365 γενέθλια

Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε $365$ άτομα να έχουν διαφορετική ημερομηνία γενεθλίων ο καθένας.

Κόβοντας το σκοινί

Ένα κομμάτι σκοινί κόβεται με τυχαίο τρόπο σε δύο μέρη.

α) Ποια είναι η πιθανότητα ώστε το μακρύτερο κομμάι να είναι ακριβώς πενταπλάσιο από το κοντύτερο κομμάτι;

β) Ποια είναι η πιθανότητα ώστε το μακρύτερο κομμάι να είναι τουλάχιστον πενταπλάσιο σε μήκος από το κοντύτερο κομμάτι;

Πάνω από 50%

Τέσσερα βέλη

Ένα βέλος έχει πιθανότητα $\dfrac{1}{4}$ να χτυπήσει τον στόχο του. Εάν εκτοξευθούν τέσσερα βέλη σε έναν στόχο, ποια είναι η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος;

3-ψήφιο PIN

Σε ένα εργοστάσιο όλο το προσωπικό έχει επιλέξει έναν μυστικό 3ψήφιο αριθμό PIN για τη θυρίδα που τοποθετούν τα προσωπικά τους αντικείμενα. Ποια είναι η πιθανότητα ο καθένας να έχει επιλέξει διαφορετικό αριθμό; 

Στο εργοστάσιο απασχολούνται $120$ εργαζόμενοι.

Τζάκποτ στο MegaEuro

Οι πιθανότητες να κερδίσετε το τζάκποτ στη λαχειοφόρο αγορά MegaEuro είναι $1$ στα $70$ εκατομμύρια. Αυτή την εβδομάδα, $70$ εκατομμύρια λαχνοί πωλήθηκαν για την τελευταία κλήρωση.

Ποια είναι η πιθανότητα, σε ποσοστό, να πουλήθηκε τουλάχιστον ένας νικητήριος λαχνός; Στρογγυλοποιήστε την απάντησή σας στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό.

Κορώνες στη σειρά

Ένα άτομο ρίχνει ένα νόμισμα πολλές φορές. Με πιθανότητα $\dfrac{1}{3}$ για κάθε ένα από τα ακόλουθα που μπορεί να συμβεί σε κάθε ρίψη: φέρνει κορώνα, φέρνει γράμματα ή βαριέται και αποφασίζει να σταματήσει το παιχνίδι. 

Ποια είναι η πιθανότητα, αφού σταματήσει το παιχνίδι, να μην υπάρχουν ποτέ δύο κορώνες στη σειρά;

ΒΙΒΛΙΟ: Fifty Challenging Problems in Probability (pdf)

Click on the image.

ΒΙΒΛΙΟ: Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics (pdf)

Click on the image.

Πιθανές αποστάσεις

Επιλέξτε δύο τυχαία σημεία σε ένα κύκλο ακτίνας $1$. Κάθε σημείο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο και τα δύο σημεία είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους.

- Ποια είναι η μέση απόσταση μεταξύ των δύο σημείων;

- Ποια είναι η πιθανότητα η απόσταση να είναι μικρότερη από $1$;

ΒΙΒΛΙΟ: Foundations of the Theory of Probability by A. N. Kolmogorov (pdf)

Click on the image.

Flip 100 coins

ΒΙΒΛΙΟ: Cut the Knot - Probability Riddles (pdf)

Click on the image.

ΒΙΒΛΙΟ: Probability Through Problems (pdf)

Click on the image.

100 κουτιά

Υπάρχουν $100$ κουτιά που αντιστοιχούν σε $100$ μαθητές οι οποίοι έχουν παραταχθεί στη σειρά για να τα παραλάβουν. 

Οι δύο πρώτοι μαθητές παίρνουν από ένα τυχαίο κουτί, αλλά κάθε άλλος μαθητής παίρνει το κουτί που του έχει ανατεθεί αν είναι διαθέσιμο και ένα τυχαίο κουτί σε αντίθετη περίπτωση. 

Ποια είναι η πιθανότητα η τελευταία μαθήτρια να πάρει το κουτί που της έχει ανατεθεί;

3 - Probability puzzle

www.quantamagazine.org

Φωτεινός σηματοδότης

Ένας πλήρης κύκλος ενός φαναριού οδικής κυκλοφορίας διαρκεί $60$ δευτερόλεπτα. Κατά τη διάρκεια κάθε κύκλου το φως είναι κίτρινο για $5$ δευτερόλεπτα και κόκκινο για $30$ δευτερόλεπτα. 

Σε μια τυχαία επιλεγμένη ώρα, ποια είναι η πιθανότητα το φως να είναι πράσινο;

2 - Probability puzzle

www.quantamagazine.org

1 - Probability puzzle

www.quantamagazine.org

Έντεκα 6 στη σειρά

Δίνεις σε κάθε άνθρωπο στη Γη ένα μόνο δίκαιο ζάρι. Όλοι οι άνθρωποι ρίχνουν τα ζάρια τους. 

Πόσοι θα περιμένατε να ρίξουν ένα "έξι" 11 φορές στη σειρά;