Παράγοντες, άθροισμα και ίσες δυνάμεις

Έστω ότι $a,b,c,d$ είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε 

$ab=cd$. 

Να αποδείξετε ότι το άθροισμα 

$a^{1992}+b^{1992}+c^{1992}+d^{1992}$ 

είναι πάντα σύνθετος αριθμός.

Το θεώρημα του Wilson

Έστω $p$ ένας πρώτος αριθμός, τότε $$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p).$$

See three proofs of theorem here.

Υπολογισμός Πλήθους Ψηφίων

Πόσα ψηφία έχει ο αριθμός 

${2000}^{24}$ ? 

Απάντηση

Έχουμε διαδοχικά:

$2^{10}=1024>{10}^3$ 

$2^{20}>{10}^6$

$2^{24}>16\times {10}^6$

${2000}^{24}=2^{24}\times ({10}^3{)}^{24}=2^{24}\times {10}^{72}>16\times {10}^6\times {10}^{72}=$

$=16\times {10}^{78}$

$2^{13}=8192<{10}^4$

$2^{24}=2048\times 2^{13}<2048\times {10}^4$

${2000}^{24}=2^{24}\times {10}^{72}<2048\times {10}^4\times {10}^{72}=2048\times {10}^{76}$

Επομένως, ο αριθμός ${2000}^{24}$ έχει 

$4+76=80$ ψηφία.

Πρώτοι Παράγοντες Ακεραίου

Ο αριθμός $${\displaystyle \frac{9^9-8^8}{1001}}$$ είναι ακέραιος. Να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων παραγόντων του.

Αναζήτηση Τιμών

Βρείτε όλες τις τιμές του $n$, δεδομένου ότι το $n$ είναι θετικός ακέραιος.

Πολλαπλάσια του 24 με ψηφία 2 και 4

Πόσοι $24$-ψήφιοι νούμερα που περιέχουν μόνο τα ψηφία $2$ και $4$ είναι πολλαπλάσια του $24$;

Τι είναι η Θεωρία Αριθμών, που Ακούμε Συχνά στα Μαθηματικά;

Για πολλούς, οι αριθμοί είναι απλώς εργαλεία για καθημερινούς υπολογισμούς. Για άλλους, αποτελούν ένα συναρπαστικό πεδίο έρευνας γεμάτο μυστήρια και προκλήσεις. 

Η Θεωρία Αριθμών, ένας από τους παλαιότερους και πιο γοητευτικούς κλάδους των μαθηματικών, μελετά τις ιδιότητες και τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών, ανοίγοντας ένα παράθυρο σε έναν κόσμο γεμάτο πρότυπα και μαθηματική ομορφιά. 

Η Θεωρία Αριθμών επικεντρώνεται κυρίως στους ακέραιους αριθμούς ($\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots$) και τις αλληλεπιδράσεις τους.

Ακεραιότητα Αριθμού με Συνδυασμούς Παραγοντικών Τιμών

Αποδείξτε ότι για κάθε $n\ge 1$ ο αριθμός $$\frac{(1^2+2^2+\cdots +n^2)!}{(1!{)}^2\cdot (2!{)}^3\cdot (3!{)}^4\cdot \cdots \cdot (n!{)}^{n+1}}$$ είναι ακέραιος.

Πρόβλημα Πρώτων Τριάδων

Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών $(a,b,c)$ για τις οποίες ισχύει:

Fermat’s Little Theorem: The most beautiful proof

Click on the image.

Swedish Mathematics Olympiad | 2002 Question 4

Fermat's Little Theorem

Fermat's Little Theorem

Πιερ Ντελίνι: Ο Βέλγος Μαθηματικός που Άλλαξε τη Θεωρία των Αριθμών

Το $2007$, το Βέλγιο τίμησε τον σπουδαίο μαθηματικό Πιερ Ντελίνι (Pierre Deligne) με την έκδοση ενός αναμνηστικού νομίσματος ή μεταλλίου, σχεδιασμένου από την καλλιτέχνιδα Els Vandevyvere. 

Ο Ντελίνι θεωρείται ένας από τους κορυφαίους μαθηματικούς της εποχής μας, με εξαιρετικές συνεισφορές στη θεωρία των αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία. Το πιο εμβληματικό του επίτευγμα είναι η απόδειξη των υποθέσεων του Άντρου Βάιλ, που του χάρισε το Μετάλλιο Φιλντς το $1978$, τη σημαντικότερη διάκριση στα μαθηματικά.

Ρίτσαρντ Ντέντεκιντ και το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής

Αυτή η εικόνα είναι ένα γραμματόσημο από τη Λαϊκή Δημοκρατία της Γερμανίας (DDR) που εκδόθηκε το $1981$, προς τιμήν του μαθηματικού Ρίτσαρντ Ντέντεκιντ, ο οποίος γεννήθηκε το $1831$ και πέθανε το $1916$. 

Ο τύπος στο γραμματόσημο

$a=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}{p}_3^{e_3}\dots$ 

αναπαριστά το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, το οποίο λέει ότι κάθε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του $1$ είναι είτε πρώτος αριθμός από μόνος του είτε μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών με μοναδικό τρόπο, εκτός από τη σειρά των παραγόντων. 

Αυτό το θεώρημα συχνά εκφράζεται στη μορφή της πρωταρχικής ανάλυσης ενός αριθμού, όπου $p_1,p_2,p_3,\dots$ είναι πρώτοι αριθμοί και $e_1,e_2,e_3,\dots$ είναι οι αντίστοιχοι δείκτες τους.

[3] - Number Theory Problems from and for Contests

 

[2] - Number Theory Problems from and for Contests

[1] - Number Theory Problems from and for Contests

Το Θεώρημα του Ζιγκμοντί στη Θεωρία Αριθμών

Το Θεώρημα του Ζιγκμοντί αφορά τις διαφορές και τα αθροίσματα δυνάμεων δύο ακέραιων αριθμών. Δίνει ένα σημαντικό αποτέλεσμα σχετικά με τους πρώτους διαιρέτες αυτών των εκφράσεων. 

Διατύπωση του θεωρήματος: 

Αν έχουμε δύο θετικούς ακέραιους αριθμούς $a$ και $b$ με: 

- $a>b$ 

- $a$ και $b$ να είναι πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή $gcd(a,b)=1$) 

- Έναν εκθέτη $n\ge 2$ 

τότε η διαφορά $a^n-b^n$ έχει τουλάχιστον έναν πρώτο διαιρέτη που δεν εμφανίζεται στη διαφορά $a^k-b^k$ για οποιοδήποτε $k<n$. 

A fun fact for Year 2025

#mathiratti

Το Άθροισμα των Ψηφίων του 2n και η Συμπεριφορά του

Έστω $S(n)$ το άθροισμα των ψηφίων του $2^n$ (στη βάση 10). Η ακολουθία των τιμών του $S(n)$ αυξάνεται και μειώνεται με ενδιαφέροντες τρόπους. 

Για παράδειγμα:

• $2^0=1\to S(0)=1$,
• $2^1=2\to S(1)=2$,
• $2^2=4\to S(2)=4$,
• $2^3=8\to S(3)=8$,
• $2^4=16\to S(4)=1+6=7$,
• $2^5=32\to S(5)=3+2=5$,
• $2^6=64\to S(6)=6+4=10$, και ούτω καθεξής.

Είστε σίγουροι ότι το $S(n)$ τείνει στο άπειρο καθώς το $n$ τείνει στο άπειρο;