Τριγωνομετρικές ταυτότητες

Trigonometric Identities

Graphs of Trigonometric Functions

[21] - Algebraic Inequalities for Contests

[18] - Algebraic Inequalities for Contests

ΒΙΒΛΙΟ: Problems In Elementary Mathematics For Home Study (pdf)

Click on the image.

$sin^x+cos^2 x=1$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Sine of a Sum (visual proof)

Ο τριγωνομετρικός κύκλος και οι άξονες ημιτόνων, συνημιτόνων και εφαπτομένων

Με κέντρο την αρχή $Ο(0,0)$ ενός συστήματος συντεταγμένων και ακτίνα $ρ=1$ γράφουμε έναν κύκλο. Ο κύκλος αυτός λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος.

Ο άξονας $x'x$ λέγεται και άξονας των συνημιτόνων, ενώ ο άξονας $y'y$ λέγεται και άξονας των ημιτόνων.

Ο άξονας των εφαπτομένων 

Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια γωνία ω που η τελική της πλευρά τον τέμνει στο σημείο $M(x, y)$. Φέρνουμε την εφαπτομένη $ε$ του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο $Α$. 

$cosx$ VS $cosx^2$

Ποια από τις δύο παρακάτω εξισώσεις έχει περισσότερες λύσεις?

• Η εξίσωση $cos(x)=0$: 

• Η εξίσωση $cos^2(x)=0$:
  

Ο Ramanujan έλυσε αυτό το πρόβλημα όταν ήταν στο κολέγιο

Γωνία 1234567890 μοιρών

Μπλε σαν κύμα

Στο διάγραμμα παρακάτω έχουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

$y = cosx + sinx$

$y = sinx + tanx$

και

$y = tanx + cosx$. 

Να βρεθεί το εμβαδόν της μπλε περιοχής.

Κάντε κλικ στην εικόνα για να δείτε τη λύση που μου έστειλε ο κ. Δόρτσιος. 

και κλικ στους παρακάτω συνδέσμους για να δείτε τα σχετικά αρχεία Geogebra:

1. Μπλε σαν κύμα 1 (ολοκληρώματα)
2. Μπλε σαν κύμα 2 (επιφάνεια)

$tan^2x+2tan^2y=?$

Έστω $x,y$ πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει:

$2sinxsiny+3cosy +6cosxsiny=7$.

Να υπολογιστεί το άθροισμα:

$tan^2x+2tan^2y$.

MATH LESSONS: Trigonometry (90 video, playlist)

Visualization of Trigonometric Functions

Maximum value

Εύρεση αγνώστου

Ο Ρωμανός κατασκευάζει μια οξεία γωνία μεγέθους $x°$. Παρατηρεί ότι οι αριθμοί  

$sin x°, cos x°$ και $tan x°$ 

με αυτή τη σειρά είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 

Να βρεθεί η γωνία $x$ (με προσέγγιση εκατοστού). 

ΨΗΦΙΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Γ' Γυμνασίου - Τριγωνομετρία

• Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας με 0° ≤ ω ≤ 180°

Διατυπώνεται ο ορισμός των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας μεταξύ 0° και 180° με τη βοήθεια του συστήματος συντεταγμένων.

• Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Περιγράφεται η σχέση των τριγωνομετρικών αριθμών παραπληρωματικών γωνιών.

• Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας

Παρουσιάζεται η απόδειξη των βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων και υπολογίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας μεταξύ 0° και 180°, όταν ένας από αυτούς είναι γνωστός.

• Άσκηση στις τριγωνομετρικές ταυτότητες

Παρουσιάζεται μία άσκηση υπολογισμού των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας μεταξύ 0° και 180°, όταν ένας από αυτούς είναι γνωστός.

Special Angles in Unit Circle

Trig Functions of special angles on the unit circle

Πεδίο ορισμού και Σύνολο τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων