▪ Ακολουθία Cauchy

Ορισµός

Μια ακολουθία xn ονοµάζεται Cauchy, αν για κάθε $\epsilon >0$ υπάρχει $n_0$ τέτοιο ώστε για κάθε $n,m\ge n_0$ έχουµε 

$|x_n-x_m|<\epsilon$.

Ο ορισµός λέει ότι σε µια ακολουθία Cauchy, αν σας δώσουν οποιοδήποτε $\epsilon$, από κάποιο δείκτη και µετά όλοι οι όροι τής ακολουθίας απέχουν µεταξύ τους απόσταση µικρότερη από $\epsilon$. Θα δείξουµε ότι αυτό είναι στην πραγµατικότητα ισοδύναµο µε το ότι η ακολουθία συγκλίνει.

Θεώρηµα

Μια ακολουθία $x_n$ είναι Cauchy αν και µόνο αν συγκλίνει.

Απόδειξη

΄Εστω ότι $x_n\to \ell$ για κάποιο $\ell$. Θα δείξουµε ότι η $x_n$ είναι Cauchy. ΄Εστω $\epsilon >0$. Αφού $x_n\to \ell$ υπάρχει $n_0$ τέτοιο ώστε 

$|x_n-\ell |<\epsilon /2$, για κάθε $n\ge n_0$.

▪ Cauchy product

$(1-1+1-1+1\dots {)}^2=1-2+3-4+...$

Cauchy product

▪ Πορτραίτα: Louis Cauchy

Louis Cauchy (1789-1857)