Το Ολοκλήρωμα των Άπειρων Ριζών

Ο Πύργος της Ολοκλήρωσης

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Ρομαντικό ολοκλήρωμα

ΒΙΒΛΙΟ: Handbook of Integral Equations (pdf)

Click on the image.

Όγκος σφαίρας $V=\dfrac{4α^3π}{3}$

New integral

Evaluate:

$\Omega = \int_{0}^{1} \left( x \operatorname{Li}_3(1 - x^2) + x \ln \left( x \ln \left( \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} \right) \right) \right) \, dx$

Proposed by: ◆ Shirvan Tahirov ◆

An integral of Romanian Mathematical Magazine

Find a closed form: \[ \Omega = \int_{1}^{e^{\pi}} \int_{0}^{1} \frac{\arcsin(x^a) \arccos(x^a)}{x} \, dx \, da \] Proposed by Ankush Kumar Parcha - India 

Solution by Ose Favour - Nigeria \[ \Omega = \int_{0}^{1} \frac{\arccos(x) \arcsin(x)}{x} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{\arcsin(x)}{x} \left( \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \right) \, dx = \] \[ = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} \frac{\arcsin(x)}{x} \, dx - \int_{0}^{1} \frac{(\arcsin(x))^2}{x} \, dx \cong \] \[ = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y \cot(y) \, dy - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y^2 \cot(y) \, dy = \frac{\pi^2}{4} \ln(2) + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y \ln(\sin(y)) \, dy = \] \[ = \frac{\pi^2}{4} \ln(2) - \frac{\pi^2}{8} \ln(2) - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y \cos(2ky) \, dy = \frac{7}{8} \zeta(3). \]

Borwein Integrals

Read more: Borwein Integrals

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 4/12/2024

Riemann Sums and Integral

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε το αρχείο Geogebra.

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 30/11/2024

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 26/11/2024

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Derivative and Integrale

Δείτε εδώ το αρχείο Geogebra.

Ελάχιστη τιμή

Έστω  συνάρτηση 

$f(x)=\int_0^1 |t-x|t dt$, $x\in R$. 

α) Να γίνει η γραφική παράσταση της \( f(x) \). 

β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της \( f(x) \).

Volume of the Sphere by unit Cylinders

Kάντε κλικ εδώ, για να δείτε το αρχείο Geogebra.

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 24/11/2024

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [89]

Αν $f$ άρτια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα $[-2,2]$ και το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου είναι ίσο με $2α>0$, τότε ισχύει $\int_0^2 [6-f(χ)]dx=α.$

Σωστό   ή   Λάθος ;

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 23/11/2024

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\int_1^2 \dfrac{ab}{c} dx=? $

Να υπολογιστεί το ζητούμενο ολοκλήρωμα.

@Eduard Razvan Tomciuc

Ορισμός εμβαδού επιπέδου χωρίου

Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $[α,β]$, με $f(x) ≥ 0$ για κάθε $x ϵ [α,β]$ και $Ω$ το χωρίο που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα των $x$ και τις ευθείες $x = α, x = β$.

Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου $Ω$ εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Δηλαδή:

• Χωρίζουμε το διάστημα $[α,β]$ σε ν ισομήκη