Μπορούμε να αποδείξουμε μία ταυτότητα απλά με αντικατάσταση;

H απάντηση είναι: ΝΑΙ

Έστω η ταυτότητα:

${𝑥}^3-1=(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)$ 

Θεωρώ το πολυώνυμο

$𝑝(𝑥)={𝑥}^3-1-(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)$ 

τότε

$𝑝(0)=0^3-1-(0-1)(0^2+0+1)=0$

$𝑝(1)=1^3-1-(1-1)(1^2+1+1)=0$ 

$𝑝(2)=2^3-1-(2-1)(2^2+2+1)=0$ 

$𝑝(3)=3^3-1-(3-1)(3^2+3+1)=0$ 

το πολυώνυμο $𝑝(𝑥)$ είναι ΤΡΙΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ και έχει ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΡΙΖΕΣ, άρα $𝑝(𝑥)\equiv 0$, οπότε

${𝑥}^3-1=(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)!$