"To σύμπαν με αρπάζει μέσα από το διάστημα και με καταπίνει σαν κόκκο, όταν σκέφτομαι ότι το κατανοώ"
Μπλεζ Πασκάλ (Pensées)
Πριν κάποια χρόνια (γύρω στο 2000) έγινε ένας διαδικτυακός διαγωνισμός ανεκδότων, κυρίως συμμετείχαν Αγγλοσάξονες, και το ανέκδοτο που ψηφίστηκε σαν το καλύτερο πήγαινε κάπως έτσι:
Ξεκουράζονται ξαπλωμένοι στην εξοχή κάποια νύχτα με ξαστεριά οι Σέρλοκ Χολμς και γιατρός Γουότσον, όταν ο Σέρλοκ ρωτάει:
Προσπαθώντας να εντυπωσιάσει τον ορθολογιστή Χολμς, ο Γουότσον απαντά:
-Βλέπω χιλιάδες, ίσως δεκάδες χιλιάδες αστέρια και σκέφτομαι ότι είναι τόσο μεγάλος ο αριθμός τους ώστε είναι εξαιρετικά πιθανό σε κάποιο απ' αυτά να υπάρχει πλανητικό σύστημα ανάλογο με το δικό μας και ίσως επομένως Ζωή και νοήμονα όντα σαν εμάς!
Κι ο Σέρλοκ: - "Ω! Είναι πράγματι αξιοσημείωτο ότι το πρώτο πράγμα που σκέφτηκες είναι αυτό, κι όχι ότι κάποιος μας έκλεψε τη σκηνή μέσα στην οποία κοιμόμασταν, ηλίθιε!"
Δεν ξέρω αν σας άρεσε ή όχι, πάντως ο "αληθινός" Χολμς , ο ήρωας δηλαδή στον οποίον έδωσε υπόσταση ο Κόναν Ντόιλ φαίνεται όντως να "έχει κάτι" εναντίον της Αστρονομίας και δή της ηλιοκεντρικής θεωρίας την οποία μάλιστα ,στην πρώτη-πρώτη ιστορία της σειράς, τη: "Σπουδή στο Κόκκινο" φαίνεται να περιφρονεί ή ακόμη και να αγνοεί! Απαντά στην διαπίστωση του Γουότσον ότι οι πλανήτες γυρίζουν γύρω από τον Ήλιο ως εξής:
" Tι στο καλό σημαίνει αυτό για μένα; Μου λέτε πως γυρίζουμε γύρω από τον Ήλιο. Και γύρω από τη Σελήνη να γυρίζαμε , δεν θα υπήρχε καμιά ουσιώδης διαφορά για μένα ή για τη δουλειά μου."
Αξιοθαύμαστη(;) προσήλωση στο καθήκον από τον θρυλικό Σέρλοκ!
Και τώρα ένα, νομίζω όχι εύκολο, κουίζ: Ποιον θα εμπιστευόσασταν , αν είχατε μια μηχανή του χρόνου του Γουέλς, για να σας λύσει ένα δύσκολο πρόβλημα, όπως ας πούμε το αν η Γη γυρίζει και πώς; γύρω από τον Ήλιο ή ίσως για.. να του δώσετε μια σημαντική θέση ευθύνης στη δημόσια ή κρατική διοίκηση;
Τον Σέρλοκ ή κάποιον υπήκοο της Αγίας Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας του Γερμανικού Έθνους του 16ου αιώνα, σχεδόν ανάπηρο, σημαδεμένο και κοινωνικά στιγματισμένο από την ευλογιά;
Ο συγκεκριμένος ήταν παντρεμένος με μια γυναίκα που δεν αγαπούσε , είχε χάσει αρκετά από τα παιδιά του και για να ζήσει ασχολιόταν κυρίως με σύνταξη Ωροσκοπίων και άλλα αστρολογικά μαντζούνια (δεν είχε και ξεκάθαρα εδώ που τα λέμε διαχωρίσει την Αστρονομία από την λεγόμενη αστρολογία), μιας και κάποιος μισθός που δικαιούταν σχεδόν δεν έφτανε ποτέ στα χέρια του, λόγω "πολιτικών" περιπλοκών. Α, επιπροσθέτως, είχε και μια μάνα που ήταν υπόδικη ως μάγισσα και λάτρης του Βεελζεβούλ και επειδή "μάνα είναι μόνο μία" , έπρεπε να εμποδίσει και την καταδίκη της και το συνεπακόλουθο εξαγνιστικό τηγάνισμα...
Οπωσδήποτε δύσκολο κουίζ, και παραδέχομαι ότι έκανα ένα -προσφιλές στα μίντια και σε κάποιους "εξουσιαστές"- φαουλάκι. Σε μία και μόνη ερώτηση, έβαλα δύο πιθανώς αντικρουόμενα και ασύμβατα πράγματα. Πάντως ο δεύτερος τύπος , ο κατατρεγμένος από τη μοίρα δεν είναι άλλος από τον -κατά βάση- μαθηματικό Γιόχαν Κέπλερ . Ας μου συχωρεθεί η κάπως "κουτσομπολίστικη" (αλλά, πέρα για πέρα αληθινή, σαν γεγονότα) απόπειρα σκιαγράφησης των δυσκολιών του. Έχουν γραφεί πολλά βιβλία και άρθρα, ακόμη και λογοτεχνικά μυθιστορήματα γι' αυτήν την σίγουρα αντιφατική προσωπικότητα κι ούτε ήθελα ,ούτε μπορώ, να αναλύσω το μυαλό του.
Μπορεί κανείς να αναζητήσει και να μελετήσει τόσα πολλά (όχι όλα έγκυρα, ειδικά στο διαδίκτυο ,εφιστώ την προσοχή σας!) πράγματα γι'αυτόν.
Εδώ, θα επικεντρωθούμε ,όχι στο αστρονομικό του έργο, αλλά σε κάποιο από τα "γήινα" προβλήματα με τα οποία ασχολήθηκε και συγκεκριμένα με τον βέλτιστο τρόπο στοίβαξης σφαιρών. Κάποια άλλα τέτοια, ήταν ενδεικτικά: O όγκος των βαρελιών, το σχήμα των κρυστάλλων του χιονιού και το σχήμα στις κερήθρες των μελισσιών.
Θα πω μόνο εντελώς επιγραμματικά ότι ο Κέπλερ μένει στην Ιστορία για ένα ,ίσως το πιο όμορφο αισθητικά (ό,τι κι αν σημαίνει αυτό στα Μαθηματικά), βιβλίο του το Harmonices Mundi (Η αρμονία των κόσμων) στο οποίο και περιέχονται οι τρεις διάσημοι "Νόμοι του Κέπλερ" που είναι:
1. Oι τροχιές των πλανητών είναι ελλειπτικές, με τον Ήλιο να κατέχει τη μία εστία της έλλειψης.
2.Η απόσταση-ακτίνα που συνδέει τον Ήλιο με έναν πλανήτη που εκτελεί την έλλειψη γύρω από αυτόν ,διαγράφει σε ίσους χρόνους ίσα εμβαδά (ελλειπτικούς τομείς)
3.Το τετράγωνο της περιόδου περιφοράς ενός πλανήτη είναι ανάλογο του κύβου του μήκους του μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς του.
(ο 3ος νόμος είναι ιδιαίτερα σημαντικός, καθώς συνδέει το "μέγεθος" της τροχιάς με το χρόνο που χρειάζεται ένας πλανήτης για να την εκτελέσει.)
Στην πραγματικότητα, ο Κέπλερ δεν απέδειξε τίποτα! Οι παρατηρήσεις του είναι καθαρά εμπειρικής φύσης, σαν να περιγράφει "ξερά-δημοσιογραφικά" την πραγματικότητα. Επιβεβαιώνονται απλώς με χρήση κάποιων πινάκων και γενναία δόση παρατηρητικότητας και οξυδέρκειας!
Λογικά, αλίμονο αν γινόταν κι αλλιώς δηλαδή στην Επιστήμη, η υποδοχή τους ήταν τουλάχιστον "ψυχρή", αλλά περίπου 100 χρόνια αργότερα ο Ισαάκ Νεύτων χρησιμοποιώντας την τελευταία λέξη της "μόδας" (ήταν ο ίδιος ένας αρχιμόδιστρος) τον διαφορικό λογισμό, εξήγαγε από τους δικούς του Νόμους της Κίνησης, τους 3 νόμους του Κέπλερ. Η εικασία του Κέπλερ ήταν πλέον αποδεδειγμένη πραγματικότητα!
Ολοκληρώνοντας την βιογραφική αναφορά στον Κέπλερ, είναι δόκιμο να αναφέρω τους δύο άλλους μεγάλους στοχαστές που τον επηρέασαν . Ήταν ο Νικόλαος Κοπέρνικος και ο Δανός Τύχο Μπράχε (γνωστός στα ελληνικά και σαν: "Τύχων").
Ίσως ή μάλλον σίγουρα, στα μάτια του σύγχρονού μας επιστήμονα-ερευνητή, ο Κέπλερ είναι μια μορφή γεμάτη αντιφάσεις και παράδοξα.
Η καριέρα του ακροβατεί ανάμεσα στον μυστικισμό και τη σύγχρονη επιστημονική μεθοδικότητα. Ακόμη και οι θρησκευτικές του αντιλήψεις (όπως παρουσιάζονται τουλάχιστον, γιατί αυτά τα πράγματα είναι λίγο παρακινδυνευμένο να τα κρίνουμε εκ του ασφαλούς, 500 χρόνια αργότερα!) ήταν .. ιδιόρρυθμες, θα τις έλεγα.
Ήταν θρήσκος και πίστευε ότι η Αγία Τριάδα εκπροσωπείται από τον Ήλιο, την ουράνια σφαίρα και το διαστρικό κενό.
Εισήγαγε επίσης κι άλλες εξωτικές ιδέες όπως η "μουσική των σφαιρών" (σαφής πυθαγόρεια-πλατωνική επίδραση εδώ!) και η "πολυεδρική θεώρηση για τις τροχιές των πλανητών".
Μέσω δηλαδή εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων σφαιρών στα "πλατωνικά στερεά" (πολύεδρα), προσπάθησε να αποδείξει, θεωρώντας κάθε πλανήτη σαν ένα διαφορετικό πολύεδρο, μια αρμονική γεωμετρική σχέση (θεϊκής προέλευσης) στις σχετικές σχέσεις των τροχιών τους.
Ήταν φανατικά υπέρμαχος αυτής της θεώρησης. Σήμερα βέβαια ξέρουμε ότι είναι λανθασμένη.
Αλλά ας γυρίσουμε στην "στοίβαξη των σφαιρών"
Ποιες σφαίρες είναι σημαντικό να στοιβάζονται "οικονομικά"; Δηλαδή να καταλαμβάνουν, στον μικρότερο δυνατό χώρο, τον μέγιστο όγκο. Μ' άλλα απλά λόγια, να στοιβάζονται κατά το δυνατόν "σφιχτά",χωρίς μεγάλα κενά, μεταξύ τους.
Μα τα πορτοκάλια στους πάγκους του μανάβη! Αρχαίο και διαχρονικό πρόβλημα.
Στην εποχή του Κέπλερ υπήρχε και ένας κάπως ιδιόρρυθμος μαθηματικός . Ιδιόρρυθμος γιατί τα μόνα Μαθηματικά που τον απασχολούσαν ήταν το βεληνεκές των κανονιών του και στην Θεωρία Αριθμών, η δραστική μείωση του αριθμού των εχθρών του...Βασικά δηλαδή ήταν πολιτικός.
Λεγόταν σερ Γουόλτερ Ράλεϊ (Walter Raleigh) και το πρόβλημα της βέλτιστης στοίβαξης ήταν μείζονος σημασίας γι'αυτόν καθότι είχε αποδείξει ένα θεώρημα που έλεγε ότι η μείωση του αριθμού των ανδρών του αντιπάλου ήταν ευθέως ανάλογη της αύξησης του αριθμού από φονικές μπάλες που έφεραν τα πλοία του. Αλλά ένα πλοίο - και δη πολεμικό - δεν είχε πολύ διαθέσιμο χώρο, άρα η στοίβαξη ήταν ουσιώδες θέμα.
Να αναφέρω εδώ, ότι την ιδέα/αφορμή να ασχοληθώ με το θέμα (αξιοποιώντας και μορφοποιώντας ήδη υπάρχον υλικό) την πήρα από ένα πολύ πρόσφατο θέμα-πρόβλημα που ανάρτησε ο Σωκράτης και είναι εδώ. Ο φίλος του Ιστολογίου και εξαιρετικός λύτης προβλημάτων Ευθύμιος Αλεξίου προσδιόρισε με ακρίβεια τον λόγο του εμβαδού ενός εγγεγραμμένου σε κανονικό εξάγωνο κύκλου και του εμβαδού του εξαγώνου. Είναι : 0,906899682117...
Αριθμός μη αλγεβρικός(υπερβατικός) , με άπειρα μη (εμφανώς) περιοδικά δεκαδικά . Είναι ο αριθμός
π *ρίζα (3) /6 ή π διά (2 ρίζα3)
Η απόδειξη αυτής τις τιμής είναι ουσιαστικά ταυτόσημη με το πρόβλημα της στοίβαξης σε 2 διαστάσεις, δηλαδή στο επίπεδο.
Αν σκεφτούμε το πρόβλημα της βέλτιστης δηλαδή στοίβαξης κύκλων στο επίπεδο, διαπιστώνουμε εύκολα πως υπάρχουν 2 μόνο πιθανές διατάξεις.
Η "τετραγωνική΄" όπου κάθε κύκλος έχει 4 γείτονες και σχηματίζονται οριζόντιες σειρές και κάθετες στήλες που περιέχουν στοιχισμένα-ευθυγραμμισμένα τα κέντρα, και η "εξαγωνική" ,που είναι και η βέλτιστη! που σχηματίζει πιο πυκνό πλέγμα, όπου κάθε κύκλος έχει 6 γείτονες σε διάταξη ακριβώς κανονικού εξαγώνου . Σ' αυτή τα κέντρα των κύκλων σχηματίζουν διαγώνιες και η "πυκνότητα" του πλέγματος είναι ακριβώς: π (ρίζα τρία), έκτα.
Aν περάσουμε στις τρεις διαστάσεις, τότε προκύπτουν πλέγματα κυβικά και εξαγωνικά.
Η μέγιστη πυκνότητα επιτυγχάνεται με το "εδροκεντρομένο(ή εδροκεντρικό) κυβικό" πλέγμα ή το "πυκνό εξαγωνικό" πλέγμα και είναι ίση με:
(π* ρίζα2) /6 =(περίπου) 0,74048
Οι σφαίρες και με τα δύο συστήματα κατανέμονται σε "στρώσεις" και προκύπτουν όμοιες μεν δομές, αλλά με διαφορετική γεωμετρική διάταξη.
Όπως και στις στοίβες των πορτοκαλιών, όπου εμπειρικά οι παλιοί μανάβηδες ξέρουν ότι πρέπει να τοποθετούν κάθε νέο πορτοκάλι σε κάποιο κενό του προηγούμενου υποστρώματος, σχηματίζοντας έτσι την χαρακτηριστική "πυραμίδα στοίβαξης , αυτή είναι η βέλτιστη διάταξη ,αλλά όσο κι αν φαίνεται ίσως στοιχειώδες ,το πρόβλημα από καθαρά μαθηματική σκοπιά είναι πολύ δύσκολο και μόλις τα τελευταία λίγα χρόνια και συγκεκριμένα το 2002, "αποδείχθηκε"! Τα εισαγωγικά στο "αποδείχτηκε" θα εξηγηθούν παρακάτω.
Για να ξανασυνδέσω την ιστορία μας με τον Κέπλερ, εκείνη λοιπόν την εποχή ο Raleigh στοίβαζε τις μπάλες των κανονιών του εδροκεντρικώς κυβικά, αλλά επειδή είπαμε ότι ήταν μαθηματικός (περιορισμένων όμως δυνατοτήτων..) ανέθεσε σε κάποιο φίλο του ονόματι Τhomas Harrriot ,που αυτοχαρακτηριζόταν σαν "ατομιστής" - ασχολιόταν με την ατομική θεωρία, να του βρει κάποιον εγνωσμένης αξίας μαθηματικό για να μελετήσει το θέμα Ο Χάριοτ γνώριζε τον Κέπλερ κι έτσι έμπλεξε ο πρωταγωνιστής μας με τις μπάλες των κανονιών. Ο Κέπλερ υπολόγισε όντως οτι πετύχαιναν έτσι μια προσεγγιστική πυκνότητα περίπου 74%, αλλά ούτε αυτός, ούτε κανείς άλλος για τα επόμενα 400 χρόνια δεν απάντησε οριστικά στο ερώτημα αν αυτός ο τρόπος είναι όντως ο βέλτιστος. Και μη νομίζετε ότι δεν ασχολήθηκαν μεγάλοι μαθηματικοί με το πρόβλημα! Και μόνο το όνομα Γκάους, δίνει παραπάνω από ικανοποιητικό "πεντιγκρή" στο πρόβλημα. Ο ίδιος ο Γκάους είκασε και την θεωρούμενη βέλτιστη τιμή για διάφορες παραμέτρους του θέματος
Το πρόβλημα , πέρα από τα πορτοκάλια και τα κανόνια, έχει εφαρμογές σε πολλές περιπτώσεις. Για να μην λείψει η άθλια αυτοαναφορά, να πω ότι έχω ασχοληθεί και προσωπικά κάποτε σε συνεργασία με εκλεκτούς συναδέλφους, αντιμετωπίζοντας το πρόβλημα της εύρεσης της πυκνότερης δυνατής σύσφιξης κοκκομετρικώς διακριτώς διαβαθμισμένων αδρανών υλικών, δηλαδή το πρόβλημα ουσιαστικά για ανισομεγέθη πολυεδρικά- ως επί το πλείστον- στοιχεία, αλλά δεν χρειάζεται να συνεχίσω σε κάτι τόσο εξειδικευμένο και μάλλον ανιαρό.
Η εικασία λοιπόν ,όπως είναι δόκιμο να χαρακτηρισθεί, βρήκε την οριστική απάντησή της 400 ολόκληρα χρόνια μετά τον Κέπλερ,από τον Thomas Hales (γεννημένος το 1958) το 2002. Χρησιμοποίησε γνώσεις μαθηματικής Θεωρίας Βελτιστοποίησης, αλγεβρική Γεωμετρία, γραμμικό προγραμματισμό και πολλούς ηλ. υπολογιστές! Το λογισμικό που χρησιμοποίησε ήταν πολύπλοκο και οι επαναληπτικές δοκιμές (simulation trials) τεραστίως πολλές, σε βαθμό που να μετατρέπουν σε πραγματικό κατόρθωμα την πιστοποίηση του αποτελέσματος από τους κριτές (peer-reviewers)
Tελικά, αποφάνθηκαν ότι η βεβαιότητά τους για την ορθότητα του συμπεράσματος έφτανε το 99%, αλλά όχι το 100%.
Άλλη μια ιστορία (και γίνεται νομίζω φανερό γιατί έβαλα τα εισαγωγικά πιο πάνω στη λέξη "απόδειξη",χωρίς να σημαίνει οτι τα ενστερνίζομαι απόλυτα, είμαι και γώ υπό σκέψη σχετικά) στο γνωστό φλέγον ζήτημα στις μέρες μας όπου οι Η/Υ είναι αναπόσπαστο κομμάτι της οποιασδήποτε επιστημονικής έρευνας. Τι συνιστά "σωστή" απόδειξη; Πόσο έγκυρη και αδιαμφισβήτητη είναι μια απόδειξη με υπολογιστή;
Παρεμπιπτόντως, ο Hales ασχολήθηκε μετά την εικασία του Κέπλερ και με το επίσης από κείνη την εποχή πρόβλημα των κερηθρών στα μελίσσια και ανακοίνωσε την σχετικά ικανοποιητική λύση ότι η κυρτή εξαγωνική ψηφίδωση (δηλαδή η κάλυψη του επιπέδου με εξάγωνα. Οι άλλες δυνατότητες με κυρτά πολύγωνα είναι με ισόπλευρα τρίγωνα και τετράγωνα) είναι η πιο αποτελεσματική και "οικονομική" σε σύγκριση με οποιαδήποτε άλλη δυνατότητα κάλυψης ,συμπεριλαμβανομένων και δυνατοτήτων κλειστών σχημάτων από καμπύλες αντί για ευθείες.
Το πρόβλημα των μελλισιών ανάγεται πολύ παλιά στον Πάππο τον Αλεξανδρινό (3ος αιώνας), ο οποίος θεωρούσε ότι οι μέλισσες διαθέτουν κάποιου είδους μαθηματική νοημοσύνη, δεδομένου ότι τα εξαγωνικά ψηφιδωτά παράγουν την μικρότερη δυνατή περίμετρο κελιών και κατά συνέπεια είναι "οικονομικά" από πλευράς απαιτουμένης εργασίας και ποσότητας κεριού για την κατασκευής τους! Κατοπινοί μελετητές ενστερνίστηκαν αυτή τη θεώρηση ,αλλά όχι όλοι.
Οι Κέπλερ και Δαρβίνος πίστευαν ότι τελική εξαγωνική μορφή οφειλόταν σε δυνάμεις τάσης που προκαλούν τα γειτονικά φατνώματα-πρίσματα ,τα οποία αρχικά τα κατασκευάζουν κυκλικά οι μέλισσες. Θεωρούσαν δηλαδή ότι υπάρχουν αυξανόμενες, μετά την αρχική κυκλική κατασκευή, εξωτερικές δυνάμεις που συμπιέζουν τα κελιά ώστε να πάρουν τελικά το συμμετρικό και όμορφο εξαγωνικό τους σχήμα.
Γιώργος Ριζόπουλος, Λεμεσός, Μάης 2013
Γιώργος Ριζόπουλος, Λεμεσός, Μάης 2013
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου