Ο Κανόνας του l’Hôpital: Ιστορική Εξέλιξη και Μαθηματική Διατύπωση

1. Βιογραφικά Στοιχεία

Guillaume François Antoine, Marquis de l’Hospital (1661–1704):

Ήταν Γάλλος μαθηματικός και αριστοκράτης με ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τις εφαρμογές του απειροστικού λογισμού. 

Ο l’Hospital δεν ήταν ιδιαίτερα πρωτότυπος μαθηματικός, αλλά διακρίθηκε για την ικανότητά του να παρουσιάζει μαθηματικές έννοιες με σαφήνεια. Είναι περισσότερο γνωστός για το έργο του Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes (1696), το οποίο αποτελεί το πρώτο γνωστό εγχειρίδιο απειροστικού λογισμού.

Johann Bernoulli (1667–1748):

Bernoulli Lemniscate: Περιστροφή δύο εφαπτόμενων ελλείψεων

Bernoulli Lemniscate

Καμπυλώνοντας την όπως ο Bernoulli

Οικογένεια Bernoulli: Τρεις Γενιές Μαθηματικών που Σημάδεψαν την Επιστήμη

Το όνομα Bernoulli είναι συνώνυμο με τη μαθηματική και επιστημονική πρωτοπορία. Πρόκειται για μια οικογένεια από την Ελβετία που έχει αναδείξει πολλούς διακεκριμένους επιστήμονες στους τομείς των μαθηματικών, της φυσικής και των εφαρμογών τους για τρεις γενιές.

Η Πρώτη Γενιά: Jakob (Jacob) I και Johann I Bernoulli

Η ιστορία ξεκινά με τα δύο αδέλφια, Jakob (ή Jacob) και Johann Bernoulli. Ο Jakob, ο πρώτος μαθηματικός της οικογένειας, έκανε σημαντικά βήματα στη θεωρία πιθανοτήτων με το έργο του "Ars Conjectandi", το οποίο θεωρείται θεμέλιο για το πεδίο αυτό. 

«Eadem mutata resurgo»

Ο Ιάκωβος Μπερνούλι (Jacob Bernoulli) έχει στο μνήμα του στο Μύνστερ της Βασιλείας την επιγραφή: "Eadem mutata resurgo" που σημαίνει στα λατινικά: "Αλλάζω και όμως επανέρχομαι ίδιος."

Η επιγραφή αυτή συνοδεύεται από την εικόνα μιας λογαριθμικής σπείρας (spiral logarithmica), η οποία ήταν ένα από τα αγαπημένα του μαθηματικά αντικείμενα, καθώς αντιπροσώπευε γι' αυτόν την ιδέα της αιώνιας αναγέννησης και συνέχειας. 

Ο Μπερνούλι εντυπωσιάστηκε από την ιδιότητα της σπείρας να διατηρεί το σχήμα της ανεξάρτητα από την κλίμακα στην οποία επεκτείνεται,

Τι είναι ο αριθμός e ;

Ο αριθμός $e$, ή η σταθερά του Euler, είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός που έχει σημαντική θέση στα μαθηματικά, τις φυσικές επιστήμες και τη μηχανική, και είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου.

Επομένως, είναι άρρητος και η ακριβής τιμή του δεν μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων. Η κατά προσέγγιση τιμή του είναι: $2,718281828459\dots$

Bernoulli’s Principle

Ο Euler γράφει στον Bernoulli

Σαν σήμερα $15$ Σεπτεμβρίου, το $1739$, ο Leonard Euler έγραψε στον Johann Bernoulli για τη γενική αντιμετώπιση της ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές. Μέσα σε ένα χρόνο ο Euler είχε ολοκληρώσει την εργασία αυτή.

Explore the life and legacy of Jacob Bernoulli, a pioneer in probability and calculus

The Genius Of the Bernoulli Family

For some families, the apple doesn’t fall far from the tree! The Bernoullis are one such unique family: including eight famous 17th and 18th-century mathematicians and physicists all related to each other. 

Get a peek into the drama and genius that arose from such a gifted and competitive family!

Read more »

7/8/2024: Johann Bernoulli, born today in 1667

Johann Bernoulli, born today in 1667, was a prominent mathematician whose work greatly influenced the development of calculus and mathematical analysis. He was born on August 6, 1667, in Basel, Switzerland, into the famous Bernoulli family, which produced many notable mathematicians. 

Johann's genius was evident in his ability to extend and apply the newly developed calculus, transforming it into a more powerful tool for solving real-world problems. He was a key figure in the propagation and development of Leibnizian calculus across Europe and was instrumental in popularizing its use and understanding.

Αδελφοί Μπερνούλι, Ελβετοί μαθηματικοί του 17ου αιώνα

Δεξιά είναι ο Johann Benoulli (1667-1748). Αριστερά ο Jacob Benoulli (1654-1705). 

Ο Johann έγραψε για τις διαφορικές εξισώσεις και τις καμπύλες. Ο Jacob  μελέτησε τις άπειρες σειρές, τις καμπύλες και τον διαφορικό λογισμό, επινοώντας τον όρο "ολοκλήρωμα". Τα αδέλφια συχνά διαφωνούσαν και εδώ στον πίνακα  φαίνεται να συζητούν ένα μαθηματικό πρόβλημα το 1696. 

Bernoulli's Principle

Jacob Bernoulli: «I rise again, changed but the same»

The Bernoulli numbers and Faulhaber's formula

Bernoulli 's Principle

Το σύμβολο ∞

Ο Άγγλος μαθηματικός John Wallis (1616–1703) εισήγαγε το μαθηματικό σύμβολο για το άπειρο ($\mathrm{\infty }$) το $1655$, στο Arithmetica Infinitorum.

Δεν εμφανιζόταν πολύ συχνά σε έντυπη μορφή μέχρι που ο Jakob Bernoulli (1654–1705) δημοσίευσε το Ars Conjectandi (1713).

Η εφαρμογή της θεωρίας του Jacob Bernoulli στα τυχερά παιχνίδια (Lectures Bureau)

Ο Γιακόμπ Μπερνούλι (Jacob Bernoulli, 6 Ιανουαρίου 1655 – 16 Αυγούστου 1705) ήταν Ελβετός μαθηματικός, ένας από τους πολλούς διακεκριμένους μαθηματικούς της οικογένειας Μπερνούλι. 

Ο Γιακόμπ γεννήθηκε στη Βασιλεία. Ακολουθώντας την επιθυμία του πατέρα του, σπούδασε θεολογία και έγινε κληρικός. Αντιθέτως όμως με τις επιθυμίες των γονέων του σπούδασε επίσης μαθηματικά και αστρονομία.

Διαφορικές Εξισώσεις: Εξίσωση Bernoulli

Euler’s Correspondence with Bernoulli

Euler's Correspondence with Bernoulli

Κάντε κλικ στην εικόνα.