Ασυμπτωτική Ανάλυση και Εφαρμογές του Νόμου του Stirling

Το όριο$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{n}n!}{n^n\cdot \sqrt{n}}=\sqrt{2\pi }$$ βασίζεται στην ασυμπτωτική προσέγγιση του παραγοντικού $n!$ μέσω του Νόμου του Stirling.

Νόμος του Stirling

Ο Νόμος του Stirling είναι μια προσέγγιση του παραγοντικού $n!$ για μεγάλες τιμές του $n$, και εκφράζεται ως: $$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$$ Εξήγηση του Ορίου 

Μαθηματικά από Έναν Άλλο Κόσμο: Οι Εμπνεύσεις του Ραμανουτζάν

 

Υπολόγισε, ο Johann Dase το π με 200 δεκαδικά ψηφία;

Το $1844$, ο Johann Dase (γνωστός και ως Zacharias Dahse) ισχυρίστηκε ότι υπολόγισε το $\pi$ με ακρίβεια $200$ δεκαδικών ψηφίων σε λιγότερο από δύο μήνες, χρησιμοποιώντας μόνο νοερές μαθηματικές ικανότητες.

Ο Dase ήταν διάσημος για την εξαιρετική του ικανότητα σε αριθμητικούς υπολογισμούς και προσλήφθηκε για αυτό το έργο από τη Γερμανική Ακαδημία Επιστημών του Αμβούργου, έπειτα από σύσταση του Gauss.

Η μέθοδος που φέρεται να χρησιμοποίησε

Ο Dase υποτίθεται ότι χρησιμοποίησε την ακόλουθη προσέγγιση:

Προσέγγιση του αριθμού π από τον Mādhava

Madhava του Sangamagrama

Το Πρόβλημα της Βασιλείας: Όταν οι Φυσικοί Αριθμοί Συναντούν το π

Το Πρόβλημα της Βασιλείας (Basel problem), ένα κλασικό πρόβλημα των μαθηματικών, ζητά να βρεθεί η τιμή του άπειρου αθροίσματος των αντιστρόφων των τετραγώνων όλων των φυσικών αριθμών. Δηλαδή: $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=1+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{25}}+\cdots$$

Ο Leonard Euler, το 1735, απέδειξε ότι αυτό το άθροισμα συγκλίνει στην τιμή: $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}$$ Αυτή η ανακάλυψη συνδέει τους φυσικούς αριθμούς με την σταθερά $\pi$, αποτελώντας ένα εντυπωσιακό αποτέλεσμα της μαθηματικής ανάλυσης.

5 όμορφοι τύποι για τον υπολογισμό της τιμής του π

Ο Τύπος Machin για τον Υπολογισμό του π

Ο τύπος Machin χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του $\pi$ με υψηλή ακρίβεια και πολλά δεκαδικά ψηφία. Αυτός ο τύπος αποτελεί γενίκευση του διάσημου τύπου του John Machin από το 1706, ο οποίος υπήρξε πρωτοπόρος στην ανάπτυξή του.

Ο τύπος του Machin είναι: $$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$$

Ο John Machin χρησιμοποίησε αυτόν τον τύπο για να υπολογίσει το $\pi$ με ακρίβεια 100 δεκαδικών ψηφίων, επιτυγχάνοντας ένα εντυπωσιακό επίτευγμα για την εποχή του.

Ένα Βήμα κοντά στο 2: Η Ισότητα που Εντυπωσιάζει!

Μια ενδιαφέρουσα μαθηματική ισότητα σήμερα! Ελέγξαμε αν ισχύει ότι 

${\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{e}}-0.00177=2$.

 

Με τις γνωστές τιμές 

• $\pi \approx 3.14159$
• $\sqrt{3}\approx 1.73205$
• $e\approx 2.71828$

το αποτέλεσμα είναι περίπου $2.00003$, δηλαδή πρακτικά ίσο με $2$.

Happy π=3.14 day

 

Borwein Integrals

Borwein Integrals

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΗΜΕΡΑΣ: A History of Pi (pdf)

Click on the image.

Τα Χρώματα του Π: Εξερευνώντας τα Ψηφία του Pi μέσω Γεννητικής Τέχνης

Στην εικόνα απεικονίζονται τα ψηφία του $\pi$ (Pi) δίνοντας σε κάθε ψηφίο ($0-9$) ένα μοναδικό χρώμα, δημιουργώντας ένα πολύχρωμο μοτίβο πλέγματος που αντικατοπτρίζει την τυχαιότητα και τη διανομή της ακολουθίας

Κάντε κλικ στην εικόνα.

14 Μαρτίου: Παγκόσμια Ημέρα Μαθηματικών (IDM) - Μια Παγκόσμια Γιορτή της Γνώσης και της Δημιουργικότητας

Η Παγκόσμια Ημέρα Μαθηματικών (International Day of Mathematics - IDM) είναι μια ετήσια, διεθνής γιορτή που τιμά τη σημασία των μαθηματικών σε κάθε πτυχή της ανθρώπινης ζωής. 

Η ημέρα αυτή, η οποία γιορτάζεται παγκοσμίως κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου, είναι αφιερωμένη στην προώθηση της εκπαίδευσης στα μαθηματικά, στην αναγνώριση του σημαντικού ρόλου που διαδραματίζουν τα μαθηματικά στις επιστήμες, στην τεχνολογία, στη μηχανική και σε άλλες τομείς, καθώς και στην ενίσχυση της συνεργασίας και της επικοινωνίας μεταξύ των μαθητών, των δασκάλων και του ευρύτερου κοινού.

Ιστορικό Σημείωμα: Η Πρώτη Χρήση του Συμβόλου του π

Το σύμβολο π (pi), που σήμερα είναι συνώνυμο με τη μαθηματική σταθερά η οποία εκφράζει τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά το $1706$, από τον Ουαλό μαθηματικό William Jones. 

Στο έργο του Synopsis Palmariorum Matheseos, ο Jones εισήγαγε το $\pi$ ως συντομογραφία για αυτήν τη σταθερά.Παρόλο που η έννοια της σταθεράς ήταν γνωστή στους μαθηματικούς πολύ πριν από τον Jones, η εισαγωγή του συμβόλου $\pi$ προσέφερε μια πιο πρακτική και συνοπτική αναπαράσταση αυτού του λόγου. 

Μια Εντυπωσιακή Προσέγγιση: π4+π5≈e6

 

Χρονολόγιο των Ρεκόρ Υπολογισμού του π

Παγκόσμια Ρεκόρ Υπολογισμού του $\pi$

Η πρόοδος στον υπολογισμό των ψηφίων του $\pi$ τα τελευταία χρόνια είναι εντυπωσιακή, χάρη στη χρήση του αλγορίθμου Chudnovsky. 

Ακολουθεί το χρονολόγιο των παγκοσμίων ρεκόρ: 

Χρονολόγιο Ρεκόρ

• $2009$: Υπολογισμός $2,7$ τρισεκατομμυρίων ψηφίων. 
• $2011$: Αύξηση στα $10$ τρισεκατομμύρια ψηφία. 
• $2016$: Υπολογισμός $22,4$ τρισεκατομμυρίων ψηφίων. 
• $2019$: Επίτευξη $31,4$ τρισεκατομμυρίων ψηφίων. 
• $2020$: Υπολογισμός $50$ τρισεκατομμυρίων ψηφίων. 

Η Ακριβέστερη Προσέγγιση του π για 1000 Χρόνια

Για περισσότερα από $1000$ χρόνια, η τιμή του $\pi$ του Tsu Chung-chih $(430-501)$ (με ακρίβεια $6$ δεκαδικών ψηφίων) ήταν η ακριβέστερη τιμή στην Ευρώπη. 

 

Βελτιώθηκε μόνο τον $16$ο αιώνα.

Low level, but never ending

Προσέγγιση του Παραγοντικού με τη Συνάρτηση του Stirling

Ο τύπος που φαίνεται στην εικόνα είναι η προσέγγιση του Stirling για τον υπολογισμό του παραγοντικού $n!$:

Αυτή η προσέγγιση χρησιμοποιείται για να υπολογίσει με ακρίβεια το παραγοντικό $n!$ για μεγάλες τιμές του $n$, βασισμένη στη στατιστική και την ανάλυση. Το σύμβολο $\sim$ δηλώνει ότι αυτή είναι μια προσέγγιση, όχι ακριβής ισότητα. 

Ο τύπος συνδυάζει τον αριθμό $\pi$, την βάση των φυσικών λογαρίθμων $e$ και τον αριθμό $n$ για να δώσει μια πολύ καλή εκτίμηση του $n!$.

Η Όμορφη Απόδειξη ότι π<227

Ο Διαγωνισμός Putnam του 1968 περιλάμβανε μια εκπληκτική απόδειξη για την ανισότητα $\pi <\frac{22}{7}$ μέσω ενός απλού ολοκληρώματος: $${\int }_0^1\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx=\frac{22}{7}-\pi$$ 

Ανάλυση: 

Το ολοκλήρωμα είναι θετικό διότι: 

• Ο αριθμητής $x^4(1-x{)}^4$ είναι πάντα μη αρνητικός στην περιοχή $[0,1]$ και μηδενίζεται μόνο στα άκρα του διαστήματος. 
• Ο παρονομαστής $1+x^2$ είναι πάντα θετικός.