Η Δεσμευμένη Πιθανότητα: Μια Βασική Έννοια στη Στατιστική

Η δεσμευμένη πιθανότητα αναφέρεται στην πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός $B$, υπό την προϋπόθεση ότι ένα άλλο γεγονός $A$ έχει ήδη συμβεί. 

Ο τύπος της δεσμευμένης πιθανότητας είναι: $$P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}$$

 

Εξήγηση του Τύπου:

Ο τύπος αυτός εκφράζει την πιθανότητα του γεγονότος $B$ να συμβεί, γνωρίζοντας ότι το γεγονός $A$ έχει ήδη συμβεί. Το $P(B\cap A)$ είναι η πιθανότητα ταυτόχρονης εμφάνισης των δύο γεγονότων ($A$ και $B$), ενώ το $P(A)$ είναι η πιθανότητα του γεγονότος $A$.

🔍 Παράδειγμα 1: Σχολείο και Εργασία

Ας υποθέσουμε ότι το γεγονός $A$ είναι ότι ένας μαθητής πήγε στο σχολείο και το γεγονός $B$ είναι ότι έκανε την εργασία του. Η δεσμευμένη πιθανότητα $P(B\mid A)$ είναι η πιθανότητα να έχει κάνει την εργασία του, δεδομένου ότι ξέρουμε ότι πήγε στο σχολείο.

Αν για παράδειγμα γνωρίζουμε ότι $80\mathrm{\%}$ των μαθητών που πηγαίνουν στο σχολείο ολοκληρώνουν την εργασία τους, η δεσμευμένη πιθανότητα θα είναι: $$P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{0.8\times 1}{1}=0.8$$

Άρα, η πιθανότητα να έχει κάνει την εργασία του, αφού πήγε στο σχολείο, είναι $80\mathrm{\%}$.

🔍 Παράδειγμα 2: Ιατρική Διάγνωση

Ας υποθέσουμε ότι το γεγονός $A$ είναι ότι ένας ασθενής έχει ένα συγκεκριμένο σύμπτωμα (π.χ., πυρετό) και το γεγονός $B$ είναι ότι ο ασθενής έχει μια συγκεκριμένη ασθένεια (π.χ., γρίπη). Η δεσμευμένη πιθανότητα $P(B\mid A)$ είναι η πιθανότητα ο ασθενής να έχει γρίπη, δεδομένου ότι έχει πυρετό.

Αν γνωρίζουμε ότι το $10\mathrm{\%}$ των ανθρώπων με πυρετό έχουν γρίπη και το $50\mathrm{\%}$ του πληθυσμού έχει πυρετό κάποια στιγμή, τότε η δεσμευμένη πιθανότητα υπολογίζεται ως εξής: $$P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{0.10\times 0.50}{0.50}=0.10$$

Άρα, η πιθανότητα να έχει κάποιος γρίπη αν έχει πυρετό είναι $10\mathrm{\%}$.

💡 Γιατί Είναι Σημαντική;

Η δεσμευμένη πιθανότητα είναι κρίσιμη σε πολλούς τομείς, όπως η ιατρική, η οικονομία και η τεχνητή νοημοσύνη. Βοηθά να κάνουμε πιο ενημερωμένες εκτιμήσεις και να παίρνουμε καλύτερες αποφάσεις, βασιζόμενοι σε συγκεκριμένες συνθήκες και διαθέσιμες πληροφορίες.