ΒΙΒΛΙΟ: Algebraic Topology (pdf)

Click on the image.

Περίεργα τoπολογικά ζωάκια. Η φιάλη του Klein

2 - Ποιος είναι ο εικονιζόμενος μαθηματικός;

O μαθηματικός στην παρακάτω φωτογραφία συνέβαλε θεμελιωδώς στην Τοπολογία και τη Διαφορική Γεωμετρία.

Ποιος είναι; 

Α) Raoul Bott

Β) Pierre de Fermat

Γ) Kurt Gödel 

Δ) Jean-Pierre Serre

A Proof That Some Spaces Can’t Be Cut

Mathematicians have solved the century-old triangulation conjecture, a major problem in topology that asks whether all spaces can be subdivided into smaller units.

The question is deceptively simple: Given a geometric space — a sphere, perhaps, or a doughnut-like torus — is it possible to divide it into smaller pieces? In the case of the two-dimensional surface of a sphere, the answer is clearly yes.

Το θεώρημα της ταξινόμησης των επιφανειών

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία τα σχήματα μπορούν να υφίστανται μετασχηματισμούς και να θεωρούνται ισοδύναμα ή αλλιώς όμοια. 

Αντίθετα, η τοπολογία μας δίνει μια πιο χαλαρή ιδέα για την ισοδυναμία στα σχήματα. Πρόκειται να ασχοληθούμε με συμπαγείς επιφάνειες (με και χωρίς σύνορο) που έχουν επίπεδα πολυγωνικά μοντέλα, γνωστές και ως δισδιάστατες πολλαπλότητες. 

Τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με εκείνες τις ιδιότητες των αντικειμένων που δεν επηρεάζονται όταν υφίστανται συνεχείς παραμορφώσεις.

Διαβάστε περισσότερα »

THEOREM OF THE DAY: Kuratowski’s 14-Set Theorem

Click on the image.

Τα Μαθηματικά στην καθημερινότητα | 7. Τοπολογία (Topology)

Καλώς ήρθατε στον εκπληκτικό και ποικιλόμορφο κόσμο των μαθηματικών! Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε $16$ διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών και θα δούμε πώς παίζουν καθοριστικό ρόλο στην καθημερινή μας ζωή. 

Από την ασφάλεια των διαδικτυακών μας δεδομένων μέχρι τη βοήθεια στην πρόβλεψη του καιρού, τα μαθηματικά είναι κάτι περισσότερο από απλά.

7. Τοπολογία (Topology)

Η Τοπολογία, η μελέτη των σχημάτων και των χώρων, βοηθά στην επιστήμη των δικτύων. Βοηθά στην ανάλυση των εγκεφαλικών δικτύων, των κοινωνικών αλληλεπιδράσεων, ακόμη και της συνδεσιμότητας στο διαδίκτυο, βελτιώνοντας τις επιδόσεις και την κατανόηση.

How Is Topology Applicable to the Real World?

Klein Bottle

Klein Bottle

Möbius strip and gears

Through one hole or two?

A Torus by Revolution, using Autograph

ΒΙΒΛΙΟ: Τοπολογία, του Σπύρου Καπελλίδη

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή: mathematica

Möbius Strip

Η λωρίδα του Μέμπιους ή Ταινία του Μέμπιους (διεθνώς: Möbius strip) είναι μια επιφάνεια με μόνο μία πλευρά (όταν εμφυτευθεί σε τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο) και μόνο ένα σύνορο. Η λωρίδα του Μέμπιους έχει την μαθηματική ιδιότητα να μην είναι προσανατολιζόμενη. 

Η ανακάλυψή της αποδίδεται στους Γερμανούς μαθηματικούς Άουγκουστ Φερντιναντ Μέμπιους και Γιόχαν Μπένεντικτ Λίστινγ το 1858, αν και μια δομή παρόμοια με την λωρίδα του Μέμπιους φαίνεται στα ρωμαϊκά μωσαϊκά που χρονολογούνται γύρω στο 200-250 μ.Χ..

Από wikipedia.

Ομοτοπική ισοδυναμία καμπυλών

Έστω η οικογένεια

κλειστών παραμετρικών καμπυλών. Οι εικόνες τους θεωρούνται ως τοπολογικοί χώροι εφοδιασμένοι με την επαγόμενη τοπολογία του .Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η είναι ομοτοπικά ισοδύναμη με την .

Για τις καμπύλες που είναι ομοτοπικά ισοδύναμες με την να δοθεί μια ομοτοπική ισοδυναμία.

Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζονται καμπύλες της οικογένειας για .

Πηγή: mathematica

«If geometry is dressd in a suit coat topology dons jeans and a T-shirt»

Topologist's Map of the United States

To a topologist, two shapes are "the same" if one can be stretched, twisted, and distorted into the other shape without breaking or tearing it. Shape, angle, size, distance, and position can be completely different, and yet the two shapes are topologically equivalent.

This is a topologist's map of the 48 contiguous United States. While the states are not recognizable, you can work out which is which by how the states are connected to each other. For example, which is the only state that borders exactly one state? Can you find it on the topologist's map? Can you identify all the states?

THEOREM OF THE DAY: Brouwer’s Fixed Point Theorem

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Torus of Revolution

A topologist is a person who doesnt know the difference between a coffes cup and a doughnut

Euler’s Gem—The Polyhedron Formula and the Birth of Topology

They all missed it.’’ Richeson’s book begins with a strong and clear motivation for one of his key points on the nature and the historical development of mathematics. 

‘‘It’’ is ‘‘Euler’s Gem,’’ Euler’s polyhedron formula, one of the most beautiful formulas of mathematics (in fact, the author informs us, a survey of mathematicians found its beauty to be second only to $e^{pi} + 1 = 0$, also Euler’s). 

‘‘They’’ refers to all of Euler’s predecessors who, though active in the field of geometry, failed to come across this elegant and, to our eyes, even obvious relationship. Euler’s polyhedron formula is elegant and simple: In a polyhedron, the number of vertices (V), edges (E) and faces (F) always satisfy the equality $V–E + F = 2$. 

Read more »