ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο $ε%$. Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προκύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο.
Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για $ν$ χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του $ν$-ου χρόνου.
(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ανατοκισμού).
ΛΥΣΗ
Στο τέλος του $1$ου χρόνου το κεφάλαιο $α$ θα δώσει τόκο $\dfrac{ε}{100}\cdot α$ και μαζί με τον τόκο θα γίνει
Στο τέλος του $2$ου χρόνου το κεφάλαιο $α_1$, θα δώσει τόκο $\dfrac{ε}{100}\cdot α_1$ και μαζί με τον τόκο θα γίνει
Στο τέλος του 3ου χρόνου το κεφάλαιο $α_2$ μαζί με τους τόκους θα γίνει
και γενικά στο τέλος του $ν$ χρόνου το κεφάλαιο θα γίνει
Παρατηρούμε ότι τα $α_1 α_2, α_3,...,$ αν είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου με
Άρα, σύμφωνα με τον τύπο του $ν$ όρου γεωμετρικής προόδου, στο τέλος του νου χρόνου το κεφάλαιο $α$ μαζί με τους τόκους θα γίνει
Αν θέσουμε $\dfrac{ε}{100}=τ$ που είναι ο τόκος του ενός ευρώ σε ένα χρόνο, έχουμε τον τύπο
$α_ν=α(1+τ)^ν$
που είναι γνωστός ως τύπος του ανατοκισμού.
Από το σχολικό βιβλίο της Α΄ Λυκείου.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου