Αλγεβρικές Ταυτότητες για Συμμετρικές Εξισώσεις

Αν $a+b=k$ και $ab=p$, όπου $k,p\in \mathbb{R},\mathbb{C}$, τότε ισχύουν οι παρακάτω ταυτότητες: 

• $a-b=\pm \sqrt{k^2-4p}$ 
• $a^2+b^2=k^2-2p$
• $a^2-b^2=\pm k\sqrt{k^2-4p}$ 
• $a^3+b^3=k^3-3pk$
• $a^3-b^3=\pm \sqrt{k^2-4p}[(k^2-p)$

Κατανόηση της ταυτότητας α3−β3

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Οπτικοποίηση του διωνυμικού θεωρήματος

Αποδείξεις χωρίς λόγια​.

Διαβάστε περισσότερα εδώ.

a3−b3α−b=a2+ab+b2

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Higher Power Geometric Intentities

Sophomore's Dream

In mathematics, the Sophomore's dream is the pair of identities (especially the first) 

$$\begin{array}{rlrl}& {\int }_0^1{x}^{-x}dx& & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}\\ & {\int }_0^1{x}^{x}dx& & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{n}^{-n}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}\end{array}$$

discovered in 1697 by Johann Bernoulli.

The numerical values of these constants are approximately 

$1.291285997...$ and $0.7834305107...,$ 

respectively.

Read more »

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

a2−b2=(a+b)(a−b)

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

(a+b)2=a2+2ab+b2

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

The most beautiful equation of Mathematics

Αλγεβρικές Ταυτότητες

Proizvolov's Identity

Sophie Germain Identity | A rare telescoping product problem

Διαφορά τετραγώνων

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Απόδειξη χωρίς λόγια

Απόδειξη ταυτότητας

Μπορούμε να αποδείξουμε την ταυτότητα 

${𝑥}^3-1=(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)$ 

απλά αντικαθιστώντας στο χ μερικές τιμές? Η απάντηση είναι: Ναι!

Απόδειξη

Έστω το πολυώνυμο 

$𝑝(𝑥)={𝑥}^3-1-(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)$ 

τότε 

$𝑝(0)=0^3-1-(0-1)(0^2+0+1)=0$

$𝑝(1)=1^3-1-(1-1)(1^2+1+1)=0$

$𝑝(2)=2^3-1-(2-1)(2^2+2+1)=0$

$𝑝(3)=3^3-1-(3-1)(3^2+3+1)=0$ 

Το $𝑝(𝑥)$ είναι τρίτου βαθμού και έχει τέσσερις ρίζες.Άρα $𝑝(𝑥)\equiv 0$, οπότε 

${𝑥}^3-1=(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)$ !

Μπορούμε να αποδείξουμε μία ταυτότητα απλά με αντικατάσταση;

H απάντηση είναι: ΝΑΙ

Έστω η ταυτότητα:

${𝑥}^3-1=(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)$ 

Θεωρώ το πολυώνυμο

$𝑝(𝑥)={𝑥}^3-1-(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)$ 

τότε

$𝑝(0)=0^3-1-(0-1)(0^2+0+1)=0$

$𝑝(1)=1^3-1-(1-1)(1^2+1+1)=0$ 

$𝑝(2)=2^3-1-(2-1)(2^2+2+1)=0$ 

$𝑝(3)=3^3-1-(3-1)(3^2+3+1)=0$ 

το πολυώνυμο $𝑝(𝑥)$ είναι ΤΡΙΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ και έχει ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΡΙΖΕΣ, άρα $𝑝(𝑥)\equiv 0$, οπότε

${𝑥}^3-1=(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)!$

Απεικόνιση του διωνυμικού θεωρήματος μέχρι την 4η δύναμη

Πηγή: wikipedia

▪ (α + β)^2 = α^2 + 2αβ + β^2

Γεωμετρική ερμηνεία της ταυτότητας: