Άγνωστο πηλίκο

@Eduard Razvan Tomciuc

Sangaku με ίσους κύκλους

Το σημείο $D$ στην πλευρά $BC$ του $ΔABC$ είναι τέτοιο ώστε οι περιγγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ACD$ και $ABD$ να έχουν ίσες ακτίνες. 

Να βρείτε το μήκος της $AD$, συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.

Γινόμενα μηκών

@Eduard Razvan Tomciuc 

Όριο σε τρίγωνο - 3

Να υπολογιστεί το ζητούμενο όριο.

Ένα sangaku του 1893

Το ορθογώνιο που αποκόπτεται από ένα ορθογώνιο τρίγωνο αφήνει στο εσωτερικό του τρία ορθογώνια τρίγωνα με ακτίνες εγγεγραμμένων κύκλων $r_1​,r_2​,r_3​$, σε αύξουσα σειρά. 

Δείξτε ότι όταν το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι μέγιστο, τότε ισχύει η σχέση $$r_1^2 \cdot r_2^2=r_3^2.$$

Άθροισμα εμβαδών

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί το άθροισμα $S_1+S_2$ των εμβαδών των δύο γαλάζιων τριγώνων.

Mήκος κάθετης

Να βρεθεί το μήκος $x$.

Λόγος $Α:Β$

Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των δύο χρωματισμένων περιοχών $Α$ και $Β$.

Όριο σε τρίγωνο - 2

Να βρεθεί το ζητούμενο όριο.

@Eduard Razvan Tomciuc

Sangaku από το Περού

Να αποδειχθεί ότι:  $$\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{m}+ \dfrac{1}{n}.$$

Ανισότητα Abdullayev

Να αποδειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο $ABC$ ισχύει:  

\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq 4S \cdot \sqrt[4]{\left(a^2 + b^2 + c^2\right) \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right)} \] όπου $S$ το εμβαδόν του τριγώνου.

Εμβαδόν με χρώματα [44]

Nα βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$.

Κατακόρυφη κάθετη

Στο παρακάτω σχήμα, εντός του ορθογωνίου τριγώνου έχουμε τρία τετράγωνα, σε δύο από τα οποία είναι σημειωμένα τα εμβαδά τους.

Να βρεθεί το μήκος της κατακόρυφης κάθετης πλευράς του ορθογωνίου.

Εμβαδόν και γωνία

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το εμβαδόν $S$ του τριγώνου που σχηματίζεται στο εσωτερικό του μεγάλου τριγώνου καθώς και η γωνία γωνία $x$.

Εμβαδόν ορθογωνίου

Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου.

Κύκλοι και τρίγωνο

Ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση τη διάμετρο του μεγάλου πράσινου κύκλου εφάπτεται στο εσωτερικό του κύκλου. Ο κόκκινος κύκλος διέρχεται από μια κορυφή του τριγώνου και εγγράφεται στον πράσινο κύκλο,  όπως φαίνεται στο σχήμα.

Επιπλέον, υπάρχει ένας μπλε κύκλος στο εσωτερικό του πράσινου κύκλου, που εφάπτεται στον κόκκινο κύκλο και στο τρίγωνο. 

Δείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο του μπλε κύκλου και το κοινό σημείο του κόκκινου κύκλου και του τριγώνου είναι κάθετο στη διάμετρο του πράσινου κύκλου.

Μετρική για προπόνηση

Τα $AD, BE$ είναι τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου $ABC$. 

Ο κύκλος διαμέτρου $DE$ επανατέμνει τις $BC, AC$ στα σημεία $K, L$. Αν 

$AB=25, AD=20, AE=7$

να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος $K$L.

Πηγή: mathematica

Ανισότητα σε τρίγωνο

Τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα

Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ τέτοιο ώστε $AB=AC$. Από την κορυφή $C$, φέρνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα στην πλευρά $AB$ το οποίο έχει μήκος ίσο με την πλευρά $BC$. 

Στη συνέχεια, από το νέο σημείο επί της πλευράς $AB$, φέρνουμε ένα νέο ευθύγραμμο τμήμα στην πλευρά $AC$, ίσο με το προηγούμενο. Επαναλαμβάνουμε αυτό άλλη μία φορά, έτσι ώστε να δημιουργηθούν τρία ακόμη σημεία στις πλευρές $AB$ και $AC$. Στο τέλος της διαδικασίας αυτής, το αρχικό ισοσκελές τρίγωνο ABC έχει χωριστεί σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα. 

Να βρεθεί το μέτρο της γωνίας $A$.

Ακέραιες πλευρές

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει πλευρές με ακέραια μήκη $x, y$ και $z$, όπου $x < y < z$. 

Προσθέτοντας τα τρία μήκη πλευρών προκύπτει $810$, ενώ πολλαπλασιάζοντας τα τρία μήκη πλευρών  προκύπτει $13284$ φορές αυτό (το άθροισμα τους).

Ποιο είναι το εμβαδόν του τριγώνου;