Μπορούμε να αποδείξουμε μία ταυτότητα απλά με αντικατάσταση;

H απάντηση είναι: ΝΑΙ

Έστω η ταυτότητα:

$𝑥^3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1)$ 

Θεωρώ το πολυώνυμο

$𝑝(𝑥) = 𝑥^3 − 1 − (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1)$ 

τότε

$𝑝(0) = 0^3 − 1 − (0 − 1)(0^2 + 0 + 1) = 0 $

$𝑝(1) = 1^3 − 1 − (1 − 1)(1^2 + 1 + 1) = 0$ 

$𝑝(2) = 2^3 − 1 − (2 − 1)(2^2 + 2 + 1) = 0$ 

$𝑝(3) = 3^3 − 1 − (3 − 1)(3^2 + 3 + 1) = 0$ 

το πολυώνυμο $𝑝(𝑥)$ είναι ΤΡΙΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ και έχει ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΡΙΖΕΣ, άρα $𝑝(𝑥) ≡ 0$, οπότε

$𝑥^3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1) !$