Η Βαβέλ των Γλωσσών

Από τους $1985$ συμμετέχοντες σε μία διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα, κανένας δεν μιλάει περισσότερες από πέντε γλώσσες. 

Επιπλέον, για οποιοδήποτε υποσύνολο τριών συμμετεχόντων, τουλάχιστον δύο από αυτούς μιλούν μία κοινή γλώσσα. Αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον μία γλώσσα που ομιλείται από $200$ ή περισσότερους συμμετέχοντες.

2η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985

Romanian Mathematical Olympiad RMC 1996 - PROBLEMS and SOLUTIONS

Click on the image.

Romanian Mathematical Olympiad RMC 2001 - PROBLEMS and SOLUTIONS

Click on the image.

Romanian Mathematical Olympiad RMC 2002 - PROBLEMS and SOLUTIONS

Click on the image.

Junior Balkan Mathematical Olympiad 2002 [Shortlists & Solutions]

1. A student is playing computer. Computer shows randomly 2002 positive numbers. Game's rules let do the following operations
   
   • to take 2 numbers from these, to double first one, to add the second one and to save the sum.
   • to take another 2 numbers from the remainder numbers, to double the first one, to add the second one, to multiply this sum with previous and to save the result.
   • to repeat this procedure, until all the $2002$ numbers won't be used.
   Student wins the game if final product is maximum possible. Find the winning strategy and prove it.
   
2. Positive real numbers are arranged in the form
   $ 1 \ \ \ 3 \ \ \ 6 \ \ \ 10 \ \ \ 15 ...$
   $ 2 \ \ \ 5 \ \ \ 9 \ \ \ 14 ...$
   $ 4 \ \ \ 8 \ \ \ 13 ...$
   $ 7 \ \ \ 12 ...$
   $ 11 ...$
   Find the number of the line and column where the number 2002 stays.

Romanian Mathematical Olympiad RMC 2003 - PROBLEMS and SOLUTIONS

Click on the image.

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός 2001

Από socrates

Junior Balkan Mathematical Olympiad 2001 [Shortlists & Solutions]

1. Find the positive integers $n$ that are not divisible by $3$ if the number $2^{n^2-10}+2133$ is a perfect cube.
2. Let $P_n \ (n=3,4,5,6,7)$ be the set of positive integers $n^k+n^l+n^m$, where $k,l,m$ are positive integers. Find $n$ such that a) In the set $P_n$ there are infinitely many squares. b) In the set $P_n$ there are no squares.
   
3. Find all the three-digit numbers $\overline{abc}$ such that the $6003$-digit number $\overline{abcabc\ldots abc}$ is divisible by $91$.
4. The discriminant of the equation $x^2-ax+b=0$ is the square of a rational number and $a$ and $b$ are integers. Prove that the roots of the equation are integers.

Eric Larsen Math Olympiad 2012 [Shortlists & Solutions]

Algebra

1. Let $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3$ be nonzero real numbers satisfying $x_1+x_2+x_3=0$, $y_1+y_2+y_3=0$. Prove that $\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}}+\dfrac{x_2x_3+y_2y_3}{\sqrt{(x_2^2+y_2^2)(x_3^2+y_3^2)}}+$ $+\dfrac{x_3x_1+y_3y_1}{\sqrt{(x_3^2+y_3^2)(x_1^2+y_1^2)}} \ge -\dfrac32.$
   
2. Let $a,b,c$ be three positive real numbers such that $ a \le b \le c$ and $a+b+c=1$. Prove that $\dfrac{a+c}{\sqrt{a^2+c^2}}+\dfrac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}+$ $+\dfrac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} \le \dfrac{3\sqrt{6}(b+c)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}.$
3. Prove that any polynomial of the form $1+a_nx^n + a_{n+1}x^{n+1} + \cdots + a_kx^k$ ($k\ge n$) has at least $n-2$ non-real roots (counting multiplicity), where the $a_i$ ($n\le i\le k$) are real and $a_k\ne 0$.

Balkan Mathematical Olympiad 2023 [Solutions]

1. Find all functions $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ such that for all $x,y \in \mathbb{R}$, \[xf(x+f(y))=(y-x)f(f(x)).\]

2. In triangle $ABC$, the incircle touches sides $BC$, $CA$, $AB$ at $D$, $E$, $F$ respectively. Assume there exists a point $X$ on the line $EF$ such that $\angle{XBC} = \angle{XCB} = 45^{\circ}$. Let $M$ be the midpoint of the arc $BC$ on the circumcircle of $ABC$ not containing $A$. Prove that the line $MD$ passes through $E$ or $F$. 

Romanian Mathematical Olympiad RMC 2004 - PROBLEMS and SOLUTIONS

Click on the image.

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός 2000

Από socrates

Romanian Mathematical Olympiad RMC 2008 - PROBLEMS and SOLUTIONS

Click on the image.

Κυπριακή Μαθηματική εταιρεία (ΚΥ.Μ.Ε): Διαγωνισμοί, Ολυμπιάδες και Συνέδρια Μαθηματικών 2024-2025

Στο πιο κάτω πρόγραμμα μπορείτε να δείτε όλες τις προγραμματισμένες δραστηριότητες της ΚΥ.Μ.Ε. (διαγωνισμούς και συνέδρια) για τη σχολική χρονιά $2024-2025$.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία: Ένα πρόβλημα Μαθηματικών Ολυμπιάδων [2]

Ο Ανδρέας παίζει μόνος του το εξής παιγνίδι: Αρχικά έχει δέκα στοίβες με $1, 2, 3, . . . , 9$ και $10$ νομίσματα αντίστοιχα. 

Σε κάθε κίνηση ο Ανδρέας κάνει μία από τις παρακάτω πράξεις: 

(α) Επιλέγει δύο στοίβες με τουλάχιστον δύο νομίσματα η καθεμία, τις ενώνει σε μία στοίβα και προσθέτει σε αυτή ακόμη δύο νομίσματα. 

USA JUNIOR MATHEMATICAL OLYMPIAD - Problems and Solutions (2010 - 2024)

JMO 2010 (PDF) (TeX)

JMO 2011 (PDF) (TeX)

JMO 2012 (PDF) (TeX)

JMO 2013 (PDF) (TeX)

JMO 2014 (PDF) (TeX)

JMO 2015 (PDF) (TeX) 

JMO 2016 (PDF) (TeX)

JMO 2017 (PDF) (TeX)

JMO 2018 (PDF) (TeX)

JMO 2019 (PDF) (TeX) 

JMO 2020 (PDF) (TeX)

JMO 2021 (PDF) (TeX)

JMO 2022 (PDF) (TeX)

JMO 2023 (PDF) (TeX)

JMO 2024 (PDF) (TeX)

From Erdos to Kiev - Problems of Olympiad Caliber

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Junior Balkan Mathematical Olympiad Compendium (2003 - 2024)

Click on the image.

The Balkan Mathematical Olympiad Compendium (1984 - 2024)

Click on the image.

Καλοκαιρινό Μαθηματικό Σχολείο ΕΜΕ 2014 | Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

Κάντε κλικ στην εικόνα.