Μαθηματικά από Έναν Άλλο Κόσμο: Οι Εμπνεύσεις του Ραμανουτζάν

 

Ένα Άθροισμα του Ramanujan και η Σχέση του με το π

Ο Srinivasa Ramanujan, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, ανακάλυψε ένα εξαιρετικά ενδιαφέρον άθροισμα: $$1-5{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3+9{\left({\displaystyle \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)}^3-13{\left({\displaystyle \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)}^3+\cdots ={\displaystyle \frac{2}{\pi }}.$$

Ο γενικός όρος της ακολουθίας είναι: $$a_n=(-1{)}^n(4n+1){\left({\displaystyle \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}\right)}^3.$$

Η ιδιαιτερότητα αυτής της σειράς είναι ότι, αν και είναι δύσκολο να αποδειχθεί ακριβώς, μπορεί να επαληθευτεί αριθμητικά ως προσέγγιση με τη χρήση υπολογιστή. 

Το συγκεκριμένο παράδειγμα προέρχεται από την επιστολή του Ramanujan προς τον G. H.Hardy, στην οποία περιέγραφε μοναδικές ταυτότητες και προσεγγίσεις.

Η Ανακάλυψη του Ramanujan: Ένα Βιβλίο που Άλλαξε τη Μαθηματική Ιστορία

Το $1903$, όταν ο Srinivasa Ramanujan ήταν μόλις 16 ετών, βρήκε ένα βιβλίο σε μια τοπική βιβλιοθήκη στην Κοϊμπατούρ της Ινδίας που θα άλλαζε τη ζωή του και την πορεία των μαθηματικών. Το βιβλίο αυτό ήταν το "A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics" του George Shoobridge Carr. 

Περιείχε μια απίστευτη συλλογή από σχεδόν $5.000$ μαθηματικά θεωρήματα και τύπους από διάφορους τομείς των μαθηματικών, όπως την άλγεβρα, την ανάλυση, και τη θεωρία αριθμών, αλλά χωρίς αποδείξεις ή λεπτομερείς εξηγήσεις.

Ο γραφικός χαρακτήρας του Srinivasa Ramanujan

Ο πραγματικός γραφικός χαρακτήρας του διάσημου μαθηματικού Srinivasa Ramanujan. Εδώ είναι ένα τμήμα ενός χειρόγραφου του $1913$, στο οποίο χρησιμοποίησε το κλάσμα  ${\displaystyle \frac{355}{113}}$ ως ρητή προσέγγιση για του $\pi$. 

From Madras to Cambridge: The Journey of Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan was a brilliant Indian mathematician whose groundbreaking contributions transformed fields such as mathematical analysis, number theory, and infinite series. 

Despite having minimal formal training in mathematics, Ramanujan independently developed sophisticated theories and formulas that astonished even the most prominent mathematicians of his era. His work, known for its depth and elegance, continues to inspire and shape modern mathematical research.

Ramanujan's Master Theorem

One of Ramanujan's significant contributions is the Master Theorem, a powerful tool for evaluating integrals in certain conditions. It connects integrals with the derivatives of a function at zero, providing a bridge between continuous and discrete analysis. The theorem can be stated as:

Ο Ραμανουτζάν εντυπωσιάζει με τις μαθηματικές του ισότητες

Χειρόγραφο του Σρινιβάσα Ραμανούτζαν

Μια σελίδα από την επιστολή του Σρινιβάσα Ραμανούτζαν το 1913 προς τον μαθηματικό G. H. Hardy, όπου παρουσιάζονται μαθηματικές σχέσεις και τύποι που ανακάλυψε ο ίδιος.

Κύβος και τέταρτη δύναμη

Ο Ινδός μαθηματικός Ramanujan επεσήμανε ότι ο αριθμός $1729$ ήταν ιδιαίτερος, αφού το 

$1729=1^3+{12}^3=9^3+{10}^3$. 

Η τιμή $1729$ είναι στην πραγματικότητα η μικρότερη που μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα δύο θετικών κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους.

Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα ενός θετικού κύβου και μιας τέταρτης δύναμης με δύο διαφορετικούς τρόπους;

Η απάντηση είναι: $4097=1^3+8^4={16}^3+1^4$ .

Ποιος είναι ο επόμενος μικρότερος τέτοιος αριθμός;

Dear Mr Hardy ...

Επιστολή από τον Srinivasa Ramanujan στον G.H. Hardy.

Math Is Still Catching Up to the Mysterious Genius of Srinivasa Ramanujan

One afternoon in January 2011, Hussein Mourtada leapt onto his desk and started dancing. He wasn’t alone: Some of the graduate students who shared his Paris office were there, too. But he didn’t care. 

The mathematician realized that he could finally confirm a sneaking suspicion he’d first had while writing his doctoral dissertation, which he’d finished a few months earlier. He’d been studying special points, called singularities, where curves cross themselves or come to sharp turns. 

Ramanujan's nested radical

Ramanujan–Soldner constant

In mathematics, the Ramanujan–Soldner constant (also called the Soldner constant) is a mathematical constant defined as the unique positive zero of the logarithmic integral function. It is named after Srinivasa Ramanujan and Johann Georg von Soldner.

Its value is approximately 

$\mu \approx 1.45136923488338105028396848589202744949303228\dots$

Read more »

Hardy Rating

Ο G. H. Hardy κάποτε βαθμολόγησε τους μαθηματικούς σε μια κλίμακα από το $1$ έως το $100$ για το ταλέντο τους. 

Ο Hardy έδωσε στον εαυτό του βαθμολογία $25$, στον συνάδελφο του Littlewood βαθμολογία $30$, στον Hilbert $80$ και στον Ramanujan τέλεια βαθμολογία $100$.

ΒΙΒΛΙΟ: Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics (pdf)

Ο Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920) δεν απέδειξε κανένα από τους χιλιάδες τύπους που ανακάλυψε. Αυτός ήταν ο τρόπος λειτουργίας του: Πρώτα, ανέπτυσσε μια μαθηματική δομή, μετά τοποθετούσε διάφορους αριθμούς σε αυτήν τη δομή και έπαιρνε κάποια αποτελέσματα.

Όταν ο Srinivasa Ramanujan ήταν δεκαέξι χρονών, βρήκε ένα βιβλίο που ονομάζεται «Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics».

π=980111038

Ο μαθηματικός Srinivasa Ramanujan ανακάλυψε σχεδόν 4.000 θεωρήματα και εξισώσεις, μοναδικές και πρωτοποριακές.

Ο Ramanujan έλυσε αυτό το πρόβλημα όταν ήταν στο κολέγιο

Taxicab number

Αριθμοί των ταξί στα μαθηματικά, είναι οι αριθμοί που συμβολίζονται, Ta(n) ή Taxicab(n), και ορίζονται ως εξής: ο μικρότερος αριθμός ο οποίος μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο θετικών αλγεβρικών κύβων, με n διαφορετικούς τρόπους. 

Το όνομα προήλθε από ένα περιστατικό που συνέβη στους μαθηματικούς Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι και Σρινιβάσα Ραμανούτζαν. 

Ο Χάρντι γράφει:

THEOREM OF THE DAY: The Ramanujan Partition Congruences

Click on the image.

Ramanujan - type Diamond ...

Squaring the Circle (Journal of the Indian Mathematical Society, v. 1913

Ένας (κατά προσέγγιση) τετραγωνισμός του κύκλου που δημοσιεύτηκε από τον Ramanujan στο Journal of Indian Mathematical Society, το $1913$, με $\pi \simeq {\displaystyle \frac{355}{113}}$!