📜 Ο Άβακας: Από την Αρχαιότητα έως Σήμερα 🧮

Ο άβακας 🧮 είναι ένα αριθμητικό όργανο που χρησιμοποιείται για την εκτέλεση βασικών μαθηματικών πράξεων ➕➖✖️, όπως η πρόσθεση, η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός. Παρόλο που σήμερα θεωρείται απλό εργαλείο, η ιστορία του εκτείνεται χιλιάδες χρόνια πίσω ⏳.

🔍 Η Ετυμολογία της Λέξης "Άβακας"

Η λέξη "άβακας" προέρχεται από την ελληνική λέξη "άβαξ" (ἄβαξ) 🇬🇷, που στα αρχαία ελληνικά σήμαινε "πινακίδα" 📜 ή "σανίδα" 🪵. Αρχικά, δεν αναφερόταν σε αριθμητήριο, αλλά σε επίπεδη επιφάνεια για υπολογισμούς ή σχεδιασμό γεωμετρικών σχημάτων 📏🔺.

30 Έννοιες που Μπερδεύουν Μαθητές και Δασκάλους (1/30)

0,999… = 1; Μια Μαθηματική Έκπληξη!

Φανταστείτε κάποιον να σας λέει ότι $0,999\dots$ – δηλαδή το $0,9$ που επαναλαμβάνεται επ’ άπειρον το $9$ – είναι το ίδιο με το $1$. Η πρώτη σας αντίδραση ίσως είναι: «Μα πώς γίνεται; Το $0,999\dots$ μοιάζει ελάχιστα μικρότερο από το $1$!» 

Κι όμως, τα μαθηματικά μας αποκαλύπτουν ότι αυτά τα δύο είναι ισοδύναμα. Ας δούμε πώς και γιατί, με τρόπο απλό και λογικό.

1. Μια πρώτη απόδειξη με αριθμητική

Ας πάρουμε τον αριθμό $0,999\dots$ και ας τον ονομάσουμε $x$. Δηλαδή:

$x=0,999\dots$

Τώρα, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με $10$:

$10x=9,999\dots$

Addition Trick

Πρόσθεση κλασμάτων με τρικ 😉

Ανακαλύπτοντας την Αρχαία Κινεζική Μαθηματική Σκέψη: Το Suàn shù shū

Το Suàn shù shū (筭數書), που σημαίνει "Βιβλίο Αριθμητικών Υπολογισμών," είναι πράγματι ένα από τα παλαιότερα γνωστά μαθηματικά κείμενα από την αρχαία Κίνα. 

Βρέθηκε το 1984 στον αρχαιολογικό χώρο του Ζανγκτζιασάν (Zhangjiashan) σε έναν τάφο που χρονολογείται από την περίοδο της Δυναστείας των Χαν (περίπου 202 π.Χ. - 220 μ.Χ.).

Νέο Έτος 2025: Σε ποιο σύστημα παλινδρομεί;

Ο αριθμός $2025$ σε διαφορετικά αριθμητικά συστήματα:

Σε ποιο αριθμητικό σύστημα ο αριθμός $2025$ είναι παλινδρομικός;

Μαθαίνω το 5

Υπάρχει ένα λάθος σε αυτό το παιδικό βιβλίο. Μπορείτε να το βρείτε;

Κανόνες διαιρετότητας

Ένας αριθμός διαιρείται με το $3$ εάν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το $3$.

Ένας αριθμός διαιρείται με το $4$ εάν ο αριθμός που σχηματίζεται από τα δύο τελευταία ψηφία διαιρείται με το $4$.

Ένας αριθμός διαιρείται με το $8$ εάν ο αριθμός που σχηματίζεται από τα τρία ψηφία διαιρείται με το $8$.

Ένας αριθμός διαιρείται με το $9$ αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το $9$.

Τεχνικές πολλαπλασιασμού

Άθροισμα κλασμάτων

Η πρόσθεση και η αφαίρεση κλασμάτων γίνεται με ένα πολύ συγκεκριμένο τρόπο. Αλλά μερικές φορές γίνεται και αλλιώς, όπως παρακάτω. 😊

Απίθανο γινόμενο !

Έχετε δύο φυσικούς αριθμούς με πολλά ψηφία. Τους βάζουμε τον ένα κάτω από τον άλλον προκειμένου να τους πολλαπλασιάσουμε. 

Αντί να κάνουμε τον κανονικό πολλαπλασιασμό ευθυγραμμίζουμε κάθετα τα ψηφία των αριθμών και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε αυτά στην ίδια σειρά και βάζετε το αποτέλεσμα ακριβώς από κάτω.

Αυτός ο απίθανος «πολλαπλασιασμός» δεν δίνει , γενικά, το σωστό αποτέλεσμα του γινόμενου των δύο αριθμών.

Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, ναι. Όπως στο πιο πάνω παράδειγμα.😊

ΒΙΒΛΙΟ: Problems In Elementary Mathematics For Home Study (pdf)

Click on the image.

Βαβυλωνιακές μαθηματικές πινακίδες

Ο πηλός ήταν άφθονος στη Μεσοποταμία και οι πινακίδες αυτές από πηλό χρησιμοποιούνταν από τους μαθητές σαν τετράδια. όσο ο πηλός παρέμενε νωπός, μία πράξη μπορούσε να σβηστεί και να ξαναγραφεί. 

Βαβυλωνική μαθηματική (19ος-17ος αιώνας π.Χ.) 

πινακίδα με πίνακα πολλαπλασιασμού.

Τις στεγνές πινακίδες τις πετούσαν, αλλά μερικές τις χρησιμοποιούσαν στα θεμέλια κτισμάτων, όπου και ανακαλύφτηκαν πολλούς αιώνες αργότερα.

Απίστευτο, τα ψηφία επαναλαμβάνονται !

@pickover

The beautiful proof of why 2∉Q

Μοναδιαία κλάσματα

Ο αριθμός $1$ μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα τεσσάρων διακριτών μοναδιαίων κλασμάτων με $6$ διαφορετικούς τρόπους:

Fundamental Theorem of Arithmetic

Why can't you divide by zero?

Γιαπωνέζικη μέθοδος πολλαπλασιασμού

Πολλαπλασιάζοντας με το 11

Δεν είναι πιθανό, αλλά δεν αποκλείεται να χρειαστεί να υπολογίσετε πόσα θα κερδίσετε μετά από 11 έτη αν λαμβάνετε κάποιο σταθερό εισόδημα. Οπότε, ας δούμε πως κάνουμε τον υπολογισμό όταν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε με το 11.

Αφήνουμε το πρώτο και το τελευταίο και ψηφίο ως έχει, μετά προσθέτουμε κάθε επόμενο ζευγάρι αριθμών το ένα μετά το άλλο.

Θα βοηθήσουν τα παρακάτω παραδείγματα:

1. Έστω ότι έχουμε να κάνουμε την εξής πράξη 4281x11. Τότε κάνουμε τους εξής υπολογισμούς: (4) (4 +2)(2 +8)(8 +1) (1), και βρίσκουμε 47091.