Θερμοδυναμικοί πιονέροι και γιατί λιώνει ένα παγάκι

Νικολά Καρνό, φοιτητής στην
Εκόλ Πολιτεκνίκ

Το σύμπαν είναι φτιαγμένο από "πρώτες ύλες".  Μια τέτοια  είναι και η Ενέργεια. Μεταξύ αυτών των "πρώτων υλών" αναπτύσσονται συγκεκριμένες ποσοτικές σχέσεις ,οι οποίες υπαγορεύουν το τι είναι δυνατόν να συμβεί ,και τι δεν είναι.Ο πρώτος που το διαπίστωσε αυτό "επίσημα" ήταν ο Γάλλος χημικός Αντουάν Λοράν Λαβουαζιέ (Antoine-Laurent Lavoisier), ο αποκαλούμενος και "Πατέρας της Χημείας" ,ο οποίος ανακάλυψε ότι σε μια χημική αντίδραση, η συνολική μάζα των τελικών προϊόντων της ισούται με την αρχική συνολική μάζα των αντιδρώντων της. Αυτό δικαιολογημένα το μαθαίνουμε πρώτο-πρώτο παιδιά ακόμη, όταν πρωτοδιδασκόμαστε Χημεία, μια κι αυτή η ανακάλυψη σηματοδότησε την ίδρυση της θεωρητικής Χημείας.
Το αποτέλεσμα αυτό είναι βεβαίως γνωστό ως "Η αρχή διατήρησης της μάζας".

Οι μέθοδοι επίλυσης Εξισώσεων στην Ιστορία των Μαθηματικών

 Της Μαρίας Χάλκου 

Μία μικρὴ ἱστορία γιὰ τὶς Εξισώσεις μὲ ἀφορμὴ τὴ μελέτη τοῦ ἔργου - πηγή ποὺ εἶναι ὁ κώδικας 65, ἕνα ἑλληνικὸ μαθηματικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰώνα.

Ἡ μεθοδολογία τῆς λύσεως τῶν ἐξισώσεων πρώτου καὶ δευτέρου βαθμοῦ ἦταν γνωστὴ ἀπὸ τὴν ἀρχαιότητα[1].

Ὁ Διόφαντος μάλιστα τὶς ἐχώριζε σὲ κατηγορίες, καὶ χρησιμοποιοῦσε μόνο τὴ θετικὴ ρίζα[2] χωρὶς ὅμως αὐτὸ νὰ σημαίνει ὅτι ἀγνοοῦσε τὴν ὕπαρξη τῆς ἀρνητικῆς. Βέβαια καὶ σὲ πολὺ μεταγενέστερα χειρόγραφα δὲν γινόταν λόγος γιὰ ἀρνητικὲς ρίζες.

Κατὰ τὸν 15ον αἰ. δέ, χρησιμοποιοῦσαν τὴν ἑξῆς ὁρολογία:

"Ἀριθμὸς", γιὰ κάθε πραγματικὸ ἀριθμό.

"Πρᾶγμα", γιὰ τὸν ἄγνωστο χ.

"Τζένσο"[3], γιὰ τὸ χ².

"Κοῦβο", γιὰ τὸ χ³.

"Κάδρο", γιὰ τὸ χ⁴.

Η μικρή ιστορία των μαθηματικών

Στο βίντεο που ακολουθεί παρουσιάζονται σημαντικές στιγμές της ιστορίας των μαθηματικών. Ξεκινώντας από τον Πάπυρο Rhind και την αρχαία Αίγυπτο, αλλά και την αρχαία Ελλάδα φτάνουμε μέχρι τα fractals και την Αμερική στον 20ο αιώνα.

Η Κυκλοτομική ιστορία των κανονικών πολυγώνων (από τον Ευκλείδη στον Γκάους)

Πρόσφατα υπήρξε στο μπλογκ μια συζήτηση για την σχέση κατασκευασιμότητας κανονικών πολυγώνων και τριγωνομετρικών συναρτήσεων που μπορούν να εκφραστούν με ριζικά. Η σχετική συζήτηση στα σχόλια εδώ. Αναφέρθηκαν - απέξω, απέξω - τα κυκλοτομικά πολυώνυμα. Το παρόν άρθρο επιχειρεί να εμβαθύνει κάπως στο θέμα, συνδυάζοντας και μια ιστορική αναδρομή. Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν την κατασκευή αρκετών κανονικών πολυγώνων. Όταν λέμε "κατασκευή" εννοούμε πάντα την ευκλείδειας νόρμας κατασκευή "με κανόνα (χωρίς σημάδια πάνω του) και διαβήτη" και (πολύ σημαντικό αυτό!) σε πεπερασμένο αριθμό διακριτών βημάτων.

Ο Leibniz και ο γάμος

Στα ζητήματα του έρωτα, όπως και σε τόσα άλλα, ο Leibniz ήταν λιγότερο πουριτανός από το Νεύτωνα. Όταν ήταν πενήντα ετών περίπου, σκέφτηκε να παντρευτεί, η υποψήφια νύφη όμως άργησε να αποφασίσει, και όταν αυτό συνέβη, ο Leibniz είχε πάψει να ενδιαφέρεται. 

Το ανέκδοτο αυτό διηγείται ο Fontenelle, ο οποίος το έχει πάρει με την σειρά του από τον Eckhart, το γραμματέα και πρώτο βιογράφο του Leibniz, και πολλοί μαθηματικοί αναφέρονται σε αυτό όταν ερχόταν η ώρα να παντρευτούν.

Το Δήλιον πρόβλημα και ο Ομάρ Καγιάμ

"Για να γνωρίσω το μυστήριο της ζωής κούπας τα χείλη άγγιξα, πήλινης, φτωχιάς. Χείλος στο χείλος μού ψυθίρισε: 'Οσο ζεις πίνε!  Τι σαν πεθάνεις, δεν ξαναγυρνάς."

Ομάρ Καγιάμ

Υπάρχουν πολλά άλυτα προβλήματα στα Μαθηματικά. Άλλα είναι απλώς δύσκολα,δηλαδή δεν έχει βρεθεί ακόμη η σωστή προσέγγιση που θα τα επιλύσει, άλλα είναι πιθανώς άλυτα εκ φύσεως, άλλα είναι άλυτα στα πλαίσια μιας συγκεκριμένης αντιμετώπισης που υπακούει υποχρεωτικά σε κάποια προδιαγραφή-νόρμα επίλυσης. 

Υπάρχει ένα τέτοιο πρόβλημα, που συν των άλλων έχει και θεϊκή προέλευση! Το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, το έθεσε ο ίδιος(σχεδόν..) ο εκηβόλος Φοίβος-Απόλλων στους κατοίκους της Δήλου, οι οποίοι ανήμποροι οι τάλανες να το αντιμετωπίσουν κατέφυγαν  στον σοφό Πλάτωνα, μέσω του μαντείου των Δελφών.

▪ Δύο παλιές απειροσειρές

"Ἄφνω δ'ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον, οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν. Ὁ δ'ὀργισθεὶς καῖ σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν "

Πλούταρχος (Βίος Μάρκελλου, 19,9)

Σημ: To μπρούντζινο καλλιτέχνημα που παριστάνει τον Αρχιμήδη βρίσκεται στο πάρκο του αστεροσκοπείου Αrchenhold στο Τreptow του Βερολίνου, και είναι έργο του μεγάλου καλλιτέχνη-γλύπτη Gerhard Thieme.

▪Πορτοκάλια, κανόνια, μέλισσες και Σέρλοκ Χολμς εναντίον Γιοχάνες Κέπλερ

"To σύμπαν με αρπάζει μέσα από το διάστημα και με καταπίνει σαν κόκκο, όταν σκέφτομαι ότι το κατανοώ"

Μπλεζ Πασκάλ (Pensées)

Πριν κάποια χρόνια (γύρω στο 2000) έγινε ένας διαδικτυακός διαγωνισμός ανεκδότων, κυρίως συμμετείχαν Αγγλοσάξονες, και το ανέκδοτο που ψηφίστηκε σαν το καλύτερο πήγαινε κάπως έτσι:

Ξεκουράζονται ξαπλωμένοι στην εξοχή κάποια νύχτα με ξαστεριά οι Σέρλοκ Χολμς και γιατρός Γουότσον, όταν ο Σέρλοκ ρωτάει:

"Πες μου γιατρέ. Τώρα, καθώς κοιτάς τον έναστρο ουρανό, τι σου περνάει από το μυαλό;"

▪ Η Στερεογραφική προβολή κι ο Ανδαλουσιανός Ευκλείδης

"Η στερεογραφική προβολή είναι μια γραφική μέθοδος που επιτρέπει την αναπαράσταση τρισδιάστατων γεωμετρικών πληροφοριών σε δύο διαστάσεις και την επίλυση τρισδιάστατων γεωμετρικών προβλημάτων. Στη γεωλογία, η μέθοδος αυτή είναι καταρχάς χρήσιμη στην επίλυση προβλημάτων σχετικών με τον προσανατολισμό των ευθειών και των επιπέδων (κρυσταλλογραφία και δομική γεωλογία). Τα προβλήματα αυτά σχετίζονται περισσότερο με τη γωνιακή σχέση μεταξύ γραμμών και επιπέδων παρά με τις σχέσεις τους στο χώρο."

R.G.Park (Foundations of Structural Geology (2004))

H στερεογραφική προβολή είναι μια από τις πλέον γνωστές και σίγουρα η πλέον χρησιμοποιούμενη αζιμουθιακή προβολή, καθώς και μία από τις πλέον διαδεδομένες στη χαρτογραφία. Αποδίδεται στον Ίππαρχο εκ Νικαίας, αν και είναι πιθανό να ήταν ήδη γνωστή στους Αιγυπτίους. Η αρχαιότερη πηγή που έχουμε σχετικά είναι ένα έργο του Πτολεμαίου με τον λατινικό τίτλο: Sphaera a planetis projectio in planum (Σφαίρα και πλανήτης προβεβλημένα στο επίπεδο). Το πρωτότυπο ελληνικό κείμενο δεν διασώθηκε και την γνώση μας επ' αυτού την οφείλουμε στον Άραβα μαθηματικό γνωστό σαν Μασλαμά ή Αλ Μαζρίτι ,για τον οποίον αξίζει μια εκτενής αναφορά.

▪ Ομορφιά και ανωτερότητα

Ο Πλούταρχος, στη βιογραφία του Μαρκέλλου, μας πληροφορεί ότι ο λόγος για τον οποίο ο Αρχιμήδης δεν καταδέχτηκε να αφήσει καμιά γραπτή αναφορά για τις θαυμαστές μηχανές που επινοούσε, ήταν επειδή «θεωρούσε την ενασχόληση με τη μηχανική και γενικά κάθε τέχνη που σχετίζεται με τις κοινές ανάγκες της ζωής αγενή και ανελεύθερη· και ότι αντικείμενα της φιλοδοξίας του ήταν εκείνα μόνο με τα οποία η ομορφιά και η ανωτερότητα ήταν παρούσες, μη αναμεμιγμένες με το αναγκαίο». («Άλλα την περί τα μηχανικά πραγματείαν, καί πασαν όλως τέχνην χρείας εφαπτομένην, αγενή και βάναυσον ήγησάμενος, εκείνα καταθέσθαι μόνα την αυτού φιλοτιμίαν, οίς τό καλόν καί περιττόν αμιγές του αναγκαίου πρόσεστιν».)

▪ Άβακας

Κινέζικος άβακας

Ο άβακας είναι μία απλή υπολογιστική μηχανή για την εκτέλεση πράξεων της αριθμητικής, κυρίως πρόσθεσης και αφαίρεσης. Είναι το αρχαίο αριθμητήρι υπολογισμών, πρόδρομος των αριθμομηχανών των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Υπάρχουν πολλά είδη άβακα. Ο συνήθης ως σήμερα τύπος άβακα είναι αυτός με συρόμενες χάντρες - ψήφους. Από τον Ηρόδοτο μαθαίνουμε ότι τον χρησιμοποιούσαν Έλληνες, Αιγύπτιοι και Ρωμαίοι. Ο ρωμαϊκός άβακας είναι σαν τάβλι με πούλια (κάλικες = calculi). Υπάρχει επίσης ο κινεζικός, ο ινδικός, ο ρωσικός κ.ά. Η λειτουργία τους βασίζεται στο δεκαδικό σύστημα με «τάξεις» - σύρματα μονάδων, δεκάδων, εκατοντάδων κτλ.Το γνωστό αριθμητήριο, είναι μια μορφή άβακα διάφορων μεγεθών και σχημάτων (κατά κανόνα ορθογώνιων). Από τις άκρες τους στερεώνονται, σε παράλληλες σειρές, σύρματα, στα οποία βρίσκονται περασμένα από το κέντρο τους ομοιόμορφα σφαιρίδια. Οι μαθηματικές πράξεις γίνονται με κατάλληλες μετακινήσεις των σφαιριδίων επάνω στα σύρματα.

▪ Αλ - γιάμπρ

Η λέξη Άλγεβρα προήλθε πιθανότατα από το έργο «Al-kitab al-muqtasar fi hisab al-jabr wa al muqabalah» του Άραβα μαθηματικού Αλ Τζαφάρ Μοχάμεντ ιμπν Μουσά Αλ Κουαρίσμι (Abū ʿAbdallāh Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī(780 - 850) που γράφτηκε στη Βαγδάτη στα μέσα του 9ου αιώνα. Η λέξη «αλ-γιαμπρ», η οποία σήμαινε τη μεταφορά ενός όρου μιας εξίσωσης από το ένα μέλος στο άλλο με αλλαγμένο πρόσημο, έδωσε τον τίτλο «Άλγεβρα» σε κάθε βιβλίο που είχε ως αντικείμενο την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων ή τη μελέτη των αλγεβρικών δομών, παρόμοιο δηλαδή με το περιεχόμενο των σημερινών σχολικών βιβλίων της άλγεβρας. 

▪ Το δέκατο πρόβλημα του Hilbert

Το 1900 στο Παρίσι, στο συνέδριο Second International Congress of Mathematicians, ο David Hilbert (1862 - 1943) στη διάλεξη του Mathematische Probleme  έθεσε 23 προβλήματα. Κάποια από αυτά έχουν λυθεί και κάποια παραμένουν άλυτα. Το δέκατο πρόβλημα του Hilbert αναφερόταν στη λύση Διοφαντικών εξισώσεων, δηλαδή στη λύση εξισώσεων της μορφής D(x₁ ,…,x_m) = 0, όπου D πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Πιο συγκεκριμένα ο Hilbert διατύπωσε το πρόβλημα του ως εξής: Δοθείσης μιας Διοφαντικής εξίσωσης με οσουσδήποτε αγνώστους, να βρεθεί μία διαδικασία με την οποία σε πεπερασμένου πλήθους βήματα μπορούμε να αποφανθούμε αν η εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις ή όχι. Το δέκατο πρόβλημα του Hilbert λύθηκε το 1970 από τον Yuri Matiyasevich, ο οποίος απέδειξε ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος που να αποφασίζει αν μία Διοφαντική εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις ή όχι.
Δείτε και εδώ.

▪ Ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων

Ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων είναι ένας αρχαίος ελληνικός αναλογικός υπολογιστής. Ο χρήστης με τη βοήθεια ενός στρόφαλου(μανιβέλας) έδινε μία ημερομηνία στην κλίμακα της εμπρόσθιας πλευράς (INPUT) και ο μηχανισμός υπολόγιζε την ακριβή θέση του Ηλίου και της Σελήνης στον ουρανό, καθώς επίσης και τις φάσεις της Σελήνης(OUTPUT). Με τη βοήθεια του μπορούσαν να υπολογίσουν τις ημερομηνίες τέλεσης των Ολυμπιακών αγώνων και να προβλεφθούν ηλιακές και σεληνιακές εκλείψεις. Βρέθηκε τυχαία μαζί με πολλούς θησαυρούς, αγάλματα και άλλα αντικείμενα το 1990 μ.Χ σε ένα αρχαίο ναυάγιο, κοντά στα Αντικύθηρα, από σφουγγαράδες της Σύμης που είχαν αγκυροβολήσει εκεί λόγω κακοκαιρίας και βρίσκονται σήμερα στο Εθνικό Αρχαιολογικό Μουσείο στην Αθήνα. Το ναυάγιο χρονολογείται μεταξύ 85 και 67π.Χ. Από γραφολογικές μελέτες, υπολογίστηκε ότι ο Μηχανισμός είχε κατασκευαστεί πιο νωρίς το 150 έως το 100 π.Χ. Οι διαστάσεις του ήταν περίπου 30x20x10cm - λίγο μεγαλύτερος από ένα laptop- και περιείχε τουλάχιστον 30 συνεργαζόμενα γρανάζια.