Ορισμός Πιθανότητας - Βασικοί Κανόνες Λογισμού Πιθανοτήτων

Κλασικός ορισμός πιθανότητας

- Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων, τότε όλα τα στοιχεία του συνόλου του δειγματικού χώρου έχουν την ίδια δυνατότητα επιλογής και λέμε ότι τα δυνατά αποτελέσματα του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα. 

- Σε ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου $A$ ορίζεται ως: $$P(A)=\frac{\text{πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων}}{\text{πλήθος δυνατών περιπτώσεων}}=\frac{N(A)}{N(\mathrm{\Omega })}$$

Buffon's Needle: A Surprising Probability Involving π

A French nobleman, Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon, posed the following problem in $1777$:

“Suppose that you drop a short needle on ruled paper-what is then the probability that the needle comes to lie in a position where it crosses of the lines?” 

The probability depends on the distance $d$ between the lines of the ruled paper, and it depends on the length $\ell$ of the needle that we drop-or rather it depends only on the ratio $A$ short needle for our purpose is one of length $l\le d$. In other words, a short needle is one that cannot cross two lines at the same time (and will come to touch two lines only with probability zero). 

Ισορροπία Κορώνας και Γράμματος σε Άπειρες Ρίψεις Νομίσματος

Λαμβάνοντας υπόψη ένα νόμισμα που έχει πιθανότητα $p$ να εμφανίσει «κορώνα» σε κάθε ρίψη, ποια είναι η πιθανότητα ότι, σε κάποια χρονική στιγμή, ο αριθμός των «κορώνων» θα γίνει ίσος με τον αριθμό των «γραμμάτων», αν υποθέσουμε ότι το νόμισμα ρίχνεται άπειρες φορές;

Απόσταση και Πιθανότητες σε Τυχαία Σημεία

Ας επιλέξουμε δύο τυχαία σημεία σε μια μονάδα δίσκου (δηλαδή σε έναν κύκλο με ακτίνα $1$). Κάθε σημείο κατανέμεται ομοιόμορφα και τα δύο σημεία είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους.

• Ποια είναι η μέση απόσταση μεταξύ των δύο σημείων;

• Ποια είναι η πιθανότητα η απόσταση να είναι μικρότερη από $1$;

Στρογγυλοποιήστε τις απαντήσεις σε τρία δεκαδικά ψηφία.

Πιθανότητες και Στρατηγικές Κοπής μιας Σφαίρας με Τυχαία Σημεία

Ας υποθέσουμε ότι $5$ σημεία τοποθετούνται τυχαία σε μια σφαίρα (δηλαδή στην επιφάνεια μιας μπάλας).

(1) Όταν κόβετε τη σφαίρα σε δύο ημι-σφαίρες χωρίς να τη δείτε (δηλαδή τυχαία), ποια είναι η πιθανότητα να έχει τουλάχιστον $4$ σημεία σε ένα από τα ημι-σφαίρια είτε στο εσωτερικό του είτε στα όριά του;

(2) Τώρα επιτρέπεται να ελέγξετε πού βρίσκονται τα σημεία. Μπορείτε πάντα να βρείτε έναν τρόπο να κόψετε τη σφαίρα σε δύο ημι-σφαίρες έτσι ώστε ένα από αυτά να έχει τουλάχιστον $4$ σημεία στο εσωτερικό του ή στα όριά του; Αν όχι, ποια είναι η πιθανότητα να μπορείτε να το κάνετε;

Μπορούμε να Τον Εμπιστευτούμε; Μια Πιθανότητα με Ζάρι και Αλήθεια

Ένας άνθρωπος λέει την αλήθεια στις $3$ από τις $4$ περιπτώσεις. Ρίχνει ένα δίκαιο ζάρι και δηλώνει ότι έφερε έξι. Ποια είναι η πιθανότητα το αποτέλεσμα να είναι πράγματι έξι;

Pierre Remond de Montmort (1678–1719): Ένας Πρωτοπόρος των Πιθανοτήτων

Ο Pierre Remond de Montmort ήταν ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που ασχολήθηκαν με τη θεωρία των πιθανοτήτων. Γεννήθηκε στο Παρίσι το 1678 και αρχικά το όνομά του ήταν απλώς Pierre Remond. Αν και ο πατέρας του τον προόριζε για νομικές σπουδές, εκείνος επέλεξε την επιστήμη και τα μαθηματικά.

Μετά από ταξίδια στην Αγγλία και τη Γερμανία, το 1699 επέστρεψε στη Γαλλία και κληρονόμησε μια σημαντική περιουσία. Αγόρασε ένα κτήμα και πρόσθεσε στο όνομά του τον τίτλο "de Montmort". Ήρθε σε επαφή με κορυφαίους μαθηματικούς της εποχής, όπως ο Johann Bernoulli, με τον οποίο συνεργάστηκε στενά. Το 1715 έγινε μέλος της Royal Society και το 1716 εκλέχθηκε στη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών.

ΒΙΒΛΙΟ: Probability and Statistics by Example (pdf)

Click on the image.

Luca Pacioli: Ο Πατέρας της Λογιστικής και τα Πρώτα Προβλήματα Πιθανοτήτων

Ο Luca Pacioli (περ. 1445 – 1517) ήταν Ιταλός μαθηματικός, Φραγκισκανός μοναχός και δάσκαλος, γνωστός για τη συμβολή του στη λογιστική, τη γεωμετρία και τις πιθανότητες. Το 1494 δημοσίευσε το μνημειώδες έργο του Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita, μια εκτενή μαθηματική εγκυκλοπαίδεια της εποχής του, όπου καταγράφονται βασικές αρχές της αριθμητικής, της γεωμετρίας, της λογιστικής και των πιθανοτήτων.

Ένα από τα σημαντικότερα κεφάλαια της Summa είναι το "Particularis de Computis et Scripturis", όπου περιγράφει το διπλογραφικό λογιστικό σύστημα, το οποίο χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα στις επιχειρήσεις. Για τον λόγο αυτό, ο Pacioli θεωρείται ο «πατέρας της λογιστικής».

Πιθανότητα να βρίσκονται 𝑛 n τυχαία σημεία σε κοινό ημικύκλιο

Δεδομένων $n$ σημείων που σχεδιάζονται τυχαία στην περιφέρεια ενός κύκλου, ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκονται όλα μέσα σε οποιοδήποτε κοινό ημικύκλιο;

Το Παράδοξο του de Méré: Η Γέννηση της Θεωρίας Πιθανοτήτων

Το Πρόβλημα του de Méré

Ο de Méré, γνωστός τζογαδόρος της εποχής του, παρατήρησε δύο σενάρια παιχνιδιών με ζάρια και προσπάθησε να υπολογίσει τις πιθανότητες επιτυχίας τους βασισμένος σε μια απλοϊκή λογική. Τα δύο σενάρια ήταν:

Πρώτο Σενάριο: Ρίχνεις ένα ζάρι $4$ φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον μία φορά το $6$;

Δεύτερο Σενάριο: Ρίχνεις δύο ζάρια $24$ φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον μία φορά διπλό $6$ (δηλαδή $6$ και στα δύο ζάρια ταυτόχρονα);

Ο de Méré έκανε έναν υπολογισμό που βασιζόταν σε αναλογίες και θεώρησε ότι οι δύο πιθανότητες θα ήταν ίσες. 

Ας δούμε τη λογική του:

ΒΙΒΛΙΟ: Probability by Alan F. Karr (pdf)

Click on the image.

Ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών: Κατανόηση και Παρεξηγήσεις

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι μια θεμελιώδης έννοια στις πιθανότητες και τη στατιστική που συχνά παρανοείται. Ειδικά σε περιπτώσεις τυχερών παιχνιδιών, όπως το μπλακτζάκ, οι άνθρωποι έχουν την τάση να πιστεύουν ότι αν χάσουν πολλές φορές, η επόμενη προσπάθεια πρέπει να είναι πιο επιτυχημένη. Ωστόσο, ο νόμος των μεγάλων αριθμών λέει ακριβώς το αντίθετο.

Ας το δούμε με ένα παράδειγμα:

Φανταστείτε ότι ρίχνετε ένα νόμισμα πολλές φορές. Κάθε φορά που το ρίχνετε, η πιθανότητα να έρθει "κορώνα" ή "γράμματα" είναι $50\mathrm{\%}$. Αν ρίξετε το νόμισμα $10$ φορές και έρθει "κορώνα" $9$ φορές, αυτό δεν σημαίνει ότι την επόμενη φορά είναι πιο πιθανό να έρθει "γράμματα".

Το Πείραμα του Kerrich με 10.000 Ρίψεις Νομίσματος στη Φυλακή

Ο Νοτιοαφρικανός στατιστικός John Edmund Kerrich επισκέφτηκε τη Δανία το 1940, κατά τη διάρκεια της ναζιστικής εισβολής, και βρέθηκε να είναι φυλακισμένος στο στρατόπεδο Hald Ege στη Δανία. 

Για να περάσει την ώρα του, έκανε πειράματα στη θεωρία της πιθανότητας, συμπεριλαμβανομένου ενός πειράματος όπου πέταξε ένα νόμισμα $10.000$ φορές. Τα αποτελέσματα αυτού του πειράματος καταγράφηκαν και αναλύθηκαν στο βιβλίο του "An Experimental Introduction to the Theory of Probability", το οποίο δημοσιεύτηκε το $1946$.

Σύμφωνα με τις πληροφορίες από το διαδίκτυο, από τις 10.000 ρίψεις, ο Kerrich κατέγραψε 5.067 φορές κορώνα (heads).

Πιθανότητες με Μπάλες: Σχέση Μεταξύ Κόκκινων και Μπλε

Η τσάντα περιέχει τέσσερις μπάλες, καθεμία από τις οποίες είναι είτε κόκκινη είτε μπλε. Επομένως, μπορεί να έχει:

• $4$ κόκκινες μπάλες
• $4$ μπλε μπάλες
• Ένα μείγμα από κόκκινες και μπλε μπάλες

Αν μια μπάλα επιλεγεί τυχαία από την τσάντα, δεν επιστραφεί και στη συνέχεια επιλεγεί μια δεύτερη τυχαία, η πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι μπλε είναι ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Η ερώτηση είναι:

Ποια είναι η πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι κόκκινες;

Α) ${\displaystyle \frac{1}{2}}$     Β) ${\displaystyle \frac{1}{3}}$     Γ) ${\displaystyle \frac{1}{4}}$     Δ) ${\displaystyle \frac{1}{6}}$     Ε) $0$

Ποιος Χτύπησε τον Στόχο;

Ο σκοπευτής ${\rm A}$ πετυχαίνει έναν συγκεκριμένο στόχο στο $75\mathrm{\%}$ των βολών του. Ο σκοπευτής ${\rm B}$ τον πετυχαίνει στο $25\mathrm{\%}$ των βολών του. Οι δύο σκοπευτές πυροβολούν ταυτόχρονα προς τον στόχο. 

Μια σφαίρα πετυχαίνει τον στόχο. Ποια είναι η πιθανότητα να προήλθε από τον σκοπευτή ${\rm A}$;

ΒΙΒΛΙΟ: Problems in Probability Theory, Mathematical Statistics, and Theory of Random Functions (pdf)

Click on the image.

Η Διάσημη Καμπύλη Καμπάνας: Πιθανότητα ή Πυκνότητα;

Πιθανότατα έχετε δει την περίφημη καμπύλη καμπάνας εκατοντάδες φορές. Πρόκειται για τη γραφική αναπαράσταση της κανονικής κατανομής, η οποία εμφανίζεται σε αμέτρητες εφαρμογές στα μαθηματικά, τη φυσική, την οικονομία, την ψυχολογία και πολλές άλλες επιστήμες.

Συχνά ακούγεται ότι η καμπύλη αυτή δείχνει «την πιθανότητα» εμφάνισης μιας τιμής. Αυτό όμως είναι ένα κοινό λάθος! Στην πραγματικότητα, η καμπύλη καμπάνας δεν είναι πιθανότητα, αλλά πυκνότητα πιθανότητας.

🔹 Ποια είναι η διαφορά μεταξύ πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας;

Για να κατανοήσουμε τη διαφορά, ας σκεφτούμε ένα απλό παράδειγμα.

Πείραμα Στις Πιθανότητες: Η Μπανάνα και οι Δύο Παίκτες

Ο Leonardo Barichello προτείνει ένα ενδιαφέρον πείραμα πιθανοτήτων: Φανταστείτε δύο ανθρώπους εγκλωβισμένους σε ένα νησί, με μόνο μία μπανάνα να φάνε. Για να αποφασίσουν ποιος θα την πάρει, συμφωνούν να παίξουν ένα παιχνίδι.

Ο κάθε παίκτης θα ρίξει ένα δίκαιο ζάρι $6$ όψεων. Αν ο μεγαλύτερος αριθμός που έλαβαν είναι $1,2,3$ ή $4$, τότε ο Παίκτης $1$ παίρνει την μπανάνα. Αν ο μεγαλύτερος αριθμός είναι $5$ ή $6$, τότε την παίρνει ο Παίκτης $2$.

Ποιος από τους δύο παίκτες έχει περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει τη μπανάνα;

Η Δεσμευμένη Πιθανότητα: Μια Βασική Έννοια στη Στατιστική

Η δεσμευμένη πιθανότητα αναφέρεται στην πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός $B$, υπό την προϋπόθεση ότι ένα άλλο γεγονός $A$ έχει ήδη συμβεί. 

Ο τύπος της δεσμευμένης πιθανότητας είναι: $$P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}$$

 

Εξήγηση του Τύπου:

Ο τύπος αυτός εκφράζει την πιθανότητα του γεγονότος $B$ να συμβεί, γνωρίζοντας ότι το γεγονός $A$ έχει ήδη συμβεί. Το $P(B\cap A)$ είναι η πιθανότητα ταυτόχρονης εμφάνισης των δύο γεγονότων ($A$ και $B$), ενώ το $P(A)$ είναι η πιθανότητα του γεγονότος $A$.