Στα αριστερά φανταστικοί αριθμοί στα δεξιά πραγματικοί !

@Cliff Pickover

Stirling Formula

Ο πολλαπλασιασμός διαδοχικών μεγάλων ακεραίων αριθμών οδηγεί σε μια έκφραση που περιλαμβάνει $e$ και $π$. 

Ο Σκωτσέζος μαθηματικός James Stirling επινόησε αυτόν τον τύπο για τα παραγοντικά προσεγγίσεων $n!$ το $1730$.
Δείτε επίσης: The Stirling Approximation: a 5-minute Derivation!

Pi Times Phi using a Regular Icosagon Area (visual proof)

Προσεγγίσεις του αριθμού π

The Feynman-Hofstadter Point

The "Feynman-Hofstadter Point", with "$999999$" is indicated with bigger digits.

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049

$π \approx 3,14...$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Pi Cafe Bistro

Η σχέση μεταξύ των αριθμών $e, i, π$ και της χρυσής τομής

ἸωάννηςΚαποδίστριας

Φανταστείτε ότι τα γράμματα του ονόματος ἸωάννηςΚαποδίστριας μετατράπηκαν σε συμβολοσειρά ψηφίων, χρησιμοποιώντας για κάθε σύμφωνο $1$ και για κάθε φωνήεν $0$. Τα κενά παραλείπονται.

Τι λέτε, η προκύπτουσα συνεχής συμβολοσειρά από $0$ και $1$, υπάρχει σίγουρα κάπου στα δεκαδικά ψηφία του $π$;

$π= \dfrac{9801}{1103 \sqrt{8}}$

Ο μαθηματικός Srinivasa Ramanujan ανακάλυψε σχεδόν 4.000 θεωρήματα και εξισώσεις, μοναδικές και πρωτοποριακές.

Κατασκευή του αριθμού π (με προσέγγιση)

Πώς να κατασκευάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους $π=3,1415$;

Προσεγγίσεις του αριθμού π από: Archimedes, Madhava, Wallis, Euler, Ramanujan

Παραλίγο ορθογώνιο

$(-1)^π=?$

Μα πόσο ισούται η δύναμη:

Pi in the sky

Προσέγγιση του αριθμού e χρησιμοποιώντας τους αριθμούς π και ϕ

$$e \approx \frac{4 \phi +3 \pi-5}{4}$$

$$e \approx \pi+\phi +\frac{1-\pi\cdot\phi}2 \approx 2.718$$

$$e \approx \frac{-\phi+2\pi-1+2\pi^2}3-\pi\cdot\phi \approx 2.71825$$

$$e \approx \frac{6\phi-2\pi+2\pi\cdot\phi}5 \approx 2.71828$$

$$e \approx \frac{46\phi+173\pi-183}{160} \approx 2.718281828459$$

$$e \approx \frac{45483\phi-2961\pi-18765}{16748} \approx 2.718281828459045235360$$

Γιατί π ≈ 3,14

How Archimedes Trapped Pi

Θαυμαστή εμφάνιση του αριθμού $π$ !

Ο αριθμός $π$ ως συνεχές κλάσμα [3]

Ο αριθμός $π$, όπως κάθε άρρητος αριθμός, μπορεί να αναπαρασταθεί από μια άπειρη σειρά ένθετων κλασμάτων, που ονομάζεται συνεχές κλάσμα.