The Gaussian Integral

The Gaussian Integral

68 ολοκληρώματα για την ημέρα 7/4/2025

Να υπολογιατούν τα ολοκληρώματα: 

1. ${\displaystyle \int x{\sec }^{2}xdx}$ 

2. ${\displaystyle \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx}$ 

3. ${\displaystyle \int x(\ln x{)}^{2}dx}$ 

4. ${\displaystyle \int \frac{1}{x(\ln x{)}^2}dx}$ 

5. ${\displaystyle \int \frac{\ln x}{x^2}dx}$ 

6. ${\displaystyle \int \frac{(\ln x{)}^3}{x}dx}$ 

7. ${\displaystyle \int x^3{e}^{x}dx}$ 

8. ${\displaystyle \int x^5{e}^{x}dx}$ 

9. ${\displaystyle \int x^3\sqrt{x^2+1}dx}$ 

JAPAN Today’s Calculation Of Integral 2008

📘 Πατήστε το κουμπί παρακάτω για να ανοίξετε το PDF από το Art of Problem Solving:

➤ Άνοιγμα PDF

Interactive applet: Fubini's theorem for integral calculus

Click here.

JAPAN Today’s Calculation Of Integral 2005

📘 Πατήστε το κουμπί παρακάτω για να ανοίξετε το PDF:

➤ Άνοιγμα PDF

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 5/4/2025

Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{(e^{-x^3}(\sin (x)+\cos (x)+\tan (x)))}^{\pi }}{\ln (1+\sqrt{1-x^3})}}dx.$$

JAPAN Today’s Calculation Of Integral 2013

📘 Πατήστε το κουμπί παρακάτω για να ανοίξετε το PDF από το Art of Problem Solving:

➤ Άνοιγμα PDF

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [106]

Η συνάρτηση $g$ είναι τέτοια ώστε η δεύτερη παράγωγος $g^{″}$ να είναι συνεχής, με $g^{″}(x)\ge 1$. 

Δείξτε ότι αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής με $f(0)=f(1)=0$, τότε $${\int }_0^1{f}^2(x)e^{g(x)}dx\le {\int }_0^1(f^{\prime }(x){)}^2{e}^{g(x)}dx.$$

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 31/3/2025

Έστω $f$ μια μη αρνητική, Ρίμαν ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο $[0,1]$ τέτοια ώστε 

${\int }_0^{1}f(x)dx=1.$

Να αποδειχθεί ότι $${\int }_0^1{(x-{\int }_0^{1}uf(u)du)}^{2}f(x)dx\le \frac{1}{4}.$$

Δείτε τη λύση στο MathStackExchange.

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 20/3/2025

 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [101]

Δίνεται ότι 

$f(x)+f(x+1)=3$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Αν 

$\{\begin{array}{l}a={\int }_0^{8}f(x)dx\\ b={\int }_{-1}^{3}f(x)dx\end{array}$ 

να βρεθεί το άθροισμα 

${\rm I}=a+2b$.

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 17/3/2025

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Borwein Integrals

Borwein Integrals

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 13/3/2025

Nα βρεθεί το ολοκλήρωμα $${\int }_0^2{\log }_a(x+\sqrt{x^2+1})dx+{\int }_0^{{\log }_a(2+\sqrt{5})}{\displaystyle \frac{a^x-a^{-x}}{2}}dx,$$ όπου $a>0$ και $a\ne 1.$

Cauchy Integral Formula

 

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 12/3/2025

Ποιο ολοκλήρωμα είναι μεγαλύτερο; $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(1+x^2)(1+x^{2015})}\text{ή}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(1+x^2)(1+x^{2016})}$$

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 11/3/2025

 

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $${\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{1+x^{2016}}{1+{2016}^x}}dx.$$

Ολοκληρώματα με Λογαριθμικές και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [98]

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ δίνεται παραπάνω, όπου $A_1$ και $A_2$ είναι τα εμβαδά των χρωματισμένων περιοχών.

 

Αν $A_1=6$ τετραγωνικές μονάδες και $A_2=13$ τετραγωνικές μονάδες, τότε ποια είναι η τιμή της παράστασης $$2f(2)+6f(-6)-{\int }_{-6}^{2}f(x)dx;$$

Α) ${\displaystyle \frac{1}{2}}$      Β) $1$      Γ) $2$     Δ) ${\displaystyle \frac{3}{2}}$      Ε) $4$

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 4/3/2025

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: