Το Θεώρημα του Jordan: Μια Προφανής Αλήθεια με Δύσκολη Απόδειξη

Το Θεώρημα της Καμπύλης του Jordan (Jordan Curve Theorem) δηλώνει ότι κάθε απλή, κλειστή, συνεχής καμπύλη στο επίπεδο χωρίζει το επίπεδο σε δύο χωριστές περιοχές: μια εσωτερική και μια εξωτερική, με την ίδια την καμπύλη ως το κοινό τους σύνορο.

Γιατί είναι δύσκολο να αποδειχθεί;

Αν και το θεώρημα φαίνεται διαισθητικά προφανές, η αυστηρή μαθηματική του απόδειξη αποδείχθηκε ιδιαίτερα δύσκολη. Ο Camille Jordan το διατύπωσε το $1887$, αλλά η απόδειξή του δεν ήταν πλήρως αυστηρή. Η πρώτη αυστηρή απόδειξη δόθηκε από τον Oswald Veblen το $1905$.

Η δυσκολία προκύπτει από το γεγονός ότι η έννοια του "εσωτερικού" και του "εξωτερικού" δεν είναι εύκολο να διατυπωθεί αυστηρά για γενικές συνεχείς καμπύλες, ειδικά αν δεν είναι ομαλές ή έχουν περίεργη τοπολογία (π.χ. φράκταλ).

Το θεώρημα του Jordan αποτελεί θεμέλιο της Τοπολογίας και έχει επεκτάσεις σε υψηλότερες διαστάσεις, όπως το Θεώρημα του Ιορδάνη-Μπράουερ για επιφάνειες στο 3D χώρο.