Άθροισμα κλασμάτων

Η πρόσθεση και η αφαίρεση κλασμάτων γίνεται με ένα πολύ συγκεκριμένο τρόπο. Αλλά μερικές φορές γίνεται και αλλιώς, όπως παρακάτω. 😊

Απίθανο γινόμενο !

Έχετε δύο φυσικούς αριθμούς με πολλά ψηφία. Τους βάζουμε τον ένα κάτω από τον άλλον προκειμένου να τους πολλαπλασιάσουμε. 

Αντί να κάνουμε τον κανονικό πολλαπλασιασμό ευθυγραμμίζουμε κάθετα τα ψηφία των αριθμών και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε αυτά στην ίδια σειρά και βάζετε το αποτέλεσμα ακριβώς από κάτω.

Αυτός ο απίθανος «πολλαπλασιασμός» δεν δίνει , γενικά, το σωστό αποτέλεσμα του γινόμενου των δύο αριθμών.

Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, ναι. Όπως στο πιο πάνω παράδειγμα.😊

ΒΙΒΛΙΟ: Problems In Elementary Mathematics For Home Study (pdf)

Click on the image.

Βαβυλωνιακές μαθηματικές πινακίδες

Ο πηλός ήταν άφθονος στη Μεσοποταμία και οι πινακίδες αυτές από πηλό χρησιμοποιούνταν από τους μαθητές σαν τετράδια. όσο ο πηλός παρέμενε νωπός, μία πράξη μπορούσε να σβηστεί και να ξαναγραφεί. 

Βαβυλωνική μαθηματική (19ος-17ος αιώνας π.Χ.) 

πινακίδα με πίνακα πολλαπλασιασμού.

Τις στεγνές πινακίδες τις πετούσαν, αλλά μερικές τις χρησιμοποιούσαν στα θεμέλια κτισμάτων, όπου και ανακαλύφτηκαν πολλούς αιώνες αργότερα.

Απίστευτο, τα ψηφία επαναλαμβάνονται !

@pickover

The beautiful proof of why $\sqrt{2}∉ Q$

Μοναδιαία κλάσματα

Ο αριθμός $1$ μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα τεσσάρων διακριτών μοναδιαίων κλασμάτων με $6$ διαφορετικούς τρόπους:

Fundamental Theorem of Arithmetic

Why can't you divide by zero?

Γιαπωνέζικη μέθοδος πολλαπλασιασμού

Πολλαπλασιάζοντας με το 11

Δεν είναι πιθανό, αλλά δεν αποκλείεται να χρειαστεί να υπολογίσετε πόσα θα κερδίσετε μετά από 11 έτη αν λαμβάνετε κάποιο σταθερό εισόδημα. Οπότε, ας δούμε πως κάνουμε τον υπολογισμό όταν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε με το 11.

Αφήνουμε το πρώτο και το τελευταίο και ψηφίο ως έχει, μετά προσθέτουμε κάθε επόμενο ζευγάρι αριθμών το ένα μετά το άλλο.

Θα βοηθήσουν τα παρακάτω παραδείγματα:

1. Έστω ότι έχουμε να κάνουμε την εξής πράξη 4281x11. Τότε κάνουμε τους εξής υπολογισμούς: (4) (4 +2)(2 +8)(8 +1) (1), και βρίσκουμε 47091.

▪ Αρχαίων αριθμοί

Οι αρχαίοι Έλληνες έγραφαν όλους τους αριθμούς από το 1 ως το 999 με γράμματα του αλφαβήτου και με την βοήθεια σημείων στίξεως.

Πολλαπλασιασμός από χειρόγραφο του Ευτόχιου.
Αριστερά: αρχαίο Ελληνικό σύστημα, Δεξιά: σημερινή γραφή

Έτσι έχουμε:

• α΄ β΄ γ΄ δ΄ ε΄ ϛ΄ ζ΄ η΄ θ΄ τους αριθμούς 1 2 3 4 5 6 7 8 9 αντίστοιχα
• ι΄ κ΄ λ΄ μ΄ ν΄ ξ΄ ο΄ π΄ ϟ΄ τους αριθμούς 10 20 30 ... 90 αντίστοιχα
• ρ΄ σ΄ τ΄ υ΄ φ΄ χ΄ ψ΄ ω΄ ϡ΄ τους αριθμούς 100 200 300 ... 900 αντίστοιχα

Το Ϝ´ χρησιμοποιείτο ως έξι στην αρχαιότητα. Αντικαταστάθηκε από το στίγμα σταδιακά, αφού είχε πάψει πρώτα να χρησιμοποιείται ως γράμμα. Τις τελευταίες δεκαετίες το στίγμα εξαφανίστηκε από τον γραπτό λόγο για πρακτικούς κυρίως λόγους και τη θέση του πήρε το ΣΤ΄.

Πηγή: wikipedia

▪ Πινακίδιον Aριθμητικόν (Βιέννη, 1791)

Περιεχόμενα:

Προς τον αναγνώστην
Πίναξ διαφόρων φλωρίων
Πίναξ διαφόρων ταλερίων
Πίναξ ταλερίων του Μιλάνου
Πίναξ, εν ώ περιέχονται τα δεκαεπτάρια, ή μαριάσια, και τα Επτάρια
Πίναξ διαφόρων (τόκων)
Πίναξ διαφόρων φλωρίων και ετέρων μαλαματένιων άσπρων της Ευρώπης

΄

Κάντε κλικ εδώ.

▪ Άθροισμα κλασμάτων

Να υπολογισθεί το παρακάτω άθροισμα:
0/1 + 1/1 + 0/2 + 1/2 + 2/2 + 0/3 + 1/3 + 2/3 + 3/3 + 0/4 + 1/4 + 2/4 + 3/4 + 4/4 + 0/5 + 1/5 + 2/5 + 3/5 + 4/5 + 5/5 + 0/6 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6

▪ Το σύγχρονο αριθµητικό σύστηµα

Το Ινδοαραβικό αριθµητικό σύστηµα  προήλθε από την Ινδία και ήταν θεσιακό και δεκαδικό, ιδιότητες που του προσέδωσαν ισχυρό και δυναµικό πλεονέκτηµα, για επικράτησή του. Μάλιστα το δεκαδικό αναδείχθηκε νικητής στην κούρσα της υιοθέτησης αριθµητικού συστήµατος, από τις ανθρώπινες κοινωνίες, εξαιτίας και της θεµελιώδους ανθρώπινης εµπειρίας (Εξαρχάκος, 1988), του  µετρήµατος, δηλαδή, µε τα  10 δάχτυλα. Το σύστηµα αυτό επινοήθηκε από τους Ινδούς και αργότερα  µεταφέρθηκε στην ∆υτική Ευρώπη,  από τους Άραβες, εξ ου και το όνοµά του. Οπωσδήποτε πριν το 800 µ.Χ,   εισήχθηκε  και η θεµελιώδης   ιδέα της    αξία της θέσης  (Εves,1989). Τούτο συµπεραίνεται από το περίφηµο βιβλίο µε τίτλο: «Hisab aljabr w'almuqabala», δηλαδή «το βιβλίο της αποκατάστασης και εξισορρόπησης», του Πέρση  µαθηµατικού   και συγγραφέα, Abu Jafar Mohammed ibn Musa  Αl-Khowarizmi (790-840), όπου και περιγράφεται λεπτοµερώς το ινδικό αριθµητικό σύστηµα.Το όνοµα του Άραβα συγγραφέα σήµαινε ο Μωάµεθ, ο πατέρας τού Τζαφάρ και ο γιος τού Μούσα, ο Κ(χ)οβαρισµιάνος (όπου Κ(χ)οβαρίσµι ήταν µια πόλη, νότια της λίµνης Αράλης, γνωστή και µε το αρχαιοελληνικό όνοµα Χωρασµία).   

▪Απλοποίηση κλασμάτων (ΙΙ)

???

▪ Αριθμητική

Π. ΤΟΓΚΑ - Θ. ΠΑΣΣΑ - Ν. ΝΙΚΟΛΑΟΥ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

ΕΝ ΑΘΗΝΑΙΣ 1962

Κάντε κλικ εδώ, για να κατεβάσετε το βιβλίο.

▪ Αριθμητική - Γεωμετρία

Α. ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΥ - Β. ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΥ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 

Ε΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΑΘΗΝΑΙ 1970

Κάντε κλικ εδώ, για να διαβάσετε το βιβλίο.

▪ Αριθμητική Γεωμετρία του 1969 για την ΣΤ' Δημοτικού

Το βιβλίο της Αριθμητικής Γεωμετρίας εκδόθηκε το 1969 για τους μαθητές της ΣΤ' τάξης του δημοτικού σχολείου.

Η ύλη του περιλαμβάνει τα εξής κεφάλαια:
Αριθμητική, Σύνολα, Ποσά, Μέθοδοι, Τόκος, Υφαίρεσις, Μερισμός εις μέρη ανάλογα, Γεωμετρία: Κύβος, Ορθογώνιον Παραλληλεπίπεδον, Πυραμίδες, Κυκλικός κύλινδρος, Κυκλικός κώνος. Κάντε κλικ εδώ για να δείτε το βιβλίο.

▪ Άθροισμα κλασμάτων

Χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής, να βρείτε το άθροισμα:

1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/14 + 1/15 + 1/18 + 1/22 + 1/24 + 1/28 + 1/33.