Στα αριστερά φανταστικοί αριθμοί στα δεξιά πραγματικοί !

@Cliff Pickover

Τι είναι ο αριθμός $e$ ;

Ο αριθμός $e$, ή η σταθερά του Euler, είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός που έχει σημαντική θέση στα μαθηματικά, τις φυσικές επιστήμες και τη μηχανική, και είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου.

Επομένως, είναι άρρητος και η ακριβής τιμή του δεν μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων. Η κατά προσέγγιση τιμή του είναι: $2,718281828459…$

Stirling Formula

Ο πολλαπλασιασμός διαδοχικών μεγάλων ακεραίων αριθμών οδηγεί σε μια έκφραση που περιλαμβάνει $e$ και $π$. 

Ο Σκωτσέζος μαθηματικός James Stirling επινόησε αυτόν τον τύπο για τα παραγοντικά προσεγγίσεων $n!$ το $1730$.
Δείτε επίσης: The Stirling Approximation: a 5-minute Derivation!

Ωραίοι αριθμοί !

Η σχέση μεταξύ των αριθμών $e, i, π$ και της χρυσής τομής

Παραλίγο ορθογώνιο

Προσέγγιση του αριθμού e χρησιμοποιώντας τους αριθμούς π και ϕ

$$e \approx \frac{4 \phi +3 \pi-5}{4}$$

$$e \approx \pi+\phi +\frac{1-\pi\cdot\phi}2 \approx 2.718$$

$$e \approx \frac{-\phi+2\pi-1+2\pi^2}3-\pi\cdot\phi \approx 2.71825$$

$$e \approx \frac{6\phi-2\pi+2\pi\cdot\phi}5 \approx 2.71828$$

$$e \approx \frac{46\phi+173\pi-183}{160} \approx 2.718281828459$$

$$e \approx \frac{45483\phi-2961\pi-18765}{16748} \approx 2.718281828459045235360$$

π και e

Ίσως κάποτε

Πιστεύετε ότι οι άνθρωποι θα βρουν ποτέ $100$ διαδοχικά δεκαδικά ψηφία του αριθμού $e$ μέσα στον αριθμό $π$;

Trick to prove Euler's identity

Με ακρίβεια

$π^4+π^5 \approx e^6$

$(π^4+π^5)^{\frac{1}{6}}≈2,71828180861$
και

$e=2,71828182845904...$

Euler's Formula

The most beautiful equation in mathematics, blending the five most important constants: $0, 1, i$, $π$, and $e$.

Η χρυσή τομή, το e, το i και ο αριθμός π

What's so special about Euler's number e?

What's so special about Euler's number e?

$(π^4+π^5)^{ \frac{1}{6}}\approx e$

$e \neq Q$

Σαν σήμερα

Στις $6$ Μαρτίου $1939$ πέθανε ο Ferdinand von Lindemann. Ήταν ένας Γερμανός μαθηματικός γνωστός για την απόδειξή του, το $1882$, ότι ο αριθμός $π$ είναι ένας υπερβατικός αριθμός. 

Οι μέθοδοί του είναι παρόμοιες με εκείνες που επέτρεψαν στον Charles Hermite να αποδείξει ότι το $e$ είναι υπερβατικό το $1873$.

Pi Day 2024

Ωραίες ισότητες.

Ο πολυσχιδής αριθμός e

Ο αριθμός $e$ είναι μια σημαντική μαθηματική σταθερά που είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου. Είναι περίπου ίση με $2,71828$ και είναι το όριο της ακολουθίας $(1 + 1/n)^n$,  όσο το $n$ πλησιάζει το άπειρο, μια έκφραση που προκύπτει από την μελέτη των σύνθετων τόκων. Μπορεί επίσης να υπολογιστεί ως το άθροισμα της άπειρης σειράς

Αποκαλούμενος μερικές φορές ως αριθμός Όιλερ από τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ. Ο αριθμός e είναι επίσης γνωστός ως σταθερά του Napier, αλλά η επιλογή του Euler του συμβόλου $e$ λέγεται ότι έχει διατηρηθεί προς τιμήν του. Ο $e$ ανακαλύφθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό Γιακόμπ Μπερνούλι όταν μελετούσε σύνθετους τόκους.