Δευτέρα, 27 Ιανουαρίου 2014

Διαγώνισμα 1oυ τετραμήνου στην Άλγεβρα Β΄ Λυκείου (2014)

 Του Ζήνωνα Λυγάτσικα 
Πηγή: zenonlig

11 σχόλια:

  1. Δράττομαι της ευκαιρίας για να εκφράσω μια απορία που έχω εδώ και κάμποσα χρόνια. Μπορεί ο αριθμός sin(π/180) να εκφραστεί ως παράσταση ακέραιων αριθμών με ριζικά; Όπως ας πούμε ο sin(π/4), που ισούται με 2^(1/2)/2. Ας μας διαφωτίσουν οι έμπειροι καθηγητές του blog.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Φώτη, όχι! O βαθύτερος λόγος αναλύεται πολύ ωραία εδώ:
    http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html
    Aν ψάχνεις οπωσδήποτε μια αναλυτική έκφραση του $sin(π/180)$ δηλαδή του ημιτόνου της μίας μοίρας ,η καλύτερη προσέγγιση που μπορεί να έχεις ,βάσει αναπτύγματος Τέηλορ-Μακλώριν είναι:
    $-1/2 *(-1)^(89/180)* ((-1)^(1/180)-1)(1+(-1)^(1/180)$ ή εναλλακτικά: $(1/2)ie^(-iπ/180) - (1/2)ie^(ip/180)$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

      Διαγραφή
    2. Μάλλον η απάντηση έχει να κάνει με τη μη κατασκευασιμότητα ενός κανονικού εννιαγώνου, αν δεν κάνω λάθος.

      Διαγραφή
  3. Ορθή επανάληψη:
    $sin( \frac{ \pi }{180}) = -\frac{1}{2} (-1)^{89/180} ( \sqrt[180]{-1} -1)(1+ \sqrt[180]{-1} )$
    ή αλλιώς:
    $sin( \frac{ \pi }{180} )= \frac{1}{2} i e^{- \frac{i \pi }{180} } - \frac{1}{2} i e^{ \frac{i \pi }{180} } $

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αυτή δεν είναι παράσταση ακέραιων αριθμών με ριζικά.

      Διαγραφή
    2. Απλώς ,μπήκα στον κόπο(κακώς!) να δώσω μια ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ έκφραση( σε περίπτωση που εναλλακτικά ζητούσες αυτό). Όσο για την "παράσταση ακεραίων με ριζικά" μάλλον αυτό απάντησα με το "ΟΧΙ" του πρώτου μου σχολίου...νομίζω!
      Τέλος πάντων , κακώς ασχολήθηκα κι έχασα το χρόνο μου προφανώς.
      Όσο για τον λόγο , ναι έχει να κάνει με κατασκευασιμότητα πολυγώνων (κι όχι βέβαια ειδικά εννιαγώνου)

      Διαγραφή
    3. Κύριε Ριζόπουλε, σας ευχαριστώ για την απάντησή σας που γύρευα τόσο καιρό. Να είστε καλά. Και να πω στο σημείο αυτό ότι το sin(π/60) μπορεί να εκφραστεί με ακέραιους και ριζικά, με λίγο πολύπλοκο τρόπο βέβαια, τον οποίο έχω βρει.

      Διαγραφή
  4. Φώτη, τώρα που επανήλθαμε σε όρους ισότιμου και σωστού διαλόγου, συνεχίζω κι εγώ.
    Το λινκ που έδωσα ,στο Mathworld.wolfram είναι πολύ κατατοπιστικό ,αλλά αντιλαμβάνομαι κάπως υπερ το δεον ίσως περιεκτικό. (και στα αγγλικά ).
    Για το αν η τιμή $sin(π/ν)$ είναι εκφράσιμη με "ριζικά και ακεραίους" ,πρέπει καταρχάς να ξεκαθαρίσουμε τι εννοούμε "ριζικά". Αν περιλαμβάνουμε ν-ιοστές και μιγαδικές ρίζες γενικά "Ναι", αν εννοούμε μόνο τετραγωνικές πραγματικές ρίζες γενικά "Όχι" , με εξαιρέσεις.Ποιες είναι οι εξαιρέσεις;
    Υπάρχει ένας σχετικά εύκολα αποδείξιμος τρόπος (μιλάμε πάντα για αδιάστατη πραγματική γωνία (στα αποκαλούμενα "ακτίνια" rad ,τα οποία βέβαια είναι μονάδα εκ του περισσού. Όταν εκφράζουμε μια γωνία αλγεβρικά, δεν υπάρχει ανάγκη "τεχνητών" μονάδων όπως π.χ οι μοίρες)
    Έστω λοιπόν $x=μ/ν$ όπου μ και ν θετικοί μεταξύ τους πρώτοι ακέραιοι. Τότε, η γωνία $2πμ/ν$ είναι κατασκευάσιμη (με την Ευκλείδεια έννοια) αν το $ν$ είναι δύναμη του $2$ επί ένα γινόμενο διακριτών "πρώτων του Φερμά"/Fermat primes.
    Eξυπακούεται πως η $2πμ/ν$ είναι κατασκευάσιμη αν και μόνο εάν και η $2π/ν$ είναι κατασκευάσιμη.
    Προφανές νομίζω το πόρισμα. Για το αντίστροφο,εφόσον οι μ και ν είναι μεταξύ τους πρώτοι υπάρχουν x και y τέτοια ώστε:
    $xμ +νy=1$ . Πολ/ζοντας κατά μέλη με $2π/ν$ ,έχουμε:
    $x*2πμ/ν+ y(2π)=2π/ν$. Εξ υποθέσεως ,η γωνία 2πμ/ν είναι κατασκευάσιμη ,κι άρα και $x$ αντίγραφά της,επίσης είναι.
    Προφανώς η $y*(2π)$ είναι κατασκευάσιμη ,άρα και η $2π/ν$ είναι, και το ζητούμενο αποδείχτηκε.
    Εννοείται, πως ν μεγαλύτερο ή ίσο του 3 (τρίγωνο)
    Τούτων των γενικών λεχθέντων ,το 60 πληρεί τις "προδιαγραφές" και εκφράζεται "με τετρ.ρίζες και ακέραιους" ως εξής:
    $sin(pi/60)=(1/16)*(2(1-sqrt3)*sqrt(5+sqrt5) +sqrt2*(sqrt5 -1)(sqrt3 +1)$
    Δεν θα μπορέσω να επανέλθω σήμερα. Αν χρειαστεί ,αύριο.
    Να είσαι καλά αγαπητέ Φώτη!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Το "ευρύτερο" θέμα έχει να κάνει με Κυκλοτομικά πολυώνυμα επιλύσιμα, με το φανταστικό τους μέρος εκφράσιμο με ριζικά.
    Ωραίο θέμα, αλλά μακρύ...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Με τον όρο "ριζικά" εννοώ ν-οστές ρίζες στους πραγματικούς αριθμούς μόνο, όπως εκφράζονται οι λύσεις π.χ. μιας τριτοβάθμιας εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Άλλωστε με την επέκταση στους μιγαδικούς, μπορούν να παρασταθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιουδήποτε τόξου, όπως μάθαμε στο Λύκειο με τη χρήση της εξίσωσης z^ν=α, όπου α μιγαδικός.

    ΑπάντησηΔιαγραφή