Το πρόβλημα ανατοκισμού

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο $\epsilon$. Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προκύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. 

Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για $\nu$ χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του $\nu$-ου χρόνου.

(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ανατοκισμού).

ΛΥΣΗ

Στο τέλος του $1$ου χρόνου το κεφάλαιο $\alpha$ θα δώσει τόκο ${\displaystyle \frac{\epsilon }{100}}\cdot \alpha$ και μαζί με τον τόκο θα γίνει

Στο τέλος του $2$ου χρόνου το κεφάλαιο ${\alpha }_1$, θα δώσει τόκο ${\displaystyle \frac{\epsilon }{100}}\cdot {\alpha }_1$ και μαζί με τον τόκο θα γίνει

Στο τέλος του 3ου χρόνου το κεφάλαιο ${\alpha }_2$ μαζί με τους τόκους θα γίνει

και γενικά στο τέλος του $\nu$ χρόνου το κεφάλαιο θα γίνει

Παρατηρούμε ότι τα ${\alpha }_1{\alpha }_2,{\alpha }_3,...,$ αν είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου με

Άρα, σύμφωνα με τον τύπο του $\nu$ όρου γεωμετρικής προόδου, στο τέλος του νου χρόνου το κεφάλαιο $\alpha$ μαζί με τους τόκους θα γίνει

Αν θέσουμε ${\displaystyle \frac{\epsilon }{100}}=\tau$ που είναι ο τόκος του ενός ευρώ σε ένα χρόνο, έχουμε τον τύπο

 ${\alpha }_{\nu }=\alpha (1+\tau {)}^{\nu }$

που είναι γνωστός ως τύπος του ανατοκισμού.

Από το σχολικό βιβλίο της Α΄ Λυκείου.