Τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε μιγαδική μορφή

 

Σφαιρικός κανόνας του συνημιτόνου

Σφαιρικός κανόνας του συνημιτόνου (Spherical law of cosines): $$cos(a)=cos(b)cos(c)+sin(b)sin(c)cos(\alpha )$$

• Τι γίνεται αν $\alpha =\pi$ 
• Τι γίνεται αν $\alpha =0$ 
• Τι γίνεται αν $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

@tungsteno

Ναι, το sin(π5) Έχει Ακριβή Τιμή – Δείτε Πώς Υπολογίζεται

Υπολογισμός με Όμοια Τρίγωνα και το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Στην τυπική σχολική ύλη τριγωνομετρίας, μαθαίνουμε τις ακριβείς τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για συγκεκριμένες γωνίες, όπως ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ και ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. Όμως, τι συμβαίνει με το ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$;

Η απάντηση είναι ότι το $sin({\displaystyle \frac{\pi }{5}})$ έχει πράγματι ακριβή τιμή, αν και δεν είναι τόσο απλή όσο αυτές των πιο γνωστών γωνιών. Συγκεκριμένα, η ακριβής τιμή του είναι: $$\sin (\pi /5)={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}.$$​ Το Πεντάγωνο και η Σχέση του με το $sin({\displaystyle \frac{\pi }{5}})$

ΒΙΒΛΙΟ: Solving Problems in Algebra and Trigonometry (pdf)

Click on the image.

cos²x+sin²x =1

Πυθαγόρειο θεώρημα σε μοναδιαίο κύκλο.

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Cosine and sine from 3D unit circle

See here the Geogebra file.

Η Γεωμετρική Ερμηνεία των Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων στον Μοναδιαίο Κύκλο

Φανταστείτε ένα σημείο στη θέση $(1,0)$ του μοναδιαίου κύκλου.

Καθώς το σημείο μετακινείται κατά μήκος της περιφέρειας του κύκλου, η $y$- τεταγμένη του αντιστοιχεί στο ημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται με τον άξονα $x$, ενώ η $x$-τετμημένη του αντιστοιχεί στο συνημίτονο της ίδιας γωνίας.

All trigonometric functions from the unit circle

Click here to see Geogebra file.

Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

TRIGONOMETRIA Metodologia Problem Solving

Click on the image.

Ημίτονα και συνημίτονα 1ου τεταρτημορίου

Χαρακτηριστικές γωνίες στο 1ο τεταρτημόριο

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: Δίωρο Διαγώνισμα στην Τριγωνομετρία

Κάντε κλικ στην εικόνα.

sin⁡(a+b)sin⁡(ab)=tan⁡a+tan⁡btan⁡a−tan⁡b

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών: Ο.Η.Ε.Σ.

Το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθορίζεται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας (ή το τέλος του τόξου). 

Ο μνημονικός κανόνας ΟΗΕΣ δίνει τα πρόσημα των τριών τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας $\omega$ - του ημω, του συνω και της εφω - ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της. Η σφω έχει το ίδιο πρόσημο με την εφω (ως αντίστροφος αριθμός της). 

Spherical Trigonometry

Spherical Trigonometry 

Τριγωνομετρικές ταυτότητες

Trigonometric Identities

Graphs of Trigonometric Functions

[21] - Algebraic Inequalities for Contests

[18] - Algebraic Inequalities for Contests