▪ Sum = ?

Nα υπολογισθεί το άθροισμα:

▪ Άθροισμα V

Αν για τους διαφορετικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς a, b, c, … w, x, y, z ισχύουν:

1²   +    a²   +   2²    =   3²

b²   +    c²   +   d²    =   7²

e²   +    f²   +   g²    =   13²

4²   +    h²   +   20²    =   i²

j²   +    k²   +   m²    =   n²

p²   +    q²   +   r²    =   43²

w²   +    x²   +   y²    =   z² 

να υπολογισθεί το άθροισμα 13w + 13x + 15y + 17z.

▪ Άθροισμα IV

Παρατηρήστε ότι:
3² + 4² = 5²
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44², κ.τ.λ.
Η πρώτη ισότητα έχει τρεις όρους, η δεύτερη έχει πέντε όρους, η τρίτη έχει επτά όρους και η τέταρτη έχει εννιά όρους.
Αν μία τέτοια ισότητα έχει 2003 όρους και γράφεται:

w² + ... + x² = y² + ... + z², (όπου, w < ... < x < y < ... < z) 

να βρεθεί το άθροισμα w + x + y + z.

▪ Άθροισμα ΙΙ

Αν

a + 2b + 3c + 4d = 262

4a + b + 2c + 3d = 123

3a + 4b + c + 2d = 108

2a + 3b + 4c + d = 137.

να υπολογισθεί το άθροισμα 27a+ 28b + 29c + 30d.

▪ Άθροισμα άρρητων αριθμών

Αν κάνετε την ερώτηση: μπορεί το άθροισμα δύο άρρητων αριθμών να είναι ρητός, η απάντηση συνήθως είναι, όχι.
Κι όμως, οι άρρητοι αριθμοί π.χ. 1 - √2  και  1 + √2 έχουν άθροισμα τον ακέραιο αριθμό 2.

▪ Ο Θεός υπαγορεύει και ο Ραμανουτζάν γράφει XΙ

Από τον Ραμανουτζάν:

▪ Άθροισμα Cesaro

Aν α₁,α₂, …,α_ν είναι πραγματικοί αριθμοί, ονομάζουμε άθροισμα Cesaro  τον αριθμό s₁ +s₂ + …+s_ν, όπου s_κ = α₁+ α₂+ …+α_ν (κ = 1,2,….,ν). Αν το άθροισμα Cesaro των αριθμών α₁+ α₂+ …+α₉₉ είναι 1000, να υπολογίσετε το άθροισμα Cesaro των αριθμών 1, α₁,α₂, …,α₉₉.

Ε.Μ.Ε 1999

▪ Αποδείξεις χωρίς λόγια ΙXΧ

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + (2n-1) = n²

▪ Αποδείξεις χωρίς λόγια XVIII

▪ Αποδείξεις χωρίς λόγια XVII

▪ Αποδείξεις χωρίς λόγια XVI