Η Σύνδεση Επιφανειών και Καμπυλών μέσω του Θεωρήματος του Stokes

Το θεώρημα του Stokes είναι μια θεμελιώδης αρχή στη διαφορική γεωμετρία και την ανάλυση, και συσχετίζει το επιφανειακό ολοκλήρωμα της περιστροφής ($\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}$) ενός διανυσματικού πεδίου $\mathbf{F}$ πάνω σε μια επιφάνεια $S$ με το ολοκλήρωμα γραμμής του ίδιου διανυσματικού πεδίου γύρω από την περίμετρο $\partial S$ αυτής της επιφάνειας. 

Μαθηματικά, αυτό εκφράζεται ως: $${\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}={\oint }_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$ όπου: 

• $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}$ είναι η περιστροφή του διανυσματικού πεδίου $\mathbf{F}$, 
• $d\mathbf{S}$ είναι το διανυσματικό στοιχείο επιφάνειας, 
• $d\mathbf{r}$ είναι το διανυσματικό στοιχείο μήκους κατά μήκος της καμπύλης $\partial S$. 

Ιστορικό

Ο θεωρητικός φυσικός και μαθηματικός Sir George Gabriel Stokes (1819-1903) είναι γνωστός για την ανάπτυξη αυτού του θεωρήματος, το οποίο φέρει το όνομά του. Ο Stokes έκανε σημαντικές συνεισφορές στη φυσική και τα μαθηματικά, ιδιαίτερα στην θεωρία της ακουστικής, της οπτικής και της ρευστοδυναμικής. 

Παρόλο που το θεώρημα είχε εμφανιστεί σε διάφορες μορφές στη δουλειά άλλων μαθηματικών, η διατύπωσή του από τον Stokes το καθιέρωσε ως βασικό εργαλείο στην ανάλυση διανυσματικών πεδίων. 

Αυτό το θεώρημα αποτελεί μία από τις τέσσερις θεμελιώδεις θεωρίες της διαφορικής μορφής (μαζί με τους νόμους του Green, της απόκλισης και τον νόμο του Gauss), και βρίσκει εφαρμογές σε πολλά πεδία της φυσικής, όπως στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία, στη ρευστοδυναμική και στην θεωρία των πεδίων.