Απειροστικές Ριζικές: Ένα Μαθηματικό Ταξίδι με τον Ραμανούτζαν

Ο Σρινιβάσα Ραμανούτζαν, ένας αυτοδίδακτος Ινδός μαθηματικός, ανακάλυψε έναν εντυπωσιακό τύπο που συνδέει άπειρες εμφωλευμένες ρίζες με έναν απλό ακέραιο αριθμό. 

Συγκεκριμένα, απέδειξε ότι:

$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots }}}}=3$

Η μέθοδος που χρησιμοποίησε ήταν η εξής: 

Ξεκίνησε από τη γενική σχέση:

$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}$

Στη συνέχεια, αντικατέστησε το γινόμενο $(n+1)(n+3)$ με την ίδια του μορφή, δηλαδή:

$(n+1)(n+3)=(n+1)\sqrt{1+(n+2)(n+4)}$

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, κατέληξε στην άπειρη ακολουθία:

$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{1+\cdots }}}}$

Θέτοντας $n=1$, προκύπτει ο αρχικός τύπος.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ο Ραμανούτζαν δεν ασχολήθηκε με την αυστηρή μαθηματική απόδειξη της σύγκλισης της άπειρης ακολουθίας. Ωστόσο, η διαίσθησή του ήταν σωστή.

Με ανάλογο τρόπο, μπορεί κανείς να αποδείξει και τον παρόμοιο τύπο:

$\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}}=4$