Ωραίοι αριθμοί !

Euler's Number via Geometry

Στα αριστερά φανταστικοί αριθμοί στα δεξιά πραγματικοί !

@Cliff Pickover

Τι είναι ο αριθμός $e$ ;

Ο αριθμός $e$, ή η σταθερά του Euler, είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός που έχει σημαντική θέση στα μαθηματικά, τις φυσικές επιστήμες και τη μηχανική, και είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου.

Επομένως, είναι άρρητος και η ακριβής τιμή του δεν μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων. Η κατά προσέγγιση τιμή του είναι: $2,718281828459…$

Stirling Formula

Ο πολλαπλασιασμός διαδοχικών μεγάλων ακεραίων αριθμών οδηγεί σε μια έκφραση που περιλαμβάνει $e$ και $π$. 

Ο Σκωτσέζος μαθηματικός James Stirling επινόησε αυτόν τον τύπο για τα παραγοντικά προσεγγίσεων $n!$ το $1730$.
Δείτε επίσης: The Stirling Approximation: a 5-minute Derivation!

Ωραίοι αριθμοί !

Η σχέση μεταξύ των αριθμών $e, i, π$ και της χρυσής τομής

Παραλίγο ορθογώνιο

Προσέγγιση του αριθμού e χρησιμοποιώντας τους αριθμούς π και ϕ

$$e \approx \frac{4 \phi +3 \pi-5}{4}$$

$$e \approx \pi+\phi +\frac{1-\pi\cdot\phi}2 \approx 2.718$$

$$e \approx \frac{-\phi+2\pi-1+2\pi^2}3-\pi\cdot\phi \approx 2.71825$$

$$e \approx \frac{6\phi-2\pi+2\pi\cdot\phi}5 \approx 2.71828$$

$$e \approx \frac{46\phi+173\pi-183}{160} \approx 2.718281828459$$

$$e \approx \frac{45483\phi-2961\pi-18765}{16748} \approx 2.718281828459045235360$$

π και e

Ίσως κάποτε

Πιστεύετε ότι οι άνθρωποι θα βρουν ποτέ $100$ διαδοχικά δεκαδικά ψηφία του αριθμού $e$ μέσα στον αριθμό $π$;

Trick to prove Euler's identity

Με ακρίβεια

$π^4+π^5 \approx e^6$

$(π^4+π^5)^{\frac{1}{6}}≈2,71828180861$
και

$e=2,71828182845904...$

Euler's Formula

The most beautiful equation in mathematics, blending the five most important constants: $0, 1, i$, $π$, and $e$.

Η χρυσή τομή, το e, το i και ο αριθμός π

What's so special about Euler's number e?

What's so special about Euler's number e?

$(π^4+π^5)^{ \frac{1}{6}}\approx e$

$e \neq Q$

Σαν σήμερα

Στις $6$ Μαρτίου $1939$ πέθανε ο Ferdinand von Lindemann. Ήταν ένας Γερμανός μαθηματικός γνωστός για την απόδειξή του, το $1882$, ότι ο αριθμός $π$ είναι ένας υπερβατικός αριθμός. 

Οι μέθοδοί του είναι παρόμοιες με εκείνες που επέτρεψαν στον Charles Hermite να αποδείξει ότι το $e$ είναι υπερβατικό το $1873$.