Εμβαδόν της Μπλε Περιοχής

To μικρότερο από τα τρία τετράγωνα του παρακάτω σχήματος έχει εμβαδόν $7$. 

Να βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας.

Δύο τετράγωνα + κύκλος

Η ακτίνα του κύκλου στο παρακάτω σχήμα είναι $4$. Να βρεθεί το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων.

Πολλά τετράγωνα

Όλα τα χρωματισμένα τετράγωνα είναι ίσα. Να βρεθεί η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου.

Δύο και δύο

Στο παρακάτω σχήμα, έχουμε $2$ τετράγωνα και $2$ τρίγωνα. 

Να βρεθεί το εμβαδόν του κόκκινου τριγώνου.

Εμβαδόν EX

Να βρεθεί το εμβαδόν του γράμματος Χ στο εσωτερικό του τετραγώνου πλευράς $9$.

Ημικύκλιο + Τεταρτοκύκλιο σε Τετράγωνο

Στο παρακάτω σχήμα, ένα τεταρτοκύκλιο και ένα ημικύκλιο εγγράφονται σε ένα τετράγωνο. Είναι ενδιαφέρον ότι και τα δύο έχουν εμβαδόν $\pi$.

Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου.

Διχρωμίας Λόγος

@Eduard16180

Αφθονία ορθών γωνιών

Από την κορυφή $A$ ενός τετραγώνου $AB\Gamma \Delta$ σχεδιάζουμε δύο ευθείες μέσα στο τετράγωνο. Από τις κορυφές $B$ και $\Delta$, φέρουμε κάθετα ευθύγραμμα τμήματα προς τις δύο ευθείες: το $BK$ και το $\Delta M$ είναι κάθετα στη μία από αυτές, ενώ το $B\Lambda$ και το $\Delta N$ είναι κάθετα στη δεύτερη. 

Αποδείξτε ότι τα τμήματα $K\Lambda$ και $MN$ είναι μεταξύ τους ίσα και κάθετα.

D. Nyamsuren

Μήκος πλευράς εξαγώνου

Όλες οι πλευρές του μη κανονικού εξαγώνου έχουν ίσο μήκος.Το τετράγωνο έχει πλευρά $1$.

Ποιο είναι το μήκος μίας πλευράς του εξαγώνου;

Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ πλευράς $a$ και το τετράγωνο $ACDE$ έξω από το ισόπλευρο. 

Το σημείο $S$ κινείται στο τμήμα $DE$. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του $S{B}^2+S{C}^2$, καθώς και τη θέση του $S$. 

Πηγή: mathematica

Μέγιστο άθροισμα

Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $10$ και το ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ εκτός του τετραγώνου. 

Να βρείτε τη θέση σημείου $S$ στο ημικύκλιο για την οποία μεγιστοποιείται το $SA+SB$, καθώς και τη μέγιστη τιμή του αθροίσματος.

Πηγή: mathematica

Όμοια πολύχρωμα τρίγωνα

Όλα τα τρίγωνα στο εσωτερικό του τετραγώνου είναι όμοια.

 

Να βρεθούν όλες οι γωνίες του σχήματος.

What is a ?

Τρία τετράγωνα βρίσκονται στο εσωτερικό ενός ισοπλεύρου τριγώνου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Να βρεθεί η τιμή του $a$.

Μεγαλύτερο Ισόπλευρο σε Μοναδιαίο Τετράγωνο

Να βρεθεί το εμβαδόν του μεγαλύτερου ισόπλευρου τριγώνου που χωράει σε τετράγωνο μήκους πλευράς $1$.

Το Κόκκινο Τετράγωνο στο Τετράγωνο

Ποιο κλάσμα του λευκού τετραγώνου αντιπροσωπεύει το κόκκινο τετράγωνο;

 

Δύο συν ένα τετράγωνα

Δύο τετράγωνα πλευρών $a$ και $b$, αντίστοιχα, εφάπτονται μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα δύο τετράγωνα είναι εγγεγραμμένα σε ένα μεγαλύτερο τετράγωνο. 

Να βρεθεί το μήκος της πλευράς του εξωτερικού τετραγώνου, συναρτήσει των $a$ και $b$;

Πηγή: mathematica

Εξάγωνο Μέσα σε Τετράγωνο

Ένα μη κανονικό εξάγωνο με όλες τις πλευρές τους ίσες τοποθετείται μέσα σε ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς $1$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Ποιο είναι το μήκος της πλευράς του εξαγώνου; 

α) $\sqrt{2}-1$ 

β) $2-\sqrt{2}$ 

γ) $1$ 

δ) ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ 

φ) $2+\sqrt{2}$

Γραμμωτό εμβαδόν

Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας.

 

Τετραγωνίζοντας το Τετράγωνο

Το Scottish Book περιλαμβάνει πολλά δύσκολα μαθηματικά προβλήματα, από την Ανάλυση και την Τοπολογία έως και τα Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Ένα από αυτά, που τέθηκε από τον Stanisław Ruziewicz γύρω στο $1935$, ρωτά:

Μπορούμε να χωρίσουμε ένα τετράγωνο σε πεπερασμένο πλήθος τετραγώνων που να είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους;

Η απάντηση δόθηκε το 1940 από τέσσερις προπτυχιακούς φοιτητές του Πανεπιστημίου του Cambridge: R.L. Brooks, C.A.B. Smith, A.H. Stone και W.T. Tutte.

Εύρεση Εμβαδού Τριγώνου ως Συνάρτηση Ακτίνας Κύκλου

Στο παρακάτω σχήμα, ένας κύκλος ακτίνας  $r$  είναι εγγεγραμμένος σε ένα τετράγωνο  $ABCD$ με πλευρές μήκους $1$ μονάδα, έτσι ώστε οι πλευρές $AB$ και  $BC$  να είναι εφαπτόμενες στον κύκλο.

Στη συνέχεια, φέρουμε μια ευθεία από το  $D$  σε ένα σημείο  $E$  στο  $BC$  έτσι ώστε το  $DE$  να είναι επίσης εφαπτόμενο στον κύκλο. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου $△CDE$, ως συνάρτηση του  $r$.