Last two digits

Stirling Formula

Ο πολλαπλασιασμός διαδοχικών μεγάλων ακεραίων αριθμών οδηγεί σε μια έκφραση που περιλαμβάνει $e$ και $π$. 

Ο Σκωτσέζος μαθηματικός James Stirling επινόησε αυτόν τον τύπο για τα παραγοντικά προσεγγίσεων $n!$ το $1730$.
Δείτε επίσης: The Stirling Approximation: a 5-minute Derivation!

Το θεώρημα των τεσσάρων τετραγώνων

Το θεώρημα των τεσσάρων τετραγώνων του Lagrange δηλώνει ότι κάθε μη αρνητικός ακέραιος $n$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τεσσάρων μη αρνητικών τετραγώνων $$n = w^2+x^2+y^2+z^2.$$

Μοναδικός πρώτος

Μόνο ένας από τους παρακάτω αριθμούς είναι πρώτος. Ποιος είναι? 

(A) $19972003$ 

(B) $19992003$ 

(C) $20012003$ 

(D) $20022003$ 

(E) $20032003$

εφ(ΓΓΩΩΝΝΙΙΑΑ)=?

Στη λέξη «ΓΩΝΙΑ» διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν σε διαφορετικά ψηφία του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης. 

Αν είναι γνωστό ότι οι γωνίες μετρούνται σε μοίρες και ισχύει 

$ημ(ΓΩΝΙΑ)=  \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$ 

να βρείτε την $εφ(ΓΓΩΩΝΝΙΙΑΑ)$.

Από το περιοδικό Ευκλείδης Β΄,τ.123

Διαφορετικά χρώματα

Οι ακέραιοι αριθμοί από το $1$ έως το $2023$ είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα σε ευθεία γραμμή. Ο Μιχαήλ χρωματίζει με μπλε όλους τους αριθμούς που διαιρεούνται με το $23$, με κίτρινο 

χρώμα όλους τους αριθμούς που διαιρούντια με το $88$, με πράσινο χρώμα τους αριθμούς που διαρούνται με τον αριθμός $23$ και με τον αριθμό $88$ και με κόκκινο όλους τους αριθμούς που δεν διαιρούντια με κανένα από αυτούς. 

Πόσα διπλανά ζεύγη αριθμών έχουν διαφορετικά χρώματα;

 (α) $222$      (β) $220$       (γ) $218$       (δ) $216$

Διαιρέτες αθροισμάτων

Έστω οι ακεραιοι αριθμοί $a, b, c$  τέτοιοι ώστε το άθροισμα $a + b + c$ να διαιρείται με τον αριθμό $6$ και το άθροισμα $a^2 + b^2 + c^2$ να διαιρείται με τον αριθμό $36$. 

Με τα δεδομένα αυτά προκύπτει ότι το άθροισμα $a^3 + b^3 + c^3$  διαιρείται με το

i) $8$

ii) $27$?

Λύση στο $Ζ^{+}$

Last digit

USAMO 1982, Problem 4

IMO 2024, Problem 2

Eötvös-Kürschák Mathematical Competitions - PROBLEMS (1894 - 2003)

Κάντε κλικ εδώ.

$(x,y,z)=?$

Ακέραιες τριάδες

$4444^{4444}$

Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού $4444^{4444}$ είναι $A$. Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού $A$ είναι $B$. 

Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού $B;$

Eötvös Kürschák Math Competition 1969 | Problem 1

Μέχρι τέλους

Ο Μιχαήλ γράφει τους αριθμούς $1, 2, …, 2n$ σε έναν πίνακα, όπου $n$ είναι ένας περιττός θετικός ακέραιος. 

Στη συνέχεια διαλέγει οποιουσδήποτε δύο αριθμούς $a$ και $b$, τους σβήνει και γράφει τον αριθμό $\mid a-b \mid$. Συνεχίζει να το κάνει αυτό μέχρι να μείνει ένας αριθμός. 

Να αποδείξετε ότι αυτός ο αριθμός είναι περιττός.

Fermat's Little Theorem ← Number Theory

Και τα δύο τετράγωνα

Αν έχουμε δύο αριθμούς $a$ και $b$ έτσι ώστε το $ab + 1$ να είναι τετράγωνο, τότε είναι πάντα δυνατό να βρούμε έναν αριθμό $c$ για τον οποίο οι αριθμοί 

$ac + 1$ και $bc + 1$ 

είναι και οι δύο τετράγωνα. 

Ένα παράδειγμα:

$8 × 3 + 1 = 25 = 5^2$ και $8 × 21 + 1 = 169 = 13^2$ και $3 × 21 + 1 = 64 = 8^2$.

Εντάξει το παράδειγμα, απόδειξη  όμως?

ΒΙΒΛΙΟ: Basic Number Theory (pdf)

Click on the image.