▪ Ακολουθία Cauchy

Ορισµός

Μια ακολουθία xn ονοµάζεται Cauchy, αν για κάθε $\epsilon >0$ υπάρχει $n_0$ τέτοιο ώστε για κάθε $n,m\ge n_0$ έχουµε 

$|x_n-x_m|<\epsilon$.

Ο ορισµός λέει ότι σε µια ακολουθία Cauchy, αν σας δώσουν οποιοδήποτε $\epsilon$, από κάποιο δείκτη και µετά όλοι οι όροι τής ακολουθίας απέχουν µεταξύ τους απόσταση µικρότερη από $\epsilon$. Θα δείξουµε ότι αυτό είναι στην πραγµατικότητα ισοδύναµο µε το ότι η ακολουθία συγκλίνει.

Θεώρηµα

Μια ακολουθία $x_n$ είναι Cauchy αν και µόνο αν συγκλίνει.

Απόδειξη

΄Εστω ότι $x_n\to \ell$ για κάποιο $\ell$. Θα δείξουµε ότι η $x_n$ είναι Cauchy. ΄Εστω $\epsilon >0$. Αφού $x_n\to \ell$ υπάρχει $n_0$ τέτοιο ώστε 

$|x_n-\ell |<\epsilon /2$, για κάθε $n\ge n_0$.

΄Αρα για κάθε $m,n\ge n_0$ έχουµε

$|x_n-x_m|=|x_n-\ell +\ell -x_m|\le |x_n-\ell |+|x_m-\ell |$

$<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon$.

∆ηλαδή η $x_n$ είναι Cauchy. Αντίστροφα, έστω ότι είναι Cauchy. ∆είχνουµε κατ’ αρχάς ότι είναι ϕραγµένη. Αφού είναι Cauchy, υπάρχει $n_1$ τέτοιο ώστε $|x_n-x_{n_1}|<1$ για κάθε $n\ge n_1$. Εποµένως $|x_n|<1+|x_{n_1}|$ για κάθε $n\ge n_1$,

συνεπώς

$|x_n|\le max|x_1|,...,|x_{n_1}-1|,1+|x_{n_1}|$

για κάθε $n$. ΄Αρα η $x_n$ είναι ϕραγµένη. ΄Ετσι, από Bolzano-Weierstrass, υπάρχει υπακολουθία $x_{k_n}$ τέτοια ώστε $x_{k_n}\to x$ για κάποιο $x$. Θα δείξουµε ότι $x_n\to x$. ΄Εστω $\epsilon >0$. Αφού η $x_n$ είναι Cauchy, υπάρχει $n_2$ τέτοιο ώστε

$|x_n-x_m|<\epsilon /2$, για κάθε $n,m\ge n_2$. Αφού $x_{k_n}\to x$, υπάρχει $n-3$ τέτοιο ώστε $|x_{k_n}-x|<\epsilon /2$για κάθε $n\ge n_3$. Θέτουµε $n_0=max\{n_2,n_3\}$. 

Τότε για κάθε $n\ge n_0$ έχουµε $k_n\ge n\ge n_0$, άρα

$|x_n-x|=|x_n-x_{k_n}+x_{k_n}-x|$

$\le |x_n-x_{k_n}|+|x_{k_n}-x|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon$.

Αυτό σηµαίνει ότι η $x_n$ συγκλίνει στο $x$.

Πηγή: Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ (Θέµης Μήτσης)