Σκοράρει ο Χάλαντ

Τα δύο δοκάρια ενός γηπέδου ποδοσφαίρου βρίσκονται στα σημεία $𝐴(4,0)$ και $𝐵(-4,0)$. Ο αγωνιστικός χώρος του γηπέδου είναι η περιοχή που ορίζεται από τα τεταρτημόρια $III$ και $IV$. 

α) Η μπάλα λακτίζεται από το σημείο $𝑄(-5,-10)$ προς το τέρμα. Βρείτε κατά προσέγγιση γωνία $AQB$ σε μοίρες.

β) Ας υποθέσουμε ότι ο επιθετικός βρίσκεται σε ένα μεταβλητό σημείο $𝑃$ κατά μήκος του κύκλου

 $(𝑥-14{)}^2+(𝑦+12{)}^2=25$. 

Λέμε ότι έχει τις καλύτερες πιθανότητες να σκοράρει όταν η γωνία $𝐴𝑃𝐵$ είναι μέγιστη. Βρείτε τις συντεταγμένες του $𝑃$ που μεγιστοποιούν τις πιθανότητές του να πετύχει ένα γκολ.

Rene DESCARTES | The father of analytical geometry

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων | Βιντεοδιαλέξεις | Απειροστικός Λογισμός - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί (Στροφή-Κατοπτρισμός)

Άθροισμα εμβαδών

Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων $AEG$ και $BGF$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Αντιπαράθεση Ευκλείδειας Γεωμετρίας με Αναλυτική

 Του Στέλιου Μιχαήλογλου 

Κάντε κλικ στην εικόνα.

▪Συντελεστές διεύθυνσης

Έστω ρόμβος $ABCD$. Αν $m_1$ ο συντελεστής διεύθυνσης της πλευράς $AB$ (ή $DC$) και $m_2$ ο συντελεστής διεύθυνσης της πλευράς $AD$ (ή $BC$), να αποδειχθεί ότι οι συντελεστές 

διεύθυνσης των διαγωνίων του είναι

$m=\frac{a}{b\pm \sqrt{a^2+b^2}}$

όπου $a=m_1+m_2$ και $b=1-m_1{m}_2$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Τρία σημεία

Δίνονται τρία σημεία ${\rm A}(1,0),{\rm B}(1,0),\Gamma (0,h)$, όπου $h>0$.

Να βρεθούν σημεία ${\rm M}(x,y)$, για τα οποία οι αποστάσεις από τα ${\rm A},{\rm B},\Gamma$ να έχουν την ελάχιστη δυνατή τιμή. 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Ελλειψοειδές

Εξίσωση επιφάνειας

$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y{-}_0{)}^2}{b^2}+\frac{(z-z_0{)}^2}{c^2}=1$.

$(x_0,y_0,z_0)$ = κέντρο

$a,b,c$ = ημιάξονες

Κάθε πραγματική τομή με επίπεδο είναι κλειστή δευτεροβάθμια καμπύλη, άρα είναι έλλειψη (με ειδική περίπτωση τον κύκλο).

▪Ελλειπτικός κώνος

Για κώνο με άξονα παράλληλο προς τον άξονα $Oz$ η εξίσωση της επιφάνειας είναι

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$.

Μια τομή με επίπεδο είναι έλλειψη (αν είναι κλειστή καμπύλη), υπερβολή (αν έχει δύο τμήματα) ή παραβολή (αν είναι ανοικτή με ένα τμήμα).

▪Ελλειπτικός κύλινδρος

Για κύλινδρο παράλληλο προς τον άξονα Oz η εξίσωση της επιφάνειας είναι

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

όπου $a,b$ οι ημιάξονες της ελλειπτικής διατομής. Κάθε τομή με επίπεδο μη παράλληλο προς τον άξονα των $z$ είναι έλλειψη (με ειδική περίπτωση τον κύκλο).

▪ Μονόχωνο υπερβολοειδές

Εξίσωση επιφάνειας

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$.

Οι οριζόντιες τομές είναι ελλείψεις. Οι κατακόρυφες τομές (με
επίπεδο της μορφής $Ax+By+C=0$) είναι υπερβολές.

▪ Δίχωνο υπερβολοειδές

Εξίσωση επιφάνειας

$\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Οι οριζόντιες τομές για $|z|>c$ είναι ελλείψεις. Οι κατακόρυφες τομές (με επίπεδο της μορφής $Ax+By+C=0$) είναι υπερβολές.

▪ Ελλειπτικό παραβολοειδές

Εξίσωση επιφάνειας

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$.

Οι τομές με επίπεδο (οριζόντιες με $z>0$ ή πλάγιες) είναι ελλείψεις. Οι κατακόρυφες τομές (με επίπεδο της μορφής $Ax+By+C=0$) είναι παραβολές.

▪Υπερβολικό παραβολοειδές

Εξίσωση επιφάνειας

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$.

Οι τομές με επίπεδο είναι υπερβολές, αν έχουν δύο τμήματα (π.χ. οριζόντιες τομές με z = σταθ.) ή παραβολές, αν έχουν ένα τμήμα (π.χ. κατακόρυφες τομές με x = σταθ. ή y = σταθ.).