$\dfrac{a^3-b^3}{α-b}=a^2+ab+b^2$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Higher Power Geometric Intentities

Sophomore's Dream

In mathematics, the Sophomore's dream is the pair of identities (especially the first) 

\begin{alignedat}{2}&\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}\\&\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\end{alignedat}

discovered in 1697 by Johann Bernoulli.

The numerical values of these constants are approximately 

$1.291285997... $ and $0.7834305107...,$ 

respectively.

Read more »

$(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

$a^2-b^2= (a+b)(a-b)$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

$(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

The most beautiful equation of Mathematics

Αλγεβρικές Ταυτότητες

Proizvolov's Identity

Sophie Germain Identity | A rare telescoping product problem

Διαφορά τετραγώνων

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Απόδειξη χωρίς λόγια

Απόδειξη ταυτότητας

Μπορούμε να αποδείξουμε την ταυτότητα 

$𝑥^ 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥^ 2 + 𝑥 + 1)$ 

απλά αντικαθιστώντας στο χ μερικές τιμές? Η απάντηση είναι: Ναι!

Απόδειξη

Έστω το πολυώνυμο 

$𝑝(𝑥) = 𝑥^3 − 1 − (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1)$ 

τότε 

$𝑝(0) = 0^ 3 − 1 − (0 − 1)(0^ 2 + 0 + 1) = 0 $

$𝑝(1) = 1^ 3 − 1 − (1 − 1)(1^ 2 + 1 + 1) = 0 $

$𝑝(2) = 2^ 3 − 1 − (2 − 1)(2^ 2 + 2 + 1) = 0 $

$𝑝(3) = 3^ 3 − 1 − (3 − 1)(3^ 2 + 3 + 1) = 0$ 

Το $𝑝(𝑥)$ είναι τρίτου βαθμού και έχει τέσσερις ρίζες.Άρα $𝑝(𝑥) ≡ 0$, οπότε 

$𝑥^ 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 ^2 + 𝑥 + 1)$ !

Μπορούμε να αποδείξουμε μία ταυτότητα απλά με αντικατάσταση;

H απάντηση είναι: ΝΑΙ

Έστω η ταυτότητα:

$𝑥^3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1)$ 

Θεωρώ το πολυώνυμο

$𝑝(𝑥) = 𝑥^3 − 1 − (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1)$ 

τότε

$𝑝(0) = 0^3 − 1 − (0 − 1)(0^2 + 0 + 1) = 0 $

$𝑝(1) = 1^3 − 1 − (1 − 1)(1^2 + 1 + 1) = 0$ 

$𝑝(2) = 2^3 − 1 − (2 − 1)(2^2 + 2 + 1) = 0$ 

$𝑝(3) = 3^3 − 1 − (3 − 1)(3^2 + 3 + 1) = 0$ 

το πολυώνυμο $𝑝(𝑥)$ είναι ΤΡΙΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ και έχει ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΡΙΖΕΣ, άρα $𝑝(𝑥) ≡ 0$, οπότε

$𝑥^3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1) !$

Απεικόνιση του διωνυμικού θεωρήματος μέχρι την 4η δύναμη

Πηγή: wikipedia

▪ (α + β)^2 = α^2 + 2αβ + β^2

Γεωμετρική ερμηνεία της ταυτότητας:

Ταυτότητα Carmichael

Ισχύει:

(m2−n2−p2+q2)2+(2nm−2pq)2+(2mp+2nq)2=(m2+n2+p2+q2)2

Ταυτότητα Cossali

Ισχύει:

(m2+m)2+(m+1)2+m2=(m2+m+1)2

▪ Γεωμετρική ερμηνεία ταυτοτήτων (ΙΙΙ)

(α + β)³ = α³ + 3α²β + 3αβ² + β³