Η Μαγική Λωρίδα του Möbius: Ένα Παράδοξο της Γεωμετρίας

Η λωρίδα του Möbius είναι ένα από τα πιο εντυπωσιακά και παράδοξα αντικείμενα στη μαθηματική τοπολογία. Πρόκειται για μια μονόπλευρη, μη προσανατολισμένη επιφάνεια με μία μόνο άκρη, που αψηφά τη συνηθισμένη μας αντίληψη του χώρου.

Ανακαλύφθηκε το 1858 από τον Γερμανό μαθηματικό August Ferdinand Möbius, του οποίου το όνομα φέρει, και από τότε έχει γοητεύσει επιστήμονες, καλλιτέχνες και φιλοπερίεργους.

---

Πώς Δημιουργείται;

Μπορείτε να φτιάξετε μια λωρίδα του Möbius μόνοι σας με ένα απλό πείραμα:

ΒΙΒΛΙΟ: A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry (pdf)

Click on the image.

ΒΙΒΛΙΟ: Combinatorial Topology Vol. 1 (pdf)

Click on the image.

Το Θεώρημα του Jordan: Μια Προφανής Αλήθεια με Δύσκολη Απόδειξη

Το Θεώρημα της Καμπύλης του Jordan (Jordan Curve Theorem) δηλώνει ότι κάθε απλή, κλειστή, συνεχής καμπύλη στο επίπεδο χωρίζει το επίπεδο σε δύο χωριστές περιοχές: μια εσωτερική και μια εξωτερική, με την ίδια την καμπύλη ως το κοινό τους σύνορο.

Γιατί είναι δύσκολο να αποδειχθεί;

Αν και το θεώρημα φαίνεται διαισθητικά προφανές, η αυστηρή μαθηματική του απόδειξη αποδείχθηκε ιδιαίτερα δύσκολη. Ο Camille Jordan το διατύπωσε το $1887$, αλλά η απόδειξή του δεν ήταν πλήρως αυστηρή. Η πρώτη αυστηρή απόδειξη δόθηκε από τον Oswald Veblen το $1905$.

A great set of lectures on Topology - Bruno Zimmermann (20 video)

Click on the image.

Καμπυλώνοντας την όπως ο Bernoulli

Τα Δαχτυλίδια Borromean: Ένα Μαθηματικό Παράδοξο στην Τοπολογία και τη Θεωρία Κόμβων

Η οικογένεια Borromeo του δουκάτου του Μιλάνου τον 15ο αιώνα χρησιμοποίησε το οικόσημό της που απεικόνιζε τρία δαχτυλίδια ενωμένα με έναν ιδιαίτερο τρόπο. Τα δαχτυλίδια αυτά είναι γνωστά ως "δαχτυλίδια Borromean" ή "Borromean knot". 

Αυτή η διάταξη είναι μαθηματικά ενδιαφέρουσα επειδή τα τρία δαχτυλίδια συνδέονται με τέτοιον τρόπο ώστε αν αφαιρεθεί οποιοδήποτε από τα δαχτυλίδια, τα υπόλοιπα δύο δεν παραμένουν συνδεδεμένα.

The Klein Bottle

- by Jos Leys

Τοπολογικό origami

Από ένα οκτάγωνο σε μια επιφάνεια γένους $2$ - από τον Jos Leys.

Ο Τοπολογικός Χάρτης των Ηνωμένων Πολιτειών: Μια Διαφορετική Ματιά στην Συνέχεια και τη Σύνδεση

Αυτή η εικόνα με τίτλο "The Topologist's Map of the Contiguous United States" αναπαριστά έναν τοπολογικό χάρτη, όπου οι πολιτείες έχουν τοποθετηθεί έτσι ώστε να αποφεύγονται απομονωμένες ή αποκομμένες περιοχές, διασφαλίζοντας ότι κάθε πολιτεία παραμένει συνεχόμενη.

Γεωγραφική Αναπαράσταση: Ο χάρτης διατηρεί την γειτνίαση των πολιτειών, αλλά αναδιατάσσει τις θέσεις τους για να εξασφαλίσει τη συνεχιζόμενη σύνδεσή τους. Για παράδειγμα, η περιοχή των Μεγάλων Λιμνών (IL, MI, MN) έχει προσαρμοστεί για να αποφευχθεί η δημιουργία κενών.

Τοπολογία [2]

Τοπολογία

ΒΙΒΛΙΟ: Algebraic Topology (pdf)

Click on the image.

ΒΙΒΛΙΟ: Algebraic Topology (pdf)

Click on the image.

Περίεργα τoπολογικά ζωάκια. Η φιάλη του Klein

2 - Ποιος είναι ο εικονιζόμενος μαθηματικός;

O μαθηματικός στην παρακάτω φωτογραφία συνέβαλε θεμελιωδώς στην Τοπολογία και τη Διαφορική Γεωμετρία.

Ποιος είναι; 

Α) Raoul Bott

Β) Pierre de Fermat

Γ) Kurt Gödel 

Δ) Jean-Pierre Serre

A Proof That Some Spaces Can’t Be Cut

Mathematicians have solved the century-old triangulation conjecture, a major problem in topology that asks whether all spaces can be subdivided into smaller units.

The question is deceptively simple: Given a geometric space — a sphere, perhaps, or a doughnut-like torus — is it possible to divide it into smaller pieces? In the case of the two-dimensional surface of a sphere, the answer is clearly yes.

Το θεώρημα της ταξινόμησης των επιφανειών

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία τα σχήματα μπορούν να υφίστανται μετασχηματισμούς και να θεωρούνται ισοδύναμα ή αλλιώς όμοια. 

Αντίθετα, η τοπολογία μας δίνει μια πιο χαλαρή ιδέα για την ισοδυναμία στα σχήματα. Πρόκειται να ασχοληθούμε με συμπαγείς επιφάνειες (με και χωρίς σύνορο) που έχουν επίπεδα πολυγωνικά μοντέλα, γνωστές και ως δισδιάστατες πολλαπλότητες. 

Τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με εκείνες τις ιδιότητες των αντικειμένων που δεν επηρεάζονται όταν υφίστανται συνεχείς παραμορφώσεις.

Διαβάστε περισσότερα »

THEOREM OF THE DAY: Kuratowski’s 14-Set Theorem

Click on the image.

Τα Μαθηματικά στην καθημερινότητα | 7. Τοπολογία (Topology)

Καλώς ήρθατε στον εκπληκτικό και ποικιλόμορφο κόσμο των μαθηματικών! Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε $16$ διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών και θα δούμε πώς παίζουν καθοριστικό ρόλο στην καθημερινή μας ζωή. 

Από την ασφάλεια των διαδικτυακών μας δεδομένων μέχρι τη βοήθεια στην πρόβλεψη του καιρού, τα μαθηματικά είναι κάτι περισσότερο από απλά.

7. Τοπολογία (Topology)

Η Τοπολογία, η μελέτη των σχημάτων και των χώρων, βοηθά στην επιστήμη των δικτύων. Βοηθά στην ανάλυση των εγκεφαλικών δικτύων, των κοινωνικών αλληλεπιδράσεων, ακόμη και της συνδεσιμότητας στο διαδίκτυο, βελτιώνοντας τις επιδόσεις και την κατανόηση.

How Is Topology Applicable to the Real World?