Η Όμορφη Απόδειξη ότι π<227

Ο Διαγωνισμός Putnam του 1968 περιλάμβανε μια εκπληκτική απόδειξη για την ανισότητα $\pi <\frac{22}{7}$ μέσω ενός απλού ολοκληρώματος: $${\int }_0^1\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx=\frac{22}{7}-\pi$$ 

Ανάλυση: 

Το ολοκλήρωμα είναι θετικό διότι: 

• Ο αριθμητής $x^4(1-x{)}^4$ είναι πάντα μη αρνητικός στην περιοχή $[0,1]$ και μηδενίζεται μόνο στα άκρα του διαστήματος. 
• Ο παρονομαστής $1+x^2$ είναι πάντα θετικός. 

Επομένως, το ολοκλήρωμα πρέπει να είναι θετικό: $${\int }_0^1\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx>0$$ Αυτό σημαίνει ότι: $$\frac{22}{7}-\pi >0$$ ή αλλιώς: $$\frac{22}{7}>\pi$$ Ο μαθηματικός του Πανεπιστημίου του St Andrews, G.M. Phillips, σχολίασε χαρακτηριστικά: 

«Ποιος θα πει ότι τα μαθηματικά στερούνται χιούμορ;»