Η Κυκλοτομική ιστορία των κανονικών πολυγώνων (από τον Ευκλείδη στον Γκάους)

Πρόσφατα υπήρξε στο μπλογκ μια συζήτηση για την σχέση κατασκευασιμότητας κανονικών πολυγώνων και τριγωνομετρικών συναρτήσεων που μπορούν να εκφραστούν με ριζικά. Η σχετική συζήτηση στα σχόλια εδώ. Αναφέρθηκαν - απέξω, απέξω - τα κυκλοτομικά πολυώνυμα. Το παρόν άρθρο επιχειρεί να εμβαθύνει κάπως στο θέμα, συνδυάζοντας και μια ιστορική αναδρομή. Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν την κατασκευή αρκετών κανονικών πολυγώνων. Όταν λέμε "κατασκευή" εννοούμε πάντα την ευκλείδειας νόρμας κατασκευή "με κανόνα (χωρίς σημάδια πάνω του) και διαβήτη" και (πολύ σημαντικό αυτό!) σε πεπερασμένο αριθμό διακριτών βημάτων.

Aυτές ήταν οι αυστηρά αποδεκτές κατασκευές. Μεταξύ των κανονικών πολυγώνων που ήταν γνωστά στους Έλληνες, ήταν τα αποτελούμενα από: $3, 4, 5, 6, 8, 10$ και $15$ πλευρές.

Από τα λεγόμενα "πρώτα" κανονικά πολύγωνα ,αυτά δηλαδή που ο αριθμός των πλευρών τους είναι πρώτος αριθμός, είχαν αναπτύξει μεθόδους για την κατασκευή του τριγώνου και του πενταγώνου.

Ο Ευκλείδης συμπεριέλαβε κάποιες κατασκευές στα "Στοιχεία" , και ήξερε πώς να διπλασιάσει τις πλευρές κάποιου δοθέντος πολυγώνου ή πώς να συνδυάσει τις πλευρές δύο πολυγώνων με την προϋπόθεση οι $2$ αριθμοί των πλευρών να είναι μεταξύ τους πρώτοι. Έτσι ας πούμε ,ένα κανονικό πεντάγωνο μπορεί να συνδυαστεί κατασκευαστικά με ένα ισόπλευρο τρίγωνο και να μας δώσει ένα κανονικό $15$γωνο. Επίσης, είναι προφανές πως, αφού μπορούμε εύκολα να διχοτομήσουμε τις κεντρικές γωνίες, η κατασκευή των πολυγώνων που προέρχονται από τα ήδη γνωστά, αν πολλαπλασιάσουμε των αριθμό των πλευρών τους με $2^ν$ ,είναι στοιχειώδης.

Συγκεντρώνοντας κάπως τα παραπάνω, τα κανονικά πολύγωνα, με πλευρές $Ν$, που μπορούσαν να κατασκευάσουν οι Έλληνες ήταν της μορφής:

$Ν=2^μ * 3^ν * 5^κ$ ,όπου $μ$ κάποιος θετικός ακέραιος και $ν$ και $κ$ ίσοι με $0$ ή $1$.

Η λίστα λοιπόν των "ελληνικών" κανονικών πολυγώνων επεκτείνεται ως ακολούθως:

$3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,32,40,48,...$ αλλά τα μόνα περιττά πολύγωνα σ'αυτή τη λίστα είναι το τρίγωνο, το πεντάγωνο και τα δεκαπεντάγωνο.

Κάπου εδώ, η ιστορία πρέπει να κάνει ένα μεγάλο χρονικό άλμα,σχεδόν δύο χιλιάδων χρόνων, και να φθάσει στον Princeps Mathematicorum, τον μεγάλο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1855) όταν ήταν σε ηλικία $19$ ετών.

Ο θρύλος και η μυθοπλασία ανακατεύονται συχνά με τα ιστορικά γεγονότα , σε πολλά θέματα που αφορούν τον Γκάους ,και ο θρύλος λέει πως σε αυτή τη νεαρή ηλικία ήταν ακόμη αναποφάσιστος αν έπρεπε να ακολουθήσει ανθρωπιστική-γλωσσολογική κατεύθυνση ή μαθηματική στις σπουδές του και πως το πρόβλημα που έλυσε -και έχει αμεσότατη σχέση με το θέμα μας- ήταν αυτό που τον οδήγησε να πάρει (ευτυχώς!) την απόφαση που όλοι ξέρουμε πως πήρε.

Όπως και νά'χει, είναι αναμφισβήτητο γεγονός πως την εποχή του Γκάους το ενδιαφέρον για τα κανονικά πολύγωνα είχε αναζωπυρωθεί και πως αυτός ήταν που το $1796$ πέτυχε την κατασκευή του κανονικού δεκαεπταγώνου για πρώτη φορά στην ιστορία.

Καταρχάς και καταρχήν, δεν είναι εννοιολογικά δύσκολο να υπολογίσουμε την πλευρά $\alpha _{ \nu }$ ενός κανονικού πολυγώνου $ν$ πλευρών ,αφού υπάρχει η ταυτότητα:

$\frac{  \alpha _{ \nu } }{2} =r \sin  \frac{2 \pi }{ \frac{ \nu }{2} }$, άρα:

  $ \alpha _{ \nu } =2r \sin  \ \frac{ \pi }{ \nu }$  που μας επιτρέπει να εργαστούμε με τριγωνομετρικές συναρτήσεις ,όπως το ημίτονο (εργαλείο που δεν είχαν οι Έλληνες!).

Ο Γκάους πέτυχε να αποδείξει πως η λύση της κυκλοτομικής εξίσωσης: $x^{17}=1 $ μπορεί να αναλυθεί σε μια ακολουθία τετραγωνικών "ριζικών εντός ριζικών" (nested quadratic equations).

Δημοσίευσε την ανακάλυψή του αυτή, $5$ χρόνια αργότερα στο Disquisitiones Arithmeticae όπου και γενίκευσε τη διαδικασία, δείχνοντας πως ένα πρώτο κανονικό πολύγωνο είναι κατασκευάσιμο όταν είναι της μορφής  $p=2^k -1$ με $k$ κάποια δύναμη του $2$. Αυτή η συνθήκη εξασφαλίζει πως υπάρχει ακολουθία από nested quadratic equations για την κατασκευή.

Ταύτισε δηλαδή την κατασκευή ενός κανονικού πολυγώνου $n$ πλευρών με την παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο των λύσεων της κυκλοτομικής πολυωνυμικής εξίσωσης: $x^n -1$.

Γενικά: $x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x^{2} +x+1=0$

Στο σχήμα φαίνεται η περίπτωση  για $n=5$ που δίνει το κανονικό πεντάγωνο.

Oι μπλε κουκίδες αναπαριστούν όλες τις μιγαδικές ρίζες του $x^5 -1$.

Παρατηρήστε ότι γενικά: $x^n -1=(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} +  \cdots +x+1)$

Για να κατανοήσουμε τη λύση του Gauss, είναι απαραίτητο να ορίσουμε τους αριθμούς Fermat. (Φερμά).  Ένας αριθμός $F_{p}$ ονομάζεται αριθμός Φερμά  αν είναι της μορφής:

 $F_{p} = 2^{ 2^{p} } +1$

Oι αριθμοί Fermat μπορεί να είναι είτε πρώτοι, είτε σύνθετοι. Ο ίδιος ο Φερμά που τους εισήγαγε είχε εικάσει λανθασμένα πως όλοι είναι πρώτοι. Ο Euler (Όϋλερ) είκασε διαφορετικά,και είχε δίκιο. Και πόσοι είναι  οι πρώτοι αριθμοί Fermat; Kαθόλου απλό ερώτημα!

Ας κατασκευάσουμε τη λίστα των πρώτων απ'αυτούς:

$F_{0} = 2^{ 2^{0} } +1 = 3$

$F_{1} = 2^{ 2^{1} } +1 = 5$

$F_{2} = 2^{ 2^{2} } +1 = 17$

$F_{3} = 2^{ 2^{3} } +1 = 257$

$F_{4} = 2^{ 2^{4} } +1 = 65.537$

$F_{5} = 2^{ 2^{5} } +1 = 4.294.967.297 =641 * 6.700.417$

Bλέπουμε πως οι $5$ πρώτοι $F$ είναι πρώτοι αριθμοί, όχι όμως και ο $F_{5}$ που είναι σύνθετος, ακριβώς όπως είχε προβλέψει ο Όϋλερ!

Αν κάποιος ίσως απορεί για το πώς ένας κολοσός σαν τον Φερμά δεν μπόρεσε να διαπιστώσει την συνθετότητα του $F_{5}$, ας μην ξεχνούμε πως δεν υπήρχαν τότε υπολογιστικά εργαλεία και Γουλφραμάλφες ,όπως σήμερα, που ξεπετάνε τέτοιες παραγοντοποιήσεις σε κλάσματα δευτερολέπτου. Η αλήθεια είναι πως η παραγοντοποίηση του $F_{5}$ με χαρτί και μολύβι είναι από μόνη της ένα αξιέπαινο επίτευγμα. Ο επόμενος αριθμός Fermat, ο $F_{6}$, παραγοντοποιήθηκε το 1880 από τον Παριζιάνο Φορτουνέ Λαντρύ, ο οποίος αφιέρωσε μεγάλο μέρος της ζωής του στο εγχείρημα αυτό!

Ο $F_{6}$ είναι: $27417767280421310721$

Δεν γνωρίζουμε αν υπάρχουν άλλοι πρώτοι αριθμοί Fermat μετά από τον $F_{4}$, καθώς δεν έχει βρεθεί κανένας. Oι σύγχρονοι μαθηματικοί έχουν ομολογουμένως μικρές ελπίδες ότι θα βρεθούν άλλοι, και η γενική πεποίθηση, σε περίπτωση που βρεθούν κι άλλοι, είναι πως θα είναι πεπερασμένου πλήθους.

Ο Γκάους λοιπόν απέδειξε το παρακάτω θεώρημα:

"Ένα κανονικό πολύγωνο $n$ πλευρών μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη, εάν και μόνο εάν το $n$ είναι γινόμενο του $2^k$ με το $1$ ή με ένα σύνολο διακριτών πρώτων του Φερμά"

Ή, σε σημειογραφική γλώσσα: $n=2^m *p1*p2*...*pk$  για $m$ μεγαλύτερο ή ίσο με 0 και $p_{i}$  διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί του Φερμά ή μονάδες.

Εδώ , πρέπει να σημειωθεί ένα γεγονός που δεν είναι ευρέως γνωστό. Η αρχική απόδειξη του Γκάους αφορά μόνο την ικανή συνθήκη του θεωρήματος. Ο ίδιος είκασε και την αναγκαία, αλλά αυτό δεν αποδείχτηκε παρά μόνον το $1837$ από τον μεγάλο Γάλλο μαθηματικό Pierre Wantzel. To θέμα του "αναγκαίου" δεν είναι καθόλου τετριμμένο ,γιατί απαιτεί μια απόδειξη του ότι κανονικά πολύγωνα της μορφής $p^k$ με $p$ πρώτο, δεν μπορούν να κατασκευαστούν για $k>1$. Aυτό το βλέπει κανείς εύκολα για $n=9$ γιατί η γωνία των $40$μοιρών δεν μπορεί να κατασκευαστεί.

Το αποφασιστικό γεγονός για να είναι ένα πρώτο κανονικό πολύγωνο κατασκευάσιμο είναι η μη παραγoντοποιήσιμη -υποβιβάσιμη εξίσωση (irreducible equation) (π.χ. το $x^2 -1$ αφού ισούται με το γινόμενο κατωτέρας τάξης: $(x-1)(x+1)$ δεν είναι irreducible ,ενώ το $x^2 +1$ είναι) για το :$ \cos (2 \pi /p)+i \sin (2 \pi /p)$ να είναι βαθμού $φ(p)=p-1$ και της μορφής $2^k$. Δεν είναι σκόπιμο να αναλυθεί επακριβώς, αλλά μπορεί να αποδειχτεί ,αντικαθιστώντας το $p$ με το $p^m$ ,πως η irreducible εξίσωση έχει βαθμό $φ(p^m)$ που είναι $2^{(m-1)} *(p-1)$, και αυτό δεν μπορεί ποτέ να είναι της μορφής $2^k$ για $m>1$.

Γι'αυτόν το λόγο, μέχρι να ανακαλυφθούν (αν ανακαλυφθούν!) νέοι πρώτοι Fermat ,υπάρχουν $5$ μόνο πρώτα κανονικά πολύγωνα που μπορούν να κατασκευαστούν!

Το θεώρημα του Γκάους λοιπόν κάνει κατασκευάσιμα τα πολύγωνα με $n=3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,24,...$ και ας δούμε οπωσδήποτε την έκφραση που βρήκε ο Γκάους για το κανονικό δεκαεπτάγωνο:

$16 \cos  \frac{2 \pi }{17} =-1+ \sqrt{17}+ \sqrt{34-2 \sqrt{17} }+2 \sqrt{17+3 \sqrt{17}- \sqrt{34-2 \sqrt{17} } -2 \sqrt{34+2 \sqrt{17}}}$  

 H πραγματική κατασκευή του δεκαεπταγώνου αποδείχτηκε αρκετά επίπονη αλλά όχι ακατόρθωτη για τον σύγχρονο του Γκάους , Johannes Erchinger (Γιοχάνες Έρχινγκερ) . Για τον ίδιο το μεγάλο Γερμανό μαθηματικό, του οποίου ένα μικρό κλάσμα του βιογραφικού του και του έργου του θα αποτελούσε όνειρο πολλών επιστημόνων, το αποτέλεσμά του για τα κανονικά πολύγωνα ήταν σίγουρα ένα ορόσημο και κόσμημα στη ζωή του. Αυτό το υποθέτουμε , με αρκετή ασφάλεια μάλλον, από το γεγονός πως ζήτησε να χαραχθεί το κανονικό $17$ γωνο στον τάφο του, αποστολή που αποδείχτηκε δύσκολη έως ανέφικτη  για τους τεχνίτες!

Οι επόμενοι αριθμοί Φερμά, όπως ήδη είδαμε, οδηγούν σε κατασκευή τερατωδών πολυγώνων με $257$ και $65.537$ πλευρές, αντίστοιχα. Το $1832$ ο Friedrich Julius Richelot (1808-1875) εξέδωσε τον πρώτο "οδηγό κατασκευής" ενός πολυγώνου  $257$ πλευρών με κανόνα και διαβήτη.

Ο τίτλος του άρθρου στα Λατινικά είναι μακρινάρι αντάξιο του πλήθους των πλευρών! :

"De resolutione algebraica aequationis $x^{257} =1$ ,sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes $257$ inter se aequales commentatio coronata" Mετ. "Περί της επίλυσης της αλγεβρικής εξίσωσης $x^{257} =1$ , ή περί της κατάτμησης του κύκλου μέσω διαδοχικών διχοτομήσεων επτά γωνιών σε 257 ίσα τμήματα, συνοδευόμενο από σχόλια"

Η ιστορία μας οφείλει να κλείσει με αναφορά στον Johann Gustav Hermes (1846-1912) ο οποίος αφιέρωσε $10$ ολόκληρα χρόνια για να σχεδιάσει βήμα προς βήμα την κατασκευή του υπερτέρατος κανονικού πολυγώνου που έχει $65.537$ πλευρές. Η τιτάνια προσπάθειά του ολοκληρώθηκε το 1894, αλλά τελικά δεν εξέδωσε το πλέον των διακοσίων σελίδων χειρόγραφο. Ευτυχώς όμως το χειρόγραφο κατατέθηκε και διασώθηκε από το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν στη Γερμανία, όπου μπορεί να απευθυνθεί όποιος ενδιαφέρεται για το θέμα. Προσωπικά, είχα , πριν κάμποσα χρόνια, την χαρά να θαυμάσω από κοντά το πολύγωνο. Με την πρώτη ,και με τη δεύτερη ίσως... ματιά, μοιάζει με τέλειο κύκλο! Στο διαδίκτυο μπορεί κάποιος να βρει αρκετές αναφορές σχετικά. Υπάρχουν κάποιοι, όπως ο γνωστός John Conway, που αμφισβητούν και δεν δέχονται την απόδειξη.

Από καθαρά "τεχνική" σκοπιά , το επίτευγμα είναι οπωσδήποτε θεωρητικά δυνατό.

Το $\cos  \frac{ \pi }{65.537}$ είναι αλγεβρικός αριθμός, αλλά για να βρούμε το πολυώνυμο του οποίου είναι ρίζα πρέπει να κατασκευάσουμε μία εξίσωση τάξης $32.768$ ! Mπρρρ...

Γιώργος Ριζόπουλος

Λεμεσός, Φλεβάρης 2014