Non-Euclidean Geometry

Non-Euclidean Geometry

Υπερβολικά πλακίδια Mona-Lisa

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τρίγωνα, τετράγωνα ή εξάγωνα εάν θέλετε να πλακοστρώσουμε μία επίπεδη επιφάνεια χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα. 

Η συνολική γωνία κατά την περιστροφή γύρω από μια κορυφή ενός πολυγώνου πρέπει να είναι 360 μοίρες και δεδομένου ότι οι γωνίες όλων των κανονικών πολυγώνων εξαρτώνται από το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου, αυτές είναι οι μόνες επιλογές στην Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Ideal Triangles in the Poincaré disc

In hyperbolic geometry, an ideal triangle has angle sum $0$, infinite perimeter, and area pi.

Non-Euclidean Geometry: mainen

Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες

Ντοστογιέφσκι και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία που μάθατε στο σχολείο ήταν πιθανώς μια μοντέρνα έκδοση του περίφημου βιβλίου «Στοιχεία» που έγραψε γύρω στο 300 π.Χ. ο Ευκλείδης. Λέγεται ότι αυτό το βιβλίο είναι το πιο πολυδιαβασμένο μετά τη βίβλο και θεωρείται ως το αρχέτυπο ενός αυστηρού συμπερασματικού συστήματος. Στο πρώτο από τα δεκατρία «κεφάλαια» των Στοιχείων διατυπώνoνται εκτός από τους ορισμούς και 5 Αιτήματα (ή Αξιώματα) για την Γεωμετρία:

Τα 5 Αιτήματα του Ευκλείδη

1ο Αίτημα: Μπορούμε να φέρουμε μια ευθεία γραμμή από οποιοδήποτε σημείο προς οποιοδήποτε σημείο.

▪ Η Γεωμετρία του Riemann

Οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες-Υπερβολική Γεωμετρία

Η γεωμετρία είναι συνώνυμο της Ευκλείδειας γεωμετρίας, σωστά; Οι περισσότεροι θα απαντούσαν καταφατικά, αλλά στην πραγματικότητα αυτή είναι η μισή αλήθεια. 

Η γεωμετρία, δηλαδή ο τρόπος με τον οποίο περιγράφουμε τον χώρο γύρω μας, δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένη, είναι κατασκευασμένη με τέτοιο τρόπο ώστε να μας είναι πιο βολική η χρήση της. Όντα σε κάποιον μακρινό γαλαξία ή σε ένα παράλληλο σύμπαν, που έχουν ακολουθήσει διαφορετικές νοητικές διαδικασίες και έχουν δεχτεί άλλα ερεθίσματα , θα έχουν καταλήξει σε μη ευκλείδειες γεωμετρίες, ίσως και τετραδιάστατες, για να περιγράψουν το περιβάλλον τους.

▪ Hyperbolic Geometry

Κάντε κλικ εδώ.

▪ Φούσκωνε ο Riemann μπαλόνια;

«..Έτσι, καθώς η απείρως ευθεία γραμμή δεν υπάρχει, αφού τελικά μετατρέπεται σε καμπύλη, δεν υπάρχει ούτε και ευθύ επίπεδο, αφού αν το προεκτείνουμε, πρέπει να ακολουθήσει την καμπυλότητα του σύμπαντος. Καθώς όμως θα την ακολουθήσει σε όλες τις διευθύνσεις, το μοναδικό καμπύλο επίπεδο είναι σφαιρικό. Δεν υπάρχει άλλη γεωμετρία πλην αυτής που περιγράφεται πάνω σε μία σφαίρα.»

Μπέρνχαρτ Ρίμαν (Bernhard Riemann)

Σημείωση: To πρόβλημα που ακολουθεί είναι αποκλειστικά δικής μου εμπνεύσεως και κατασκευής. Η αναπαραγωγή του είναι ελεύθερη με αναφορά στην πηγή (το ιστολόγιο) και στον δημιουργό του.

▪ Το Σύμπαν που αγάπησα

Nτοκιμαντέρ για την χρήση των μη ευκλείδειων γεωμετριών στην μελέτη του σύμπαντος, από την εκπομπή της ΕΤ3, "Το Σύμπαν που αγάπησα", με τον επίκουρο καθηγητή αστροφυσικής Μάνο Δανέζη.