$m=?$

Τελευταίο ψηφίο

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία: Ένα πρόβλημα Μαθηματικών Ολυμπιάδων

Πρόβλημα

Να βρείτε όλους τους τριψήφιους φυσικούς αριθμούς για τους οποίους το τετράγωνό τους λήγει με τα ίδια τρία ψηφία. 

Λύση 

Θέλουμε να βρούμε όλους τους τριψήφιους $n$ για τους οποίους 

$1000|n 2 − n$.

Ισοδύναμα θέλουμε 

$8|n(n − 1)$ και $125|n(n − 1)$. 

Επειδή οι $n − 1, n$ είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε αυτό είναι ισοδύναμο με 

$(8|n$ ή $8|n − 1)$ και $(125|n$ ή $125|n − 1)$. 

Last two digits

Πέντε πρώτοι αριθμοί

THEOREM OF THE DAY: Lagrange’s Four-Squares Theorem

Theorem 

Any non-negative integer $n$, may be written as a sum of four squares: $$n = w^2 + x^2 + y^2 + z^2$$ where $w, x, y$ and $z$ are non-negative integers (some of which may be zero.)

Click on the image.

Harmonic primes

Last two digits

Stirling Formula

Ο πολλαπλασιασμός διαδοχικών μεγάλων ακεραίων αριθμών οδηγεί σε μια έκφραση που περιλαμβάνει $e$ και $π$. 

Ο Σκωτσέζος μαθηματικός James Stirling επινόησε αυτόν τον τύπο για τα παραγοντικά προσεγγίσεων $n!$ το $1730$.
Δείτε επίσης: The Stirling Approximation: a 5-minute Derivation!

Το θεώρημα των τεσσάρων τετραγώνων

Το θεώρημα των τεσσάρων τετραγώνων του Lagrange δηλώνει ότι κάθε μη αρνητικός ακέραιος $n$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τεσσάρων μη αρνητικών τετραγώνων $$n = w^2+x^2+y^2+z^2.$$

Μοναδικός πρώτος

Μόνο ένας από τους παρακάτω αριθμούς είναι πρώτος. Ποιος είναι? 

(A) $19972003$ 

(B) $19992003$ 

(C) $20012003$ 

(D) $20022003$ 

(E) $20032003$

εφ(ΓΓΩΩΝΝΙΙΑΑ)=?

Στη λέξη «ΓΩΝΙΑ» διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν σε διαφορετικά ψηφία του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης. 

Αν είναι γνωστό ότι οι γωνίες μετρούνται σε μοίρες και ισχύει 

$ημ(ΓΩΝΙΑ)=  \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$ 

να βρείτε την $εφ(ΓΓΩΩΝΝΙΙΑΑ)$.

Από το περιοδικό Ευκλείδης Β΄,τ.123

Διαφορετικά χρώματα

Οι ακέραιοι αριθμοί από το $1$ έως το $2023$ είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα σε ευθεία γραμμή. Ο Μιχαήλ χρωματίζει με μπλε όλους τους αριθμούς που διαιρεούνται με το $23$, με κίτρινο 

χρώμα όλους τους αριθμούς που διαιρούντια με το $88$, με πράσινο χρώμα τους αριθμούς που διαρούνται με τον αριθμός $23$ και με τον αριθμό $88$ και με κόκκινο όλους τους αριθμούς που δεν διαιρούντια με κανένα από αυτούς. 

Πόσα διπλανά ζεύγη αριθμών έχουν διαφορετικά χρώματα;

 (α) $222$      (β) $220$       (γ) $218$       (δ) $216$

Διαιρέτες αθροισμάτων

Έστω οι ακεραιοι αριθμοί $a, b, c$  τέτοιοι ώστε το άθροισμα $a + b + c$ να διαιρείται με τον αριθμό $6$ και το άθροισμα $a^2 + b^2 + c^2$ να διαιρείται με τον αριθμό $36$. 

Με τα δεδομένα αυτά προκύπτει ότι το άθροισμα $a^3 + b^3 + c^3$  διαιρείται με το

i) $8$

ii) $27$?

Λύση στο $Ζ^{+}$

Last digit

USAMO 1982, Problem 4

IMO 2024, Problem 2

Eötvös-Kürschák Mathematical Competitions - PROBLEMS (1894 - 2003)

Κάντε κλικ εδώ.

$(x,y,z)=?$