Ένα Άθροισμα του Ramanujan και η Σχέση του με το π

Ο Srinivasa Ramanujan, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, ανακάλυψε ένα εξαιρετικά ενδιαφέρον άθροισμα: $$1-5{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3+9{\left({\displaystyle \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)}^3-13{\left({\displaystyle \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)}^3+\cdots ={\displaystyle \frac{2}{\pi }}.$$

Ο γενικός όρος της ακολουθίας είναι: $$a_n=(-1{)}^n(4n+1){\left({\displaystyle \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}\right)}^3.$$

Η ιδιαιτερότητα αυτής της σειράς είναι ότι, αν και είναι δύσκολο να αποδειχθεί ακριβώς, μπορεί να επαληθευτεί αριθμητικά ως προσέγγιση με τη χρήση υπολογιστή. 

Το συγκεκριμένο παράδειγμα προέρχεται από την επιστολή του Ramanujan προς τον G. H.Hardy, στην οποία περιέγραφε μοναδικές ταυτότητες και προσεγγίσεις.