Τετράγωνο στο τετράγωνο

Στο τετράγωνο του παρακάτω σχήματος υπάρχουν άλλα τρία τετράγωνα στην πάνω πλευρά του. 

Να βρεθεί το εμβαδόν $S$, δεδομένου ότι γνωρίζουμε τα εμβαδά των άλλων επιφανειών.

Γωνία μεταξύ τετραγώνων

Το σχήμα δείχνει τρία πανομοιότυπα τετράγωνα. Ποια είναι η τιμή της σημειωμένης γωνίας;

Περιοδικό Quantum

Σηκωμένη μπάρα

Το σχήμα στα αριστερά είναι τετράγωνο. Να βρεθεί το μήκος $χ$.

Χρωματιστά τετράγωνα

Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου, στο εσωτερικοό του οποίου είναι τοποθετημένα τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς $2$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Λόγος περί τμημάτων

Στην παρακάτω σύνθεση των τεσσάρων τετραγώνων,  να βρεθεί ο λόγος των ευθύγραμμων τμημάτων $AB$ και $BC$.

Μάχη εμβαδών

Ποιο εμβαδόν είναι μεγαλύτερο, του κίτρινου κύκλου ή του κόκκινου τετραγώνου;

Εμβαδόν μεγάλου τετραγώνου [4]

Εμβαδόν μεγάλου τετραγώνου [3]

Nα βρεθεί το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου.

Μήκος πλευράς

Οι δύο χρωματισμένες επιφάνειας είναι ισεμβαδικές. Να βρεθεί η πλευρά $x$ του τετραγώνου.

Εμβαδόν μεγάλου τετραγώνου [2]

 

Εξίσωση ευθείας

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο. 

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας $OC$.

Εύρεση γωνίας [46]

Να βρεθεί η ζητούμενη γωνία.

Πράσινο : Κόκκινο

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράγωνο το τετράγωνο έχει δύο κορυφές επί των δύο ίσων εφαπτόμενων κύκλων και η βάση βρ΄σικεται επί της κοινής εφαπτομένης των κύκλων αυτών.

Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών του τετραγώνου προς το άθροισμα των εμβαδών των δύο κόκκινων τριγώνων.

$S_{max} - S_{min}=?$

Τρία χάρτινα χρωματισμένα τετράγωνα, διαφορετικού μήκους πλευρών, έχουν συνολική επιφάνεια $100$ $cm^2$. Τοποθετούνται σε ένα επίπεδο ώστε να επικαλύπτονται, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Το εμβαδόν, σε $cm^2$, που καλύπτουν οι επτά περιοχές (οποιαδήποτε από τις οποίες θα μπορούσε να είναι μηδενικού εμβαδού) που σχηματίζονται από τα επικαλυπτόμενα τετράγωνα είναι $S\leq 100$. 

• $A_1$ = το εμβαδόν επιφανειών πάχους ενός τετραγώνου   
• $A_2$ = το εμβαδόν επιφανειών πάχους δύο τετραγώνων   
• $A_3$ = το εμβαδόν επιφανειών πάχους τριών τετραγώνων   

Οι αριθμοί $A_1, A_2$ και $A_3$ είναι όροι αριθμητικής προόδου. Αν $S_{min}$ είναι η ελάχιστη τιμή για το $S$, και $S_{max}$ είναι η ανώτατη  τιμή για το $S$, να βρεθεί η διαφορά 

$S_{max} - S_{min}$.

Μικρό ορθογώνιο

Στο παρακάτω σχήμα, έχουμε ένα κύκλο που είναι εγγεγραμμένος σε ένα τετράγωνο και ένα μικρό ορθογώνιο που σχεδιάζεται επί μιας κορυφής του στο τετράγωνο και μίας άλλης στον κύκλο, όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Εάν αυτό το ορθογώνιο έχει διαστάσεις $6$ cm επί $12$ cm, ποια είναι η ακτίνα του κύκλου;

Βρείτε το λόγο

Το $ABCD$ είναι τετράγωνο. Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{{(CEM)}}{{(ABCD)}}.$

Πηγή: mathematica

Τετράγωνα και πεντάγωνα

Με πόσα τετράγωνα και κανονικά πεντάγωνα πλευράς $1$, τοποθετώντας τα εναλλάξ μπορούμε να σχηματίσουμε ένα κλειστό βρόγχο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα;

Το θεώρημα Finsler–Hadwiger

Θεώρημα

Έστω δύο τετράγωνα $ABCD$ και $AB'C'D'$ με κοινή κορυφή $Α$. Αν $E$ και $G$ είναι τα μέσα των $B'D$ και $D'B$ αντίστοιχα, και $F$ και $H$ τα κέντρα του δύο τετραγώνων, τότε το τετράπλευρο $EFGH$ είναι επίσης τετράγωνο. 

Το τετράγωνο $EFGH$ ονομάζεται τετράγωνο Finsler–Hadwiger.

Τρία τετράγωνα

Τα τετράπλευρα $I,II ,III$ είναι τετράγωνα. 

Να βρεθεί η απόσταση $x$.

A) $30$      B) $34$      C) $36$      D) $40$      E) $44$

Γαλάζια περιοχή

Στο παρακάτω σχήμα, έχουμε δύο τετράγωνα και ένα τρίγωνο με εμβαδόν $1$. 

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του εμβαδού της γαλάζιας επιφάνειας.