Click to Translate Whole Page to Read and Solve

Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Τρίγωνα. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Τρίγωνα. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Πέμπτη 27 Μαρτίου 2025

Συγκρίσεις Εμβαδών σε Πεντάγωνο

1. Ποιο από τα δύο ισόπλευρα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κανονικό πεντάγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν;
2. Ποιο από τα δύο τετράγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε ένα κανονικό πεντάγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν;

Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [1-13]

1. Να αποδείξετε ότι: a2+β2+γ29R2
2. Να αποδείξετε ότι: 
(4R+ρ)2+2τ[Rρ(τα)+(τβ)+(τγ)]
τ2+2τ(4R+ρ)Rρ[1α(τα)+1β(τβ)+1γ(τγ)] 

Τετάρτη 26 Μαρτίου 2025

Τα Τρίγωνα του Ήρωνα: Ακέραιες Πλευρές και Εμβαδόν!

Γνωρίζατε ότι υπάρχουν τρίγωνα με ακέραιες πλευρές και ακέραιο εμβαδόν; Αυτά τα τρίγωνα ονομάζονται Ηρώνεια τρίγωνα!
Ένας τρόπος να κατασκευάσουμε ένα Ηρώνειο τρίγωνο είναι να ενώσουμε δύο ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές κατά μήκος μιας κοινής κάθετης πλευράς.
Για παράδειγμα, αν ενώσουμε τα δύο Πυθαγόρεια τρίγωνα (9,12,15) και (5,12,13), παίρνουμε το Ηρώνειο τρίγωνο (13,14,15) με εμβαδόν 84!

Μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες των Ηρώνειων τριγώνων:

  • Η ημιπερίμετρος τους είναι πάντα ακέραιος αριθμός.
  • Το εμβαδόν τους είναι πάντα πολλαπλάσιο του 6.

Τρίτη 25 Μαρτίου 2025

Ισεμβαδικά τρίγωνα

Στο σχήμα επί των πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου κατασκευάσαμε τρία τετράγωνα. Ενώνουμε τις κορυφές τους και σχηματίζονται τρία τρίγωνα. 
Να αποδείξετε ότι αυτά τα τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά. 
Ν. Αβίλοφ (Περιοδικό Quantum)

Σάββατο 22 Μαρτίου 2025

Όλα ισοσκελή

Επί των ευθειών AB και BC ενός παραλληλογράμμου ABCD, επιλέγονται σημεία H και K έτσι ώστε τα τρίγωνα KAB και HCB να είναι ισοσκελή (KA=AB,HC=CB). 
Αποδείξτε ότι το τρίγωνο KDH είναι επίσης ισοσκελές. 
(V. Gutenmacher))

Παρασκευή 21 Μαρτίου 2025

Λόγος περί λόγου

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί ο λόγος AECE.

Λόγος Ακτίνων 3:2

Αν οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων στις κάθετες πλευρές σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχουν αναλογία 3:2, τότε ποιες είναι οι γωνίες του;

Τρίτη 18 Μαρτίου 2025

Εκκεντρικός λόγος

Στο παρακάτω σχήμα, το σημείο I είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC.
 
Να βρεθεί ο λόγος: 
BC+PQMN=?

Δευτέρα 17 Μαρτίου 2025

Τρία κέντρα και ένας άξονας

Ισοσκελές τρίγωνο που δείχνει το περίκεντρο (μπλε), το κέντρο βάρους του τριγώνου (κόκκινο), το έγκεντρο του τριγώνου (πράσινο) και τον άξονα συμμετρίας του τριγώνου (μωβ)

Σάββατο 15 Μαρτίου 2025

Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC πλευράς a και το τετράγωνο ACDE έξω από το ισόπλευρο. 
Το σημείο S κινείται στο τμήμα DE. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του SB2+SC2, καθώς και τη θέση του S
Πηγή: mathematica

Κυριακή 9 Μαρτίου 2025

Το Θεώρημα του Viviani: Το Άθροισμα των Καθέτων σε Ένα Ισόπλευρο Τρίγωνο

Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, επιλέξτε ένα εσωτερικό σημείο P και φέρτε τις κάθετες από το P προς καθεμία από τις τρεις πλευρές. Το άθροισμα αυτών των αποστάσεων ισούται με το ύψος του τριγώνου. Αυτό είναι γνωστό ως το θεώρημα του Viviani.
Μια οπτική απόδειξη, που προτάθηκε από τον CMG Lee, έχει ως εξής: 
Από το σημείο P, χαράξτε τρεις ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου ABC. Αυτές οι ευθείες δημιουργούν τρία μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα. 

Τετάρτη 26 Φεβρουαρίου 2025

What is a ?

Τρία τετράγωνα βρίσκονται στο εσωτερικό ενός ισοπλεύρου τριγώνου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Να βρεθεί η τιμή του a.

Συνολική περίμετρος

Να βρεθεί η περίμετρος και των τριών ισοπλεύρων τριγώνων.

Τρίτη 25 Φεβρουαρίου 2025

Μεγαλύτερο Ισόπλευρο σε Μοναδιαίο Τετράγωνο

Να βρεθεί το εμβαδόν του μεγαλύτερου ισόπλευρου τριγώνου που χωράει σε τετράγωνο μήκους πλευράς 1.

Τρίτη 18 Φεβρουαρίου 2025

Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο

Σημείο D κινείται στην πλευρά AC ισοπλεύρου τριγώνου ABC και έστω E,F οι προβολές του στις AB,BC αντίστοιχα. 
A) Να βρείτε το λόγο (BEF)(ABC), όταν μεγιστοποιείται το εμβαδόν του BEF
B) Αν AE=3,FC=5, να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος BD.
Πηγή: mathematica

Η Κλειστή Διαδρομή του Τρίγωνου: Η Ανακάλυψη του Γκέρχαρντ Τόμσεν

Σχεδιάστε ένα τρίγωνο και επιλέξτε ένα σημείο σε μία από τις πλευρές του. Από αυτό το σημείο, σχεδιάστε μια ακολουθία τμημάτων, όπου κάθε νέο τμήμα είναι παράλληλο σε μία από τις πλευρές του τριγώνου.
 
Όσο συνεχίζετε αυτή τη διαδικασία, θα διαπιστώσετε ότι η γραμμή που σχηματίζεται τελικά επιστρέφει στο αρχικό σημείο, σχηματίζοντας ένα κλειστό μονοπάτι.
Αυτό το κομψό γεωμετρικό αποτέλεσμα ανακαλύφθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Γκέρχαρντ Τόμσεν.

Κυριακή 16 Φεβρουαρίου 2025

Εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι

Τρεις κύκλοι ακτίνας R1,R2 και R3 εφάπτονται ανά ζεύγη εξωτερικά μεταξύ τους, όπως στην φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Είναι γνωστό ότι μπορεί κανείς να σχηματίσει ένα ορθογώνιο τρίγωνο από τα τμήματα AB,CD και EF. Βρείτε την ακτίνα R1, δεδομένου ότι R2=3 και R3=4.

Σάββατο 15 Φεβρουαρίου 2025

Μέγιστο εμβαδόν

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο πλευρές μήκους 1. Ένας κύκλος εγγράφετι στο εσωτερικό του. 
Να βρεθεί το εμβαδόν του μεγαλύτερου δυνατού κύκλου.

Μεσοτοιχία

Έστω I,O το έγκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα τριγώνου ABC και E το σημείο όπου η διχοτόμος της γωνίας A^ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο. 
Αν I είναι το συμμετρικό του I ως προς την BC και η EI τέμνει τον κύκλο στο F, να δείξετε ότι η OI διέρχεται από το μέσο M της AF.
Πηγή: mathematica

Τετάρτη 12 Φεβρουαρίου 2025

Langley's Adventitious Angles

Ο Edward Mann Langley, ιδρυτής του Mathematical Gazette, διατύπωσε το εξής γεωμετρικό πρόβλημα το 1922:
Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC με γωνίες B=C=80. Η ευθεία CF, σχηματίζοντας γωνία 30 με την πλευρά AC, τέμνει την πλευρά AB στο σημείο F.
Η ευθεία BE, σχηματίζοντας γωνία 20 με την πλευρά AB, τέμνει την πλευρά AC στο σημείο E.
Να αποδειχθεί ότι η γωνία BEF=30.
💡 Παρατήρηση: Στην αρχική διατύπωση του Langley δεν γίνεται αναφορά στο σημείο DDD. Ενδέχεται να είναι το σημείο τομής των BE και CF.