▪ Ακολουθία Cauchy

Ορισµός

Μια ακολουθία xn ονοµάζεται Cauchy, αν για κάθε $ε > 0$ υπάρχει $n_0$ τέτοιο ώστε για κάθε $n, m ≥ n_0$ έχουµε 

$|x_n − x_m| < ε$.

Ο ορισµός λέει ότι σε µια ακολουθία Cauchy, αν σας δώσουν οποιοδήποτε $ε$, από κάποιο δείκτη και µετά όλοι οι όροι τής ακολουθίας απέχουν µεταξύ τους απόσταση µικρότερη από $ε$. Θα δείξουµε ότι αυτό είναι στην πραγµατικότητα ισοδύναµο µε το ότι η ακολουθία συγκλίνει.

Θεώρηµα

Μια ακολουθία $x_n$ είναι Cauchy αν και µόνο αν συγκλίνει.

Απόδειξη

΄Εστω ότι $x_n → ℓ$ για κάποιο $ℓ$. Θα δείξουµε ότι η $x_n$ είναι Cauchy. ΄Εστω $ε > 0$. Αφού $x_n → ℓ$ υπάρχει $n_0$ τέτοιο ώστε 

$|x_n − ℓ| < ε/2$, για κάθε $n ≥ n_0$.

΄Αρα για κάθε $m, n ≥ n_0 $ έχουµε

$|x_n − x_m| = |x_n − ℓ + ℓ − x_m| ≤ |x_n − ℓ| + |x_m − ℓ|$

$ <ε/2+ε/2= ε$.

∆ηλαδή η $x_n$ είναι Cauchy. Αντίστροφα, έστω ότι είναι Cauchy. ∆είχνουµε κατ’ αρχάς ότι είναι ϕραγµένη. Αφού είναι Cauchy, υπάρχει $n_1$ τέτοιο ώστε $|x_n − x_{n_1}| < 1$ για κάθε $n ≥ n_1$. Εποµένως $|x_n| < 1 + |x_{n_1}|$ για κάθε $n ≥ n_1$,

συνεπώς

$|x_n| ≤ max{|x_1|, . . . , |x_{n_1}−1|, 1 + |x_{n_1}|}$

για κάθε $n$. ΄Αρα η $x_n$ είναι ϕραγµένη. ΄Ετσι, από Bolzano-Weierstrass, υπάρχει υπακολουθία $x_{k_n}$ τέτοια ώστε $x_{k_n} → x$ για κάποιο $x$. Θα δείξουµε ότι $x_n → x$. ΄Εστω $ε > 0$. Αφού η $x_n$ είναι Cauchy, υπάρχει $n_2$ τέτοιο ώστε

$|x_n − x_m| < ε/2$, για κάθε $n, m ≥ n_2$. Αφού $x_{k_n} → x$, υπάρχει $n-3$ τέτοιο ώστε $|x_{k_n} − x| < ε/2 $για κάθε $n ≥ n_3$. Θέτουµε $n_0 = max\{n_2, n_3\}$. 

Τότε για κάθε $n ≥ n_0$ έχουµε $k_n ≥ n ≥ n_0$, άρα

$|x_n − x| = |x_n − x_{k_n} + x_{k_n} − x|$

$≤ |x_n − x_{k_n}| + |x_{k_n} − x| <ε/2+ε/2= ε$.

Αυτό σηµαίνει ότι η $x_n$ συγκλίνει στο $x$.

Πηγή: Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ (Θέµης Μήτσης)