Ναι, το sin(π5) Έχει Ακριβή Τιμή – Δείτε Πώς Υπολογίζεται

Υπολογισμός με Όμοια Τρίγωνα και το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Στην τυπική σχολική ύλη τριγωνομετρίας, μαθαίνουμε τις ακριβείς τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για συγκεκριμένες γωνίες, όπως ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ και ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. Όμως, τι συμβαίνει με το ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$;

Η απάντηση είναι ότι το $sin({\displaystyle \frac{\pi }{5}})$ έχει πράγματι ακριβή τιμή, αν και δεν είναι τόσο απλή όσο αυτές των πιο γνωστών γωνιών. Συγκεκριμένα, η ακριβής τιμή του είναι: $$\sin (\pi /5)={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}.$$​ Το Πεντάγωνο και η Σχέση του με το $sin({\displaystyle \frac{\pi }{5}})$

Αν θεωρήσουμε ένα κανονικό πεντάγωνο εγγεγραμμένο στον μοναδιαίο κύκλο (δηλαδή με ακτίνα $1$), η κεντρική γωνία του είναι ${\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$, και η μισή αυτής είναι ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$.

Το μήκος της πλευράς του κανονικού πενταγώνου συνδέεται άμεσα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Συγκεκριμένα, ισχύει η σχέση: $$s=2sin({\displaystyle \frac{\pi }{5}}).$$

• Δείτε το βίντεο παρακάτω: