Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
COPILOT AI
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
LATEX
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
Δράττομαι της ευκαιρίας για να εκφράσω μια απορία που έχω εδώ και κάμποσα χρόνια. Μπορεί ο αριθμός sin(π/180) να εκφραστεί ως παράσταση ακέραιων αριθμών με ριζικά; Όπως ας πούμε ο sin(π/4), που ισούται με 2^(1/2)/2. Ας μας διαφωτίσουν οι έμπειροι καθηγητές του blog.
ΑπάντησηΔιαγραφήΦώτη, όχι! O βαθύτερος λόγος αναλύεται πολύ ωραία εδώ:
ΑπάντησηΔιαγραφήhttp://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html
Aν ψάχνεις οπωσδήποτε μια αναλυτική έκφραση του $sin(π/180)$ δηλαδή του ημιτόνου της μίας μοίρας ,η καλύτερη προσέγγιση που μπορεί να έχεις ,βάσει αναπτύγματος Τέηλορ-Μακλώριν είναι:
$-1/2 *(-1)^(89/180)* ((-1)^(1/180)-1)(1+(-1)^(1/180)$ ή εναλλακτικά: $(1/2)ie^(-iπ/180) - (1/2)ie^(ip/180)$
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΜάλλον η απάντηση έχει να κάνει με τη μη κατασκευασιμότητα ενός κανονικού εννιαγώνου, αν δεν κάνω λάθος.
ΔιαγραφήΟρθή επανάληψη:
ΑπάντησηΔιαγραφή$sin( \frac{ \pi }{180}) = -\frac{1}{2} (-1)^{89/180} ( \sqrt[180]{-1} -1)(1+ \sqrt[180]{-1} )$
ή αλλιώς:
$sin( \frac{ \pi }{180} )= \frac{1}{2} i e^{- \frac{i \pi }{180} } - \frac{1}{2} i e^{ \frac{i \pi }{180} } $
Αυτή δεν είναι παράσταση ακέραιων αριθμών με ριζικά.
ΔιαγραφήΑπλώς ,μπήκα στον κόπο(κακώς!) να δώσω μια ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ έκφραση( σε περίπτωση που εναλλακτικά ζητούσες αυτό). Όσο για την "παράσταση ακεραίων με ριζικά" μάλλον αυτό απάντησα με το "ΟΧΙ" του πρώτου μου σχολίου...νομίζω!
ΔιαγραφήΤέλος πάντων , κακώς ασχολήθηκα κι έχασα το χρόνο μου προφανώς.
Όσο για τον λόγο , ναι έχει να κάνει με κατασκευασιμότητα πολυγώνων (κι όχι βέβαια ειδικά εννιαγώνου)
Κύριε Ριζόπουλε, σας ευχαριστώ για την απάντησή σας που γύρευα τόσο καιρό. Να είστε καλά. Και να πω στο σημείο αυτό ότι το sin(π/60) μπορεί να εκφραστεί με ακέραιους και ριζικά, με λίγο πολύπλοκο τρόπο βέβαια, τον οποίο έχω βρει.
ΔιαγραφήΦώτη, τώρα που επανήλθαμε σε όρους ισότιμου και σωστού διαλόγου, συνεχίζω κι εγώ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο λινκ που έδωσα ,στο Mathworld.wolfram είναι πολύ κατατοπιστικό ,αλλά αντιλαμβάνομαι κάπως υπερ το δεον ίσως περιεκτικό. (και στα αγγλικά ).
Για το αν η τιμή $sin(π/ν)$ είναι εκφράσιμη με "ριζικά και ακεραίους" ,πρέπει καταρχάς να ξεκαθαρίσουμε τι εννοούμε "ριζικά". Αν περιλαμβάνουμε ν-ιοστές και μιγαδικές ρίζες γενικά "Ναι", αν εννοούμε μόνο τετραγωνικές πραγματικές ρίζες γενικά "Όχι" , με εξαιρέσεις.Ποιες είναι οι εξαιρέσεις;
Υπάρχει ένας σχετικά εύκολα αποδείξιμος τρόπος (μιλάμε πάντα για αδιάστατη πραγματική γωνία (στα αποκαλούμενα "ακτίνια" rad ,τα οποία βέβαια είναι μονάδα εκ του περισσού. Όταν εκφράζουμε μια γωνία αλγεβρικά, δεν υπάρχει ανάγκη "τεχνητών" μονάδων όπως π.χ οι μοίρες)
Έστω λοιπόν $x=μ/ν$ όπου μ και ν θετικοί μεταξύ τους πρώτοι ακέραιοι. Τότε, η γωνία $2πμ/ν$ είναι κατασκευάσιμη (με την Ευκλείδεια έννοια) αν το $ν$ είναι δύναμη του $2$ επί ένα γινόμενο διακριτών "πρώτων του Φερμά"/Fermat primes.
Eξυπακούεται πως η $2πμ/ν$ είναι κατασκευάσιμη αν και μόνο εάν και η $2π/ν$ είναι κατασκευάσιμη.
Προφανές νομίζω το πόρισμα. Για το αντίστροφο,εφόσον οι μ και ν είναι μεταξύ τους πρώτοι υπάρχουν x και y τέτοια ώστε:
$xμ +νy=1$ . Πολ/ζοντας κατά μέλη με $2π/ν$ ,έχουμε:
$x*2πμ/ν+ y(2π)=2π/ν$. Εξ υποθέσεως ,η γωνία 2πμ/ν είναι κατασκευάσιμη ,κι άρα και $x$ αντίγραφά της,επίσης είναι.
Προφανώς η $y*(2π)$ είναι κατασκευάσιμη ,άρα και η $2π/ν$ είναι, και το ζητούμενο αποδείχτηκε.
Εννοείται, πως ν μεγαλύτερο ή ίσο του 3 (τρίγωνο)
Τούτων των γενικών λεχθέντων ,το 60 πληρεί τις "προδιαγραφές" και εκφράζεται "με τετρ.ρίζες και ακέραιους" ως εξής:
$sin(pi/60)=(1/16)*(2(1-sqrt3)*sqrt(5+sqrt5) +sqrt2*(sqrt5 -1)(sqrt3 +1)$
Δεν θα μπορέσω να επανέλθω σήμερα. Αν χρειαστεί ,αύριο.
Να είσαι καλά αγαπητέ Φώτη!
Το "ευρύτερο" θέμα έχει να κάνει με Κυκλοτομικά πολυώνυμα επιλύσιμα, με το φανταστικό τους μέρος εκφράσιμο με ριζικά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΩραίο θέμα, αλλά μακρύ...
Με τον όρο "ριζικά" εννοώ ν-οστές ρίζες στους πραγματικούς αριθμούς μόνο, όπως εκφράζονται οι λύσεις π.χ. μιας τριτοβάθμιας εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Άλλωστε με την επέκταση στους μιγαδικούς, μπορούν να παρασταθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιουδήποτε τόξου, όπως μάθαμε στο Λύκειο με τη χρήση της εξίσωσης z^ν=α, όπου α μιγαδικός.
ΑπάντησηΔιαγραφή