Το Θεώρημα του Viviani: Το Άθροισμα των Καθέτων σε Ένα Ισόπλευρο Τρίγωνο

Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, επιλέξτε ένα εσωτερικό σημείο $P$ και φέρτε τις κάθετες από το $P$ προς καθεμία από τις τρεις πλευρές. Το άθροισμα αυτών των αποστάσεων ισούται με το ύψος του τριγώνου. Αυτό είναι γνωστό ως το θεώρημα του Viviani.

Μια οπτική απόδειξη, που προτάθηκε από τον CMG Lee, έχει ως εξής: 

Από το σημείο $P$, χαράξτε τρεις ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου $ABC$. Αυτές οι ευθείες δημιουργούν τρία μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα. 

Επειδή τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια με το αρχικό, μπορούμε να τα περιστρέψουμε ώστε τα ύψη τους να είναι κατακόρυφα. Το τετράπλευρο $PGCH$, που σχηματίζεται από τις τομές, είναι παραλληλόγραμμο.

Μετακινώντας το τρίγωνο $PHE$ στην κατάλληλη θέση, φαίνεται ότι τα ύψη των τριών μικρότερων τριγώνων αθροίζονται στο ύψος του $ABC$.