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της παρακάτω ακολουθίας:

$9^2, 8^3, 7^4, 28^5, 18^6$

Exact value