Ορισµός
Μια ακολουθία xn ονοµάζεται Cauchy, αν για κάθε $ε > 0$ υπάρχει $n_0$ τέτοιο ώστε για κάθε $n, m ≥ n_0$ έχουµε
$|x_n − x_m| < ε$.
Ο ορισµός λέει ότι σε µια ακολουθία Cauchy, αν σας δώσουν οποιοδήποτε $ε$, από κάποιο δείκτη και µετά όλοι οι όροι τής ακολουθίας απέχουν µεταξύ τους απόσταση µικρότερη από $ε$. Θα δείξουµε ότι αυτό είναι στην πραγµατικότητα ισοδύναµο µε το ότι η ακολουθία συγκλίνει.
Θεώρηµα
Μια ακολουθία $x_n$ είναι Cauchy αν και µόνο αν συγκλίνει.
Απόδειξη
΄Εστω ότι $x_n → ℓ$ για κάποιο $ℓ$. Θα δείξουµε ότι η $x_n$ είναι Cauchy. ΄Εστω $ε > 0$. Αφού $x_n → ℓ$ υπάρχει $n_0$ τέτοιο ώστε
$|x_n − ℓ| < ε/2$, για κάθε $n ≥ n_0$.
