▪ Φούσκωνε ο Riemann μπαλόνια;

«..Έτσι, καθώς η απείρως ευθεία γραμμή δεν υπάρχει, αφού τελικά μετατρέπεται σε καμπύλη, δεν υπάρχει ούτε και ευθύ επίπεδο, αφού αν το προεκτείνουμε, πρέπει να ακολουθήσει την καμπυλότητα του σύμπαντος. Καθώς όμως θα την ακολουθήσει σε όλες τις διευθύνσεις, το μοναδικό καμπύλο επίπεδο είναι σφαιρικό. Δεν υπάρχει άλλη γεωμετρία πλην αυτής που περιγράφεται πάνω σε μία σφαίρα.»

Μπέρνχαρτ Ρίμαν (Bernhard Riemann)

Σημείωση: To πρόβλημα που ακολουθεί είναι αποκλειστικά δικής μου εμπνεύσεως και κατασκευής. Η αναπαραγωγή του είναι ελεύθερη με αναφορά στην πηγή (το ιστολόγιο) και στον δημιουργό του.

Πάνω σε ένα εντελώς ξεφούσκωτο/επίπεδο μπαλόνι ζωγραφίζουμε με μαρκαδόρο ένα τρίγωνο (ακριβώς σαν να σχεδιάζαμε πάνω σε ένα φύλλο χαρτί).

Φουσκώνουμε το μπαλόνι, το υλικό του οποίου είναι απολύτως ομοιογενές και ισότροπο ,δηλαδή παραμορφώνεται ομοιόμορφα σε όλες τις διευθύνσεις , και σχηματίζεται μια τέλεια σφαίρα.

Παρατηρούμε ότι η μία πλευρά του αρχικού μας τριγώνου ταυτίζεται ακριβώς με το 1/4 του «ισημερινού» του μπαλονιού-σφαίρας, και η απέναντι κορυφή ταυτίζεται με τον «Βόρειο Πόλο» του μπαλονιού.

Ξεφουσκώνουμε το μπαλόνι (η τέλεια σφαιρικότητα διατηρείται πάντα!) ώσπου το εμβαδόν του τριγώνου μας να γίνει ίσο με το 1/16 της επιφάνειας του μπαλονιού. 

Να βρεθούν οι γωνίες αυτού του τριγώνου.(του τριγώνου στην τελική του κατάσταση δηλαδή).

Τι είδους τρίγωνο ήταν το αρχικό που σχεδιάσαμε;