THEOREM OF THE DAY: Euclid’s Triangular Prism

Theorem

Any prism with a triangular base is divisible into three triangular-based pyramids of equal volume.

Click on the image.

The Elements of Euclid with highlights

An interactive rendering of the renowned 2300 year-old textbook on Geometry with all 482 figures !

Click on the image.

Euclid: «There is no royal road to geometry»

Euclid's Elements I Proposition 47, Book 1

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ: Η θεωρία των παραλλήλων | Το αίτημα του Ευκλείδη

Στο Βιβλίο I των «Στοιχείων» του ο Ευκλείδης ορίζει ως παράλληλες «τις ευθείες εκείνες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και προεκτεινόμενες επ’ άπειρον και από τα δύο μέρη δε συναντώνται σε κανένα απ’ αυτά». 

Αμέσως μετά διατυπώνει πέντε αιτήματα, τα τέσσερα πρώτα από τα οποία εκφράζουν τις βασικές ιδιότητες των γεωμετρικών κατασκευών με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη, ενώ το πέμπτο αποφαίνεται ότι: 

Euclid's Elements Book XIII - Proposition 14

Proposition 14

To construct an octahedron and comprehend it in a sphere, as in the preceding case; and to prove that the square on the diameter of the sphere is double the square on the side of the octahedron.

I.11

Set out the diameter AB of the given sphere, bisect it at C, describe the semicircle ADB on AB, draw CD from C at right angles to AB, and join DB.

I.46

XI.12

Set out the square EFGH, having each of its sides equal to DB, join HF and EG, set up the straight line KL from the point K at right angles to the plane of the square EFGH, and carry it through to the other side of the plane KM.

I.3

Cut off KL and KM from the straight lines KL and KM respectively equal to one of the straight lines EK, FK, GK, or HK, and join LE, LF, LG, LH, ME, MF, MG, and MH.

I.47

Then, since KE equals KH, and the angle EKH is right, therefore the square on HE is double the square on EK. Again, since LK equals KE, and the angle LKE is right, therefore the square on EL is double the square on EK.

Euclid - The Father of Geometry

«Ψηφιακός Ευκλείδης: Νέες προοπτικές στη διδασκαλία της Γεωμετρίας»

Ημερίδα που πραγματοποιήθηκε στο Κέντρο Πολιτισμού Ίδρυμα Σταύρος Νιάρχος, στις 27/04/2024.

ΒΙΒΛΙΟ: The First Six Books of the Elements of Euclid

Click on the image.

Ψηφιακός Ευκλείδης: Νέες προοπτικές στη διδασκαλία της Γεωμετρίας

Ημερίδα που πραγματοποιήθηκε στο Κέντρο Πολιτισμού Ίδρυμα Σταύρος Νιάρχος στις 27/04/2024 με θέμα: «Ψηφιακός Ευκλείδης: Νέες προοπτικές στη διδασκαλία της Γεωμετρίας».

Euclid: «The laws of nature are but the mathematical thoughts of God»

Euclid's Elements Book XIII - Proposition 13

Proposition 13

To construct a pyramid, to comprehend it in a given sphere; and to prove that the square on the diameter of the sphere is one and a half times the square on the side of the pyramid.

VI.9
I.11

Set out the diameter AB of the given sphere, cut it at the point C so that AC is double CB, describe the semicircle ADB on AB, draw CD from the point C at right angles to AB, and join DA.

I.1
IV.2

Set out the circle EFG with radius equal to DC, inscribe the equilateral triangle EFG in the circle EFG, take the center H of the circle, and join EH, HF, and HG.

XI.12
I.3

Set HK up from the point H at right angles to the plane of the circle EFG, cut off HK equal to the straight line AC from HK, and join KE, KF, and KG.

XI.Def.3

Now, since KH is at right angles to the plane of the circle EFG, therefore it makes right angles with all the straight lines which meet it and are in the plane of the circle EFG. But each of the straight lines HE, HF, and HG meets it, therefore HK is at right angles to each of the straight lines HE, HF, and HG.

I.4

And, since AC equals HK, and CD equals HE, and they contain right angles, therefore the base DA equals the base KE. For the same reason each of the straight lines KF and KG also equals DA. Therefore the three straight lines KE, KF, and KG equal one another.

Άγαλμα του Ευκλείδη που βρίσκεται στο Μουσείο Φυσικής Ιστορίας του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης

Oxford University Museum of Natural History

The Theorem of the Day: Euclid’s Pythagorean Formula

For each Pythagorean triple $(a,b,c)$ (i.e. positive integers satisfying $a^2+b^2=c^2)$ there is a unique triple $(k,m,n)$ of positive integers, with $m>n$, and $m$ and $n$ coprime and of different parity, such that

$a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)$.

Είκοσι δύο αιώνες αργότερα, οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι ο Ευκλείδης είχε ανέκαθεν δίκιο | Μέρος Α’

Στο διάβα της ιστορίας, το πιο προβληματικό χαρακτηριστικό του Βιβλίου Ι των Στοιχείων είναι το αμφιλεγόμενο αίτημα των παραλλήλων.

Το πρόβλημα δεν ανέκυψε επειδή κάποιος αμφισβήτησε ότι το αίτημα των παραλλήλων έπρεπε να είναι αληθές. Αντιθέτως, υπήρξε παγκόσμια συναίνεση ότι το αίτημα ήταν μια λογική αναγκαιότητα. Σε τελική ανάλυση, η γεωμετρία ήταν ένας αφηρημένος τρόπος περιγραφής του σύμπαντος – ένα είδος “καθαρής φυσικής” – και ασφαλώς η φυσική πραγματικότητα υπαγόρευε την αλήθεια του αιτήματος των παραλλήλων.

Είκοσι δύο αιώνες αργότερα, οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι ο Ευκλείδης είχε ανέκαθεν δίκιο | Μέρος Β’

Ο νεαρός Γιάνος αγνόησε τη συμβουλή του. Σχεδόν όπως ο Γκάους κατέληξε να αναγνωρίσει την κρίσιμη κατάταξη που αφορούσε το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου και προσπάθησε να εξαλείψει τα πάντα εκτός από την περίπτωση που ήταν ισοδύναμη με το αίτημα των παραλλήλων· τελικά, όπως ο Γκάους, απέτυχε.

Καθώς ο Μπόλιαϊ ενέσκηπτε ολοένα και βαθύτερα στο πρόβλημα, κατέληξε και αυτός στο συμπέρασμα ότι η γεωμετρία του Ευκλείδη είχε έναν λογικά έγκυρο ανταγωνιστή, και έγραψε με έκπληξη δίπλα από τις ιδιόμορφες αλλά φαινομενικά συνεπείς προτάσεις του: “Από το τίποτα δημιούργησα ένα παράξενα σύμπαν”.

Ο Paul Erdös συλλογίζεται τον θάνατο

Κάποτε, ενώ σκεφτόταν το θάνατό του, ο μαθηματικός Paul Erdös (1913–1996) είπε: 

«Η μητέρα μου είπε, «Ακόμα κι εσύ, Paul, μπορείς να είσαι μόνο σε ένα μέρος τη φορά». 

Ίσως σύντομα να απαλλαγώ από αυτό το μειονέκτημα ... Ίσως, μόλις φύγω, να μπορώ να βρίσκομαι σε πολλά μέρη ταυτόχρονα. Ίσως τότε μπορέσω να συνεργαστώ με τον Αρχιμήδη και τον Ευκλείδη».

Από το βιβλίο: «Passion for Mathematics», Clifford Pickover.

Από όλα τα βιβλία του δυτικού πολιτισμού μόνο η Βίβλος μελετήθηκε πιο εξονυχιστικά από τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Από την Ακαδημία του Πλάτωνα, αποφοίτησαν πολλοί ικανοί μαθηματικοί, και ένας αναντίρρητα σπουδαίος, ο Εύδοξος ο Κνίδιος. Μεταξύ του Ιπποκράτη και του Ευκλείδη μεσολάβησε ενάμισης αιώνας. 

Στη διάρκεια αυτού του χρονικού διαστήματος, ο αρχαίος ελληνικός πολιτισμός αναπτυσσόταν και ωρίμαζε, ενώ εμπλουτιζόταν από τα γραπτά του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη, του Αριστοφάνη και του Θουκυδίδη, ακόμη και όταν γνώρισε την αναταραχή του Πελοποννησιακού Πολέμου και τη δόξα της ελληνικής αυτοκρατορίας υπό τον Μέγα Αλέξανδρο.

Η διάλεξη του Δημήτρη Χριστοδούλου για τα μαθηματικά στην αρχαία Αλεξάνδρεια (Ευκλείδης – Αρχιμήδης)

Η μπροστινή όψη του μεταλλίου Fields (θεωρείται ως το βραβείο Νομπέλ των μαθηματικών) εικονίζει τον κορυφαίο των μαθηματικών, το Αρχιμήδη, το όνομα του οποίου επιγράφεται στα Ελληνικά στη δεξιά πλευρά… Η επιγραφή στα Λατινικά σημαίνει: «Ξεπέρασε τον εαυτό σου και συλλάμβανε τον κόσμο»

Σήμερα έπεσε στα χέρια μου ένα μικρό βιβλίο με τίτλο «ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ – ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» (εκδόσεις Ευρασία) και με έκπληξη διαπίστωσα ότι το όνομα του συγγραφέα είναι ένα από τα κορυφαία της παγκόσμιας επιστημονικής κοινότητας – του Δημήτρη Χριστοδούλου.

Οι Ευκλείδειοι Περίπατοι του Μαγκρίτ (1955)

Ο René Magritte (1898-1967) ζωγράφισε στους Ευκλείδειους Περίπατους του, μια σουρεαλιστική σύγκριση μεταξύ της πραγματικής γεωμετρίας της οροφής ενός πύργου και της προβολικής ψευδαίσθησης ενός δρόμου. 

Ίσως, αυτός ήταν ο λόγος που σκέφτηκε τον μεγάλο Ευκλείδη για τον τίτλο αυτής της γοητευτικής και εκπληκτικής εικόνας.