Κύκλοι και τρίγωνο

Ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση τη διάμετρο του μεγάλου πράσινου κύκλου εφάπτεται στο εσωτερικό του κύκλου. Ο κόκκινος κύκλος διέρχεται από μια κορυφή του τριγώνου και εγγράφεται στον πράσινο κύκλο,  όπως φαίνεται στο σχήμα.

Επιπλέον, υπάρχει ένας μπλε κύκλος στο εσωτερικό του πράσινου κύκλου, που εφάπτεται στον κόκκινο κύκλο και στο τρίγωνο. 

Δείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο του μπλε κύκλου και το κοινό σημείο του κόκκινου κύκλου και του τριγώνου είναι κάθετο στη διάμετρο του πράσινου κύκλου.

Μετρική για προπόνηση

Τα $AD, BE$ είναι τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου $ABC$. 

Ο κύκλος διαμέτρου $DE$ επανατέμνει τις $BC, AC$ στα σημεία $K, L$. Αν 

$AB=25, AD=20, AE=7$

να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος $K$L.

Πηγή: mathematica

Ανισότητα σε τρίγωνο

Τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα

Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ τέτοιο ώστε $AB=AC$. Από την κορυφή $C$, φέρνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα στην πλευρά $AB$ το οποίο έχει μήκος ίσο με την πλευρά $BC$. 

Στη συνέχεια, από το νέο σημείο επί της πλευράς $AB$, φέρνουμε ένα νέο ευθύγραμμο τμήμα στην πλευρά $AC$, ίσο με το προηγούμενο. Επαναλαμβάνουμε αυτό άλλη μία φορά, έτσι ώστε να δημιουργηθούν τρία ακόμη σημεία στις πλευρές $AB$ και $AC$. Στο τέλος της διαδικασίας αυτής, το αρχικό ισοσκελές τρίγωνο ABC έχει χωριστεί σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα. 

Να βρεθεί το μέτρο της γωνίας $A$.

Ακέραιες πλευρές

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει πλευρές με ακέραια μήκη $x, y$ και $z$, όπου $x < y < z$. 

Προσθέτοντας τα τρία μήκη πλευρών προκύπτει $810$, ενώ πολλαπλασιάζοντας τα τρία μήκη πλευρών  προκύπτει $13284$ φορές αυτό (το άθροισμα τους).

Ποιο είναι το εμβαδόν του τριγώνου;

$\dfrac{sin(B-C)}{sinA}=?$

@Eduard16180

Έλλειψη σε ορθογώνιο τρίγωνο

Μια έλλειψη είναι εγγεγραμμένη σε ορθογώνιο τρίγωνο και ο μεγάλος άξονάς της είναι παράλληλος με την υποτείνουσα. 

Δύο εφαπτόμενοι κύκλοι της ίδιας ακτίνας είναι εγγεγραμμένοι στην έλλειψη. Ένας τρίτος κύκλος, ίδιας ακτίνας με τους δύο πρώτους, εφάπτεται τόσο στην έλλειψη όσο και στις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

Να εκφραστεί η κοινή ακτίνα των τριών κύκλων ως προς τις πλευρές του τριγώνου.

Ορθογώνιο τρίγωνο Sangaku

Δύο εφαπτόμενοι μεταξύ τους εφάπτονται και επί επιπέδου εδάφους στα σημεία $Α$ και $Β$. Να αποδειχθεί ότι τοτετράγωνο της απόστασης $ΑΒ$ είναι ίσο με το τετραπλάσιο του γινομένου των ακτίνων των κύκλων, δηλαδή

Πλευρά άλφα

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $Q$ με κέντρο $O$ και ακτίνα $R = 50$. Ονομάζουμε $D$ το μέσο του τμήματος $AB$ και κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο $DEF$ του οποίου οι κορυφές βρίσκονται στον κύκλο $Q$. 

Το σημείο $H$ είναι το μέσο του τμήματος $EF$. Προσδιορίστε την πλευρά $α$ του τριγώνου $DEF$.

Ελλειπτικές διάμεσοι

Προεκτείνουμε τις διαμέσους ενός τριγώνου πέρα ​​από τις πλευρές του τριγώνου στα $\dfrac{4}{3}$ του μήκους του. 

Να αποδειχεθί ότι τα τρία νέα σημεία που σημειώθηκαν και οι κορυφές του τριγώνου βρίσκονται όλα σε μια έλλειψη.

Crux Mathematicorum 1977

Ισεμβαδικές τομές

Πώς μπορεί να σχεδιαστεί μια πολυγωνική γραμμή $BDEFG$ σε ένα τρίγωνο $ABC$ έτσι ώστε τα πέντε τρίγωνα που λαμβάνονται να έχουν το ίδιο εμβαδόν;

Περιοδικό Quantum

Εμβαδόν τριγώνου

Στο παρακάτω τρίγωνο, είναι  $\dfrac{BC}{AC}= \dfrac{8}{5}$.

Αν το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $ABC$ είναι $12π$ $cm^2$, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$.

Τριγωνικό σύστημα

Εμβαδόν τριγώνου

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Εμβαδόν τριγώνου [2]

Κόκκινο : Κίτρινο

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών της κόκκινης προς την κίτρινη επιφάνεια.

Εμβαδόν τριγώνου

Θεώρημα Viviani

Θεώρημα

Από οποιοδήποτε σημείο στο εσωτερικό ενός ισόπλευρου τριγώνου και φέρουμε κάθετες σε κάθε μία από τις τρεις πλευρές. Το άθροισμα αυτών των καθέτων είναι το ύψος του τριγώνου.

Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος: 

Αν το άθροισμα των καθέτων από ένα σημείο εντός τριγώνου στις πλευρές του είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου, τότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Ύψος και εφαπτομένη δίνουν λόγο

Στο τρίγωνο $ABC$ του σχήματος είναι $AB<AC$ και η πλευρά $BC$ είναι διπλάσια του ύψους $AD$.

Αν $\displaystyle \tan A = 18^o$, να βρείτε το λόγο $\dfrac{AC}{BC}.$

Πηγή: mathematica

Ισοσκελές μεταξύ των κύκλων και των εξωτερικών εφαπτομένων τους

Δεδομένων δύο εξωτερικών κύκλων, κατασκευάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Δείξτε ότι το ύψος του τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των ακτίνων των δύο κύκλων.

Κάντε κλικ εδώ.