Ο Ραμανουτζάν εντυπωσιάζει με τις μαθηματικές του ισότητες

Χειρόγραφο του Σρινιβάσα Ραμανούτζαν

Μια σελίδα από την επιστολή του Σρινιβάσα Ραμανούτζαν το 1913 προς τον μαθηματικό G. H. Hardy, όπου παρουσιάζονται μαθηματικές σχέσεις και τύποι που ανακάλυψε ο ίδιος.

Κύβος και τέταρτη δύναμη

Ο Ινδός μαθηματικός Ramanujan επεσήμανε ότι ο αριθμός $1729$ ήταν ιδιαίτερος, αφού το 

$1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3$. 

Η τιμή $1729$ είναι στην πραγματικότητα η μικρότερη που μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα δύο θετικών κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους.

Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα ενός θετικού κύβου και μιας τέταρτης δύναμης με δύο διαφορετικούς τρόπους;

Η απάντηση είναι: $4097 = 1^3 + 8^4 = 16^3 + 1^4$ .

Ποιος είναι ο επόμενος μικρότερος τέτοιος αριθμός;

Dear Mr Hardy ...

Επιστολή από τον Srinivasa Ramanujan στον G.H. Hardy.

Math Is Still Catching Up to the Mysterious Genius of Srinivasa Ramanujan

One afternoon in January 2011, Hussein Mourtada leapt onto his desk and started dancing. He wasn’t alone: Some of the graduate students who shared his Paris office were there, too. But he didn’t care. 

The mathematician realized that he could finally confirm a sneaking suspicion he’d first had while writing his doctoral dissertation, which he’d finished a few months earlier. He’d been studying special points, called singularities, where curves cross themselves or come to sharp turns. 

Ramanujan's nested radical

Ramanujan–Soldner constant

In mathematics, the Ramanujan–Soldner constant (also called the Soldner constant) is a mathematical constant defined as the unique positive zero of the logarithmic integral function. It is named after Srinivasa Ramanujan and Johann Georg von Soldner.

Its value is approximately 

$μ ≈ 1.45136923488338105028396848589202744949303228…$

Read more »

Hardy Rating

Ο G. H. Hardy κάποτε βαθμολόγησε τους μαθηματικούς σε μια κλίμακα από το $1$ έως το $100$ για το ταλέντο τους. 

Ο Hardy έδωσε στον εαυτό του βαθμολογία $25$, στον συνάδελφο του Littlewood βαθμολογία $30$, στον Hilbert $80$ και στον Ramanujan τέλεια βαθμολογία $100$.

ΒΙΒΛΙΟ: Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics (pdf)

Ο Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920) δεν απέδειξε κανένα από τους χιλιάδες τύπους που ανακάλυψε. Αυτός ήταν ο τρόπος λειτουργίας του: Πρώτα, ανέπτυσσε μια μαθηματική δομή, μετά τοποθετούσε διάφορους αριθμούς σε αυτήν τη δομή και έπαιρνε κάποια αποτελέσματα.

Όταν ο Srinivasa Ramanujan ήταν δεκαέξι χρονών, βρήκε ένα βιβλίο που ονομάζεται «Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics».

$π= \dfrac{9801}{1103 \sqrt{8}}$

Ο μαθηματικός Srinivasa Ramanujan ανακάλυψε σχεδόν 4.000 θεωρήματα και εξισώσεις, μοναδικές και πρωτοποριακές.

Ο Ramanujan έλυσε αυτό το πρόβλημα όταν ήταν στο κολέγιο

Taxicab number

Αριθμοί των ταξί στα μαθηματικά, είναι οι αριθμοί που συμβολίζονται, Ta(n) ή Taxicab(n), και ορίζονται ως εξής: ο μικρότερος αριθμός ο οποίος μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο θετικών αλγεβρικών κύβων, με n διαφορετικούς τρόπους. 

Το όνομα προήλθε από ένα περιστατικό που συνέβη στους μαθηματικούς Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι και Σρινιβάσα Ραμανούτζαν. 

Ο Χάρντι γράφει:

THEOREM OF THE DAY: The Ramanujan Partition Congruences

Click on the image.

Ramanujan - type Diamond ...

Squaring the Circle (Journal of the Indian Mathematical Society, v. 1913

Ένας (κατά προσέγγιση) τετραγωνισμός του κύκλου που δημοσιεύτηκε από τον Ramanujan στο Journal of Indian Mathematical Society, το $1913$, με $π≃\dfrac{355}{113}$!

Srinivasa Ramanujan: The Mathematician and His Legacy

Τα τετράδια του Ραμανουτζάν

Ενώ ακόμη βρισκόταν στο Μαντράς, ο Ραμανούτζαν κατέγραψε τον κύριο όγκο των υπολογισμών του σε τέσσερα τετράδια. Ο μεγαλύτερος αριθμός αυτών των υπολογισμών γράφτηκε χωρίς να έχει κύριες πηγές. 

Αυτή ήταν, πιθανώς, και η αρχή της εσφαλμένης εκτίμησης ότι ο Ραμανούτζαν δεν ήταν ικανός να αποδείξει τις θεωρίες του και ότι απλά σκεφτόταν το τελικό αποτέλεσμα των υπολογισμών του με ακρίβεια. 

Άπειρη σειρά για τον αριθμό $π$

Ο μαθηματικός Srinivasa Ramanujan ανακάλυψε σχεδόν $4.000$ θεωρήματα και εξισώσεις, μοναδικές και πρωτοποριακές. 

Ορισμένα από τα αποτελέσματά του ήταν τόσο προχωρημένα που δεν αποδείχθηκαν παρά μόνο δεκαετίες μετά το θάνατό του. Προέβλεψε επίσης ορισμένες έννοιες που αργότερα έγιναν μέρος των σύγχρονων μαθηματικών και της φυσικής, όπως τα φράκταλ, οι σπονδυλωτές μορφές, η θεωρία των χορδών και η κοσμολογία των μαύρων οπών.

Το μαγικό τετράγωνο του Srinivasa Ramanujan

- Άθροισμα αριθμών σε σειρές, στήλες ή διαγωνίους = $139$. 

- Άθροισμα γωνιών = $139$. 

- Το άθροισμα σε οποιοδήποτε τετράγωνο $2x2 = 139$. 

- Η πρώτη σειρά "$22 12 18 87$" είναι τα γενέθλια του Ramanujan ($22/12/1887$). 

- Ποια άλλα $139$ μοτίβα μπορείτε να βρείτε εδώ;

Golden Ratio and a Ramanujan - Type Integral

 

Κάντε κλικ στην εικόνα.