Fermat’s Little Theorem: The most beautiful proof

Click on the image.

Fermat's Little Theorem

Fermat's Little Theorem

Οι Simpsons και το Θεώρημα του Fermat: Ένα Μαθηματικό Κόλπο!

Στο επεισόδιο The Wizard of Evergreen Terrace των Simpsons (1998), υπάρχει μια φαινομενικά εκπληκτική μαθηματική στιγμή:

$3987^{12}+4365^{12}=4472^{12}$

Αν υπολογίσετε την εξίσωση σε μια αριθμομηχανή με οθόνη 10 ψηφίων, φαίνεται να λειτουργεί! Ωστόσο, αυτή η εξίσωση παραβιάζει το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, το οποίο δηλώνει ότι:

$a^n+b^n=c^n$

δεν έχει λύση για ακέραιους αριθμούς $$a,b,c\$,$ όταν $n>2$. Ο Andrew Wiles απέδειξε αυτό το θεώρημα το 1994.

Ο Μαθηματικός που Άφησε το Σημάδι του: Pierre de Fermat

Ο Pierre de Fermat (1601 - 1665) ήταν Γάλλος δικηγόρος και μαθηματικός, γνωστός για τις συνεισφορές του στη θεωρία των αριθμών. 

Η ζωή και το έργο του Fermat είναι ιδιαίτερα σημαντικά για πολλούς λόγους:

• Το Θεώρημα του Fermat για τους Πρώτες Αριθμούς: Ανακάλυψε μια μέθοδο για να προσδιορίσει αν ένας αριθμός είναι πρώτος, που είναι γνωστή ως η δοκιμή πρωτιμότητας του Fermat. $a^p \equiv a \pmod{p} \text{ για όλα τα } a, \text{ όπου } p \text{ είναι πρώτος αριθμός}$

THEOREM OF THE DAY: Fermat’s Little Theorem

Click on the image.

Fermat's Little Theorem ← Number Theory

Σφάλμα στη λύση

Ένας μαθηματικός υποστηρίζει ότι μεε τη βοήθεια ενός προγράμματος στον υπολογιστή βρήκε κάποιους αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση του Fermat 

$x^n+y^n=z^n$.

Λέει στον συνάδελφο του ότι την παρακάτω τριάδα αριθμών 

$x = 31415926536, y = 89173261421, z = 90354441655$. 

Μόλις τους είδε ο συνάδελφος του λέει: «Αποκλείεται, δεν μπορεί οι αριθμοί αυτοί να είναι λύση.  

Ξαναελέγχει το πρόγραμμα του ο μαθηματικός και βρίσκει ένα σφάλμα. 

Πώς ήξερε ο συνάδελφος του ότι υπήρχε σφάλμα στη λύση;

Fermat’s Little Theorem

Fermat’s spiral

The parametric equations of the Fermat’s spiral can be given by 

$x = at^{\frac{1}{2}} \cos t, \, y= at^{\frac{1}{2}} \sin t $

$x = -at^{\frac{1}{2}} \cos t, \, y= -at^{\frac{1}{2}} \sin t$ 

In polar coordinates the equation of a Fermat’s spiral with parameter a and centre $(0, 0)$ is given by

$r^2=a^2 \theta.$

Source: en1gm4th5

Fermat's Last Theorem is not applicable to matrices

@fermatslibrary

How to discover the statement and two proofs of Fermat's little theorem

The statement, and sketches of the usual proofs

Fermat's little theorem states that if $p$ is a prime and $x$ is an integer not divisible by $p$, then $x^{p-1}$ is congruent to $1 (mod p)$.

One proof is to note that x can be regarded as an element of the multiplicative group of non-zero residue classes ($mod p$). It generates a cyclic subgroup, and the order of that subgroup is the minimal r such that $x^r=1 (mod p)$. By Lagrange's theorem, this $r$ must divide $p-1$, from which the theorem readily follows.

Another proof is to deal with a modified statement: that $x^p=x (mod p)$ for every $x$.

Read more »

Proving Fermat's Last Theorem (almost) in just 2 minutes !

Andrew Wiles - What does it feel like to do maths?

Fermat Numbers

Fermat's Last Theorem

Fermat was the first person known to have evaluated the integral of general power functions. With his method, he was able to reduce this evaluation to the sum of geometric series. 

THEOREM OF THE DAY: Fermat’s Last Theorem

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Fermat 's Little Theorem

Fermat 's Last Theorem

These Are the 10 Hardest Math Problems Ever Solved: Fermat’s Last Theorem [2]

Pierre de Fermat was a 17th-century French lawyer and mathematician. Math was apparently more of a hobby for Fermat, and so one of history’s greatest math minds communicated many of his theorems through casual correspondence. 

He made claims without proving them, leaving them to be proven by other mathematicians decades, or even centuries, later. The most challenging of these has become known as Fermat’s Last Theorem.

Fermat Number, Last Theorem and Little Theorem