ΒΙΒΛΙΟ: FRACTAL GEOMETRY (pdf)

Click on the image.

The Logistic Map is hiding in the Mandelbrot Set

The logistic map is a simple second-order function on the unit interval: $\displaystyle x_{n+1} = r x_n (1-x_n) \,$, where ${x_n}$ is the variable value at stage {n} and {r} is the “growth rate”. 

For ${1 \le r \le 4}$, the map sends the unit interval [0,1] into itself. It is a simple nonlinear difference equation, whose solutions exhibit both regular and erratic behaviour, and it is often used to demonstrate some important characteristics of chaotic motion. 

It describes behaviour found in a wide range of disciplines: physics, engineering, economics and biology.

Read more »

Είδη ανθρώπων

Υπάρχουν δύο είδη ανθρώπων: εκείνοι που δεν γνωρίζουν τίποτα για τα φράκταλ και εκείνοι που πιστεύουν ότι υπάρχουν δύο είδη ανθρώπων: αυτοί που δεν γνωρίζουν τίποτα για τα φράκταλ και εκείνοι που πιστεύουν ότι υπάρχουν δύο είδη ανθρώπων.

Πυραμίδα Sierpinski

Sierpinski Pyramid

Nice Siepinski animation

@Etienne Jacob

Pythagorean Tree

Pythagorean Tree

Φράκταλ Φτέρη

Sierpinski's fractal tetrahedron: Volume → 0

Εμπνευσμένο από τον Mondrian

@Feliks Tomasz Konczakowski

Οι φράκταλ ρυτίδες της Πραγματικότητας | Μέρος Β’

Διαστάσεις κλασματικές

Πόσες διαστάσεις έχει ένα κουβάρι σπάγκος; Μια καλούμπα της Καθαράς Δευτέρας στην άκρη του χαρταετού; Δύσκολη η απάντηση. Αν δεν βιαστούμε να τη δώσουμε, θα δούμε ότι εξαρτάται από την οπτική γωνία με την οποία θα αντικρίσουμε το ερώτημα.

Από μεγάλη απόσταση το κουβάρι «είναι» σημείο· δεν έχει καμία διάσταση. Από πιο κοντά φαίνεται να γεμίζει έναν σφαιρικό χώρο. Οι διαστάσεις του είναι τρεις. Πλησιάζουμε ακόμα πιο κοντά, οπότε αρχίζει να διακρίνεται ο τυλιγμένος σπάγκος και το αντικείμενο αποκτά μια διάσταση.

Οι φράκταλ ρυτίδες της Πραγματικότητας | Μέρος Α’

Κανένας κύκλος δεν κυκλώνει τη ζωή μας

Το σώμα της μουριάς, οι χιονονιφάδες, τα θαυμάσια σύννεφα και οι ακτές της Κιμώλου είναι αληθινά αντικείμενα εκτοπισμένα από τη Γεωμετρία βάσει πλατωνικής απόφασης, εδώ και δυόμισι περίπου χιλιάδες χρόνια. 

Εκείνη έχει τα δικά της παιδιά, πλάσματα αόρατα, τα οποία βλέπουμε χωρίς να τα βλέπουμε, γιατί, εκτός από τον αμφιβληστροειδή, υπάρχει και το χάρισμα του sapiens sapiens να διαθέτει το βλέμμα της Σκέψης.

Geometric Fractals - The Minkowski Curve

Kάντε κλικ στις εικόνες.

Clockwork

▪ Γιατί το σχήμα των δέντρων υπακούει σε εξίσωση του Ντα Βίντσι

Οι προγραμματιστές που θέλουν να δημιουργήσουν ρεαλιστικά μοντέλα δέντρων χρησιμοποιούν συχνά μια εξίσωση του Λεονάρντο Ντα Βίντσι, η οποία αφορά το πάχος των κλαδιών. Τα δέντρα, δείχνει νέα μελέτη, ακολουθούν τον χρυσό κανόνα του Ντα Βίντσι επειδή αυτό τους επιτρέπει να αντέχουν στον άνεμο.

H πολυμαθής μεγαλοφυία της ιταλικής Αναγέννησης είχε παρατηρήσει ότι, σε οποιοδήποτε ύψος ενός δέντρου, η συνολική επιφάνεια των κλαδιών σε κάθετη τομή ισούται με τη συνολική επιφάνεια του κορμού σε κάθετη τομή. Με άλλα λόγια, αν ο κορμός χωρίζεται σε δύο κεντρικά κλαδιά, η επιφάνεια καθενός από αυτά τα κλαδιά σε εγκάρσια τομή θα είναι η μισή από τη διατομή του κορμού. Το ίδιο ισχύει και για τα μεγάλα κλαδιά που χωρίζονται σε κλαδάκια.

▪ Mandelbulb Flight

▪ Γαλέτες Fractals

▪ Fractal Lab

Κάντε κλικ εδώ.

▪ Ένα Χριστουγεννιάτικο φράκταλ δεντράκι

▪ Φράκταλ γεωμετρία

▪ Φράκταλς στη Φύση