[9] - Geometric problems from and for Μath Contests

Στο παρακάτω σχήμα, είναι $AB\Vert JG$, $BC\Vert FI$ και $AC\Vert EH$. Αν $S$ είναι το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$, να αποδειχθεί ότι $$S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}{)}^2.$$

Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα

Έστω οξυγώνιο $△ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $V$, στο οποίο $$\widehat{BA{C}_{}^{}}>\widehat{CB{A}_{}^{}}.$$ 

Στην πλευρά $BC$ έστω σημείο $D$ με $$\theta =\widehat{DA{C}_{}^{}}=\widehat{CB{A}_{}^{}}.$$ Κύκλος $\mathrm{\Omega }$ εφάπτεται, του τμήματος $BD$ στο $E$, της πλευράς $DA$ στο $N$ και του κύκλου $V$ στο $Z$. Να δειχθεί ότι η χορδή $AC$ ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα,$CE$.

Πηγή: mathematica

[8] - Geometric problems from and for Μath Contests

Από ένα σημείο $O$ στο εσωτερικό ενός τριγώνου $AB\Gamma$, φέρουμε κάθετα ευθύγραμμα τμήματα $OM$, $ON$, και $OP$ στις πλευρές $AB$, $B$, και $A$, αντίστοιχα. 

Αν $AM=3$, $MB=5$, $BN=4$, $N\Gamma =2$ και $\Gamma P=4$, βρείτε το $PA$. 

E. Tsinovi

Συγκρίσεις Εμβαδών σε Πεντάγωνο

1. Ποιο από τα δύο ισόπλευρα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κανονικό πεντάγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν;

2. Ποιο από τα δύο τετράγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε ένα κανονικό πεντάγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν;

Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [1-13]

1. Να αποδείξετε ότι: $$a^2+{\beta }^2+{\gamma }^2\ge 9R^2$$

2. Να αποδείξετε ότι: 

$(4R+\rho {)}^2+2\tau [\frac{R}{\rho }\sqrt{(\tau -\alpha )}+\sqrt{(\tau -\beta )}+\sqrt{(\tau -\gamma )}]\ge$

$\ge {\tau }^2+2\tau (4R+\rho )R\rho [{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha (\tau -\alpha )}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\beta (\tau -\beta )}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\gamma (\tau -\gamma )}}}]$ 

Τα Τρίγωνα του Ήρωνα: Ακέραιες Πλευρές και Εμβαδόν!

Γνωρίζατε ότι υπάρχουν τρίγωνα με ακέραιες πλευρές και ακέραιο εμβαδόν; Αυτά τα τρίγωνα ονομάζονται Ηρώνεια τρίγωνα!

Ένας τρόπος να κατασκευάσουμε ένα Ηρώνειο τρίγωνο είναι να ενώσουμε δύο ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές κατά μήκος μιας κοινής κάθετης πλευράς.

Για παράδειγμα, αν ενώσουμε τα δύο Πυθαγόρεια τρίγωνα $(9,12,15)$ και $(5,12,13)$, παίρνουμε το Ηρώνειο τρίγωνο $(13,14,15)$ με εμβαδόν $84$!

Μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες των Ηρώνειων τριγώνων:

• Η ημιπερίμετρος τους είναι πάντα ακέραιος αριθμός.
• Το εμβαδόν τους είναι πάντα πολλαπλάσιο του $6$.

Ισεμβαδικά τρίγωνα

Στο σχήμα επί των πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου κατασκευάσαμε τρία τετράγωνα. Ενώνουμε τις κορυφές τους και σχηματίζονται τρία τρίγωνα. 

Να αποδείξετε ότι αυτά τα τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά. 

Ν. Αβίλοφ (Περιοδικό Quantum)

Όλα ισοσκελή

Επί των ευθειών $AB$ και $BC$ ενός παραλληλογράμμου $ABCD$, επιλέγονται σημεία $H$ και $K$ έτσι ώστε τα τρίγωνα $KAB$ και $HCB$ να είναι ισοσκελή ($KA=AB,HC=CB$). 

Αποδείξτε ότι το τρίγωνο $KDH$ είναι επίσης ισοσκελές. 

(V. Gutenmacher))

Λόγος περί λόγου

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί ο λόγος ${\displaystyle \frac{AE}{CE}}.$

@PerHenrikChris1

Λόγος Ακτίνων 3:2

Αν οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων στις κάθετες πλευρές σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχουν αναλογία $3:2$, τότε ποιες είναι οι γωνίες του;

Εκκεντρικός λόγος

Στο παρακάτω σχήμα, το σημείο $I$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$.

 

Να βρεθεί ο λόγος: 

${\displaystyle \frac{BC+PQ}{MN}}=?$

@Eduard16180

Τρία κέντρα και ένας άξονας

Ισοσκελές τρίγωνο που δείχνει το περίκεντρο (μπλε), το κέντρο βάρους του τριγώνου (κόκκινο), το έγκεντρο του τριγώνου (πράσινο) και τον άξονα συμμετρίας του τριγώνου (μωβ)

Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ πλευράς $a$ και το τετράγωνο $ACDE$ έξω από το ισόπλευρο. 

Το σημείο $S$ κινείται στο τμήμα $DE$. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του $S{B}^2+S{C}^2$, καθώς και τη θέση του $S$. 

Πηγή: mathematica

Το Θεώρημα του Viviani: Το Άθροισμα των Καθέτων σε Ένα Ισόπλευρο Τρίγωνο

Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, επιλέξτε ένα εσωτερικό σημείο $P$ και φέρτε τις κάθετες από το $P$ προς καθεμία από τις τρεις πλευρές. Το άθροισμα αυτών των αποστάσεων ισούται με το ύψος του τριγώνου. Αυτό είναι γνωστό ως το θεώρημα του Viviani.

Μια οπτική απόδειξη, που προτάθηκε από τον CMG Lee, έχει ως εξής: 

Από το σημείο $P$, χαράξτε τρεις ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου $ABC$. Αυτές οι ευθείες δημιουργούν τρία μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα. 

What is a ?

Τρία τετράγωνα βρίσκονται στο εσωτερικό ενός ισοπλεύρου τριγώνου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Να βρεθεί η τιμή του $a$.

Συνολική περίμετρος

Να βρεθεί η περίμετρος και των τριών ισοπλεύρων τριγώνων.

Μεγαλύτερο Ισόπλευρο σε Μοναδιαίο Τετράγωνο

Να βρεθεί το εμβαδόν του μεγαλύτερου ισόπλευρου τριγώνου που χωράει σε τετράγωνο μήκους πλευράς $1$.

Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο

Σημείο $D$ κινείται στην πλευρά $AC$ ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ και έστω $E,F$ οι προβολές του στις $AB,BC$ αντίστοιχα. 

A) Να βρείτε το λόγο ${\displaystyle \frac{(BEF)}{(ABC)}}$, όταν μεγιστοποιείται το εμβαδόν του $BEF$. 

B) Αν $AE=3,FC=5$, να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος $BD$.

Πηγή: mathematica

Η Κλειστή Διαδρομή του Τρίγωνου: Η Ανακάλυψη του Γκέρχαρντ Τόμσεν

Σχεδιάστε ένα τρίγωνο και επιλέξτε ένα σημείο σε μία από τις πλευρές του. Από αυτό το σημείο, σχεδιάστε μια ακολουθία τμημάτων, όπου κάθε νέο τμήμα είναι παράλληλο σε μία από τις πλευρές του τριγώνου.

 

Όσο συνεχίζετε αυτή τη διαδικασία, θα διαπιστώσετε ότι η γραμμή που σχηματίζεται τελικά επιστρέφει στο αρχικό σημείο, σχηματίζοντας ένα κλειστό μονοπάτι.

Αυτό το κομψό γεωμετρικό αποτέλεσμα ανακαλύφθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Γκέρχαρντ Τόμσεν.

Εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι

Τρεις κύκλοι ακτίνας $R_1,R_2$ και $R_3$ εφάπτονται ανά ζεύγη εξωτερικά μεταξύ τους, όπως στην φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Είναι γνωστό ότι μπορεί κανείς να σχηματίσει ένα ορθογώνιο τρίγωνο από τα τμήματα $AB,CD$ και $EF$. Βρείτε την ακτίνα $R_1$, δεδομένου ότι $R_2=3$ και $R_3=4$.