Ένα Βήμα κοντά στο 2: Η Ισότητα που Εντυπωσιάζει!

Μια ενδιαφέρουσα μαθηματική ισότητα σήμερα! Ελέγξαμε αν ισχύει ότι 

${\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{e}}-0.00177=2$.

 

Με τις γνωστές τιμές 

• $\pi \approx 3.14159$
• $\sqrt{3}\approx 1.73205$
• $e\approx 2.71828$

το αποτέλεσμα είναι περίπου $2.00003$, δηλαδή πρακτικά ίσο με $2$.

Μια Εντυπωσιακή Προσέγγιση: π4+π5≈e6

 

Τα Ψηφία 1-9 και η Εκπληκτική Σχέση τους με τον Αριθμό e

Τα ψηφία $1-9$ κρύβουν μερικά εντυπωσιακά μαθηματικά κόλπα όλα μαζί!

Ένα από τα πιο εκπληκτικά είναι ότι μπορούν να αναπαράγουν την τιμή του $e$ με ακρίβεια 18.457.734.525.360.901.453.873.570 δεκαδικών ψηφίων. 

Αυτή η ανακάλυψη έγινε από τον Richard Sabey το $2004$.

Πηγή: futilitycloset

Προσέγγιση του Παραγοντικού με τη Συνάρτηση του Stirling

Ο τύπος που φαίνεται στην εικόνα είναι η προσέγγιση του Stirling για τον υπολογισμό του παραγοντικού $n!$:

Αυτή η προσέγγιση χρησιμοποιείται για να υπολογίσει με ακρίβεια το παραγοντικό $n!$ για μεγάλες τιμές του $n$, βασισμένη στη στατιστική και την ανάλυση. Το σύμβολο $\sim$ δηλώνει ότι αυτή είναι μια προσέγγιση, όχι ακριβής ισότητα. 

Ο τύπος συνδυάζει τον αριθμό $\pi$, την βάση των φυσικών λογαρίθμων $e$ και τον αριθμό $n$ για να δώσει μια πολύ καλή εκτίμηση του $n!$.

Σήμερα 16/1/2025 - Καλή και ευλογημέννη ημέρα !

Ωραίοι αριθμοί !

Euler's Number via Geometry

Στα αριστερά φανταστικοί αριθμοί στα δεξιά πραγματικοί !

@Cliff Pickover

Τι είναι ο αριθμός e ;

Ο αριθμός $e$, ή η σταθερά του Euler, είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός που έχει σημαντική θέση στα μαθηματικά, τις φυσικές επιστήμες και τη μηχανική, και είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου.

Επομένως, είναι άρρητος και η ακριβής τιμή του δεν μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων. Η κατά προσέγγιση τιμή του είναι: $2,718281828459\dots$

Stirling Formula

Ο πολλαπλασιασμός διαδοχικών μεγάλων ακεραίων αριθμών οδηγεί σε μια έκφραση που περιλαμβάνει $e$ και $\pi$. 

Ο Σκωτσέζος μαθηματικός James Stirling επινόησε αυτόν τον τύπο για τα παραγοντικά προσεγγίσεων $n!$ το $1730$.
Δείτε επίσης: The Stirling Approximation: a 5-minute Derivation!

Ωραίοι αριθμοί !

Η σχέση μεταξύ των αριθμών e,i,π και της χρυσής τομής

Παραλίγο ορθογώνιο

Προσέγγιση του αριθμού e χρησιμοποιώντας τους αριθμούς π και ϕ

$$e\approx \frac{4\varphi +3\pi -5}{4}$$

$$e\approx \pi +\varphi +\frac{1-\pi \cdot \varphi }{2}\approx 2.718$$

$$e\approx \frac{-\varphi +2\pi -1+2{\pi }^2}{3}-\pi \cdot \varphi \approx 2.71825$$

$$e\approx \frac{6\varphi -2\pi +2\pi \cdot \varphi }{5}\approx 2.71828$$

$$e\approx \frac{46\varphi +173\pi -183}{160}\approx 2.718281828459$$

$$e\approx \frac{45483\varphi -2961\pi -18765}{16748}\approx 2.718281828459045235360$$

π και e

Ίσως κάποτε

Πιστεύετε ότι οι άνθρωποι θα βρουν ποτέ $100$ διαδοχικά δεκαδικά ψηφία του αριθμού $e$ μέσα στον αριθμό $\pi$;

Trick to prove Euler's identity

Με ακρίβεια

π4+π5≈e6

$({\pi }^4+{\pi }^5{)}^{\frac{1}{6}}\approx 2,71828180861$
και

$e=2,71828182845904...$

Euler's Formula

The most beautiful equation in mathematics, blending the five most important constants: $0,1,i$, $\pi$, and $e$.