On this day in 1693 Leibniz wrote to L'Hôpital ...

28 April 1693

On this day in 1693 Leibniz wrote to L'Hôpital announcing his discovery of determinants 50yrs before Cramer (the real driving force in development of determinants). Leibniz's work had little or no influence - it was not published until 1850 in his Mathematische Schriften.

L' Hôpital's rule

L' Hôpital's rule

The first ever calculus textbook: «Analyze des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes»

The first ever calculus textbook was published in 1696 by Guillaume de l’Hôpital (following lectures given to him by Leibniz) under the name Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes (Analysis of the infinitely small to understand curved lines). 

This book introduced the concepts of limits, derivatives, and integrals, as well as the notation for differentiation and integration. The book also contained the famous l’Hôpital’s rule for finding the limit of a quotient of two functions. The book was influential in spreading the ideas of calculus in Europe and beyond.

@PhysInHistory

Δύο δύσκολα όρια με τον κανόνα του De L’ Hospital

Harder problems of L’ Hospital rule

The Theorem of the Day: L’ Hospital’s Rule

Let $f(x)$ and $g(x)$ be real-valued functions of a real variable $x$. Let $a ∈ R$ and suppose that, in some open interval containing $a$, $f(x$ and $g(x)$ are differentiable except possibly at $x = a$, with $g′(x)$ being nowhere zero. 

Suppose, moreover that

Then

provided this limit exists, satisfies

Read more »

Ο De L’ Hôspital στην Χώρα των Τριγώνων

Ο φόβος κι ο τρόμος όλων των ορίων κι όλων των μαθηματικών της Γ’ Λυκείου είναι, αναμφίβολα, οι κανόνες De L’Hôspital (DLH, από εδώ και στο εξής, γιατί αυτό το «ô» είναι πολύ κουραστικό για όσους δεν έχουμε κάποιο γαλλικό layout στο πληκτρολόγιο). 

Κάνουν τα εύκολα δύσκολα και τα δύσκολα εύκολα όταν πρόκειται για όρια, λύνουν τα χέρια των μαθητών κατά κάποιους και τους αποχαυνώνουν, κατά κάποιους άλλους. Αποκαλύπτουν λεπτά σημεία σε σχέση με τη διαίσθηση των ορίων πηλίκων και συνάμα κρύβουν πολλές φορές την ουσία ενός υπολογισμού.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ασκήσεις στον κανόνα DE L’ HOSPITAL

 Tου Νίκου Κρητικού   

$26$ ασκήσεις ορίων με χρήση κανόνα De L΄ Hospital

1. $\lim_{x\to 0} \dfrac{\cos x -1}{\sin x}$ 

2. $\lim_{x\to \infty} \dfrac{e^x}{x^3}$

 

3. $\lim_{x\to \infty} \dfrac{\ln x}{x}$ 

4. $\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\ln x}{x}$

Proof of L' Hopital's Rule (pdf)

Proof of L’ Hospital’s Rule

▪ Hospital

▪ Τι τους συνδέει;

Guillaume de l'Hospital  (1661/1704-FR)	Jean Bernoulli  (1667/1748-CH)

Κάντε κλικ εδώ.

▪ 63 Ασκήσεις με τη μέθοδο de L' Hospital

▪Γεωμετρική ερμηνεία του κανόνα L'Hôpital's - Μορφή $\frac{0}{0}$

Κάντε κλικ εδώ.

▪ Όρια: Κανόνας De L΄ Hospital

Πηγή: mathscy

▪ Κανόνες de L' Hospital

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (μορφή $\frac{0}{0}$)

Αν ,  x0 ϵ R ∪{−∞,+∞}, και υπάρχει το  (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (μορφή $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$)

Αν  ,  x0 ϵ R ∪{−∞,+∞}, και υπάρχει το  (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:

▪ Απόδειξη κανόνα De L΄ Hospital

Έστω f και g παραγωγίσιμες συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους και c ένας πραγματικός αριθμός, τέτοιος ώστε   και . Τότε

▪ Κανόνες de L’ Hospital

▪ Serpentine

H οφιοειδής συνάρτηση (serpentine) είναι η ρητή συνάρτηση:

και παραμετρικές εξισώσεις χ = ασφθ, ψ =βημθσυνθ.                      

Η συνάρτηση ονομάστηκε έτσι από τον Ι. Newton το 1701, στην εργασία του "Curves". Η συνάρτηση μελετήθηκε από τους L'Hospital και Huygens το 1692.

▪ Κανόνας de L΄ Hospital ή κανόνας Bernoulli ?

Guillaume François Antoine Marquis de l'Hôpital 
(1661–1704) - Paris

Ο L' Hospital θεωρούνταν ικανός μαθηματικός.Καταγόταν από αριστοκρατική στρατιωτική oικογένεια.Με την ενηλικίωση του έγινε λοχαγός του ιππικού, αλλά είχε ήδη αναπτύξει το πάθος του για τα Μαθηματικά .Ύστερα από την παραίτηση του από τον στρατό, ο L' Hospital αφοσιώθηκε εξ ολοκλήρου στα Μαθηματικά. Μαθήτευσε υπό τον Johann Bernoulli (1667-1748). Συνέγραψε το πρώτο βιβλίο Διαφορικού Λογισμού, το οποίο γνώρισε μεγάλη επιτυχία.Ο λεγόμενος κανόνας L' Hospital ανακαλύφθηκε από τον Johann Bernoulli.Οι L' Hospital και Bernoulli είχαν υπογράψει ένα συμβόλαιο, σύμφωνα με το οποίο ο L' Hospital είχε το ελεύθερο δικαίωμα να χρησιμοποιεί τις ανακαλύψεις του Bernoulli όπως αυτός ήθελε, με αντάλλαγμα έναν σταθερό μισθό. 

Principles of Mathematical Analysis- Walter Rudin