Θερμοδυναμικοί πιονέροι και γιατί λιώνει ένα παγάκι

Νικολά Καρνό, φοιτητής στην
Εκόλ Πολιτεκνίκ

Το σύμπαν είναι φτιαγμένο από "πρώτες ύλες".  Μια τέτοια  είναι και η Ενέργεια. Μεταξύ αυτών των "πρώτων υλών" αναπτύσσονται συγκεκριμένες ποσοτικές σχέσεις ,οι οποίες υπαγορεύουν το τι είναι δυνατόν να συμβεί ,και τι δεν είναι.Ο πρώτος που το διαπίστωσε αυτό "επίσημα" ήταν ο Γάλλος χημικός Αντουάν Λοράν Λαβουαζιέ (Antoine-Laurent Lavoisier), ο αποκαλούμενος και "Πατέρας της Χημείας" ,ο οποίος ανακάλυψε ότι σε μια χημική αντίδραση, η συνολική μάζα των τελικών προϊόντων της ισούται με την αρχική συνολική μάζα των αντιδρώντων της. Αυτό δικαιολογημένα το μαθαίνουμε πρώτο-πρώτο παιδιά ακόμη, όταν πρωτοδιδασκόμαστε Χημεία, μια κι αυτή η ανακάλυψη σηματοδότησε την ίδρυση της θεωρητικής Χημείας.
Το αποτέλεσμα αυτό είναι βεβαίως γνωστό ως "Η αρχή διατήρησης της μάζας".

Δυστυχώς για τον ίδιο το Λαβουαζιέ, η προσπάθεια για τη διατήρηση της μάζας της κεφαλής του στη θέση της ήταν αποτυχημένη, καθώς η λεπίδα της γκιλοτίνας αποδείχτηκε αμείλικτα κοφτερή για το λαιμό του. O γνωστός μαθηματικός Λαγκράνζ εκφώνησε τον ανεπίσημο επικήδειο: "Τούς πήρε μονάχα μια στιγμή για να κόψουν αυτό το κεφάλι, αλλά μπορεί να περάσουν $100$ χρόνια πριν η Γαλλία ξαναβγάλει ένα τέτοιο κεφάλι". Ίσως όμως ο Λαγκράνζ ,στην οπωσδήποτε καλή του πρόθεση να τιμήσει το Λαβουαζιέ, να ήταν κάπως υπερβολικός...

Το 19ο αιώνα μια ετερόκλητη ομάδα τριών-τεσσάρων επιστημόνων, μεταξύ αυτών και ένας Γάλλος, εμπνευσμένη απ' αυτό το αποτέλεσμα,κατόρθωσε να κάνει με την Ενέργεια ό,τι έκανε ο Λαβουαζιέ με τη Μάζα.

Το κείμενο που ακολουθεί αποσκοπεί σε  μια σύντομη ιστορική αναδρομή σ'αυτό το ταξίδι, και σε μια προσπάθεια εμβάθυνσης ,χωρίς ιδιαίτερο μαθηματικό φορμαλισμό, στη θεμελιώδη έννοια της Εντροπίας.

Το καλοκαίρι του 1847 ήταν αρκετά θερμό, έτσι ένας νεαρός Βρετανός με το όνομα Γουίλιαμ Τόμσον (William Thomson) έκανε τις διακοπές του στις γαλλικές Άλπεις. Μια μέρα που έκανε τη βόλτα του κοντά στο Σαμονί (Chamonix) συνάντησε ένα αρκετά εκκεντρικό ζευγάρι . -Πατριωτάκια! σκέφτηκε σίγουρα, καθώς μια γυναίκα πάνω σε ένα κάρο, συνοδευόμενη από έναν άντρα που κουβαλούσε ένα τεράστιο θερμόμετρο...δεν θα μπορούσε παρά να είναι κι αυτοί Βρετανοί. Έτσι ο Τόμσον -που αργότερα θα γινόταν ένας από τους κορυφαίους επιστήμονες της Βρετανίας και του κόσμου και θα έπαιρνε και τίτλο "ευγενείας" ,αυτόν του λόρδου Κέλβιν -  έπιασε ψιλή κουβεντούλα με το ζευγάρι.

Ήταν νιόπαντροι και περνούσαν το μήνα του μέλιτος στις Άλπεις.

Άγαλμα του Τζάουλ στο δημαρχείο
του Μάντσεστερ

Ο άντρας λεγόταν Τζέημς Πρέσκοτ Τζάουλ (James Prescott Joule) και είχε αφιερώσει σημαντικό μέρος της ζωής του στο να αποδείξει ότι όταν το νερό πέφτει υψομετρικά κατά 778 πόδια ,η θερμοκρασία του αυξάνεται κατά έναν (1) βαθμό Φαρενάιτ. Η πατρίδα του η Βρετανία όμως δεν διέθετε αρκετούς κατάλληλους καταρράκτες κι έτσι είχε αποφασίσει να μην αφήσει μια μικρή τεχνική λεπτομέρεια-όπως ο μήνας του μέλιτος- να μπει εμπόδιο ανάμεσα στην επιστημονική αλήθεια ,στους αλπικούς καταρράκτες και σ' εκείνον! Ο Τζάουλ ήταν τυπικά ζυθοποιός στο επάγγελμα. Ακολουθούσε την οικογενειακή παράδοση και την εποχή εκείνη ο πατέρας του ήταν ήδη από τους πιο πλούσιους ζυθοποιούς. Ο ίδιος όμως δεν έτρεφε τον ίδιο ενθουσιασμό για τις μετατροπές φυτών σε μπύρα και είχε αφοσιωθεί στις ενεργειακές μετατροπές γενικότερα. Μελετούσε την ισοδυναμία μεταξύ μηχανικού έργου και θερμικής ενέργειας.

Στις αρχές του 19ου αιώνα, είχε εμφανιστεί στη Φυσική μια νέα θεωρία που ισχυριζόταν πως όλες οι μορφές ενέργειας είναι μετατρέψιμες. Δεν ήταν διαφορετικά πράγματα,διαφορετικές οντότητες δηλαδή, η μηχανική ,η χημική ή η θερμική ενέργεια ,αλλά απλώς διαφορετικές εκδηλώσεις του ίδιου θεμελιώδους φαινομένου, της ενέργειας. Αρχικά ο Τζάουλ, που υπήρξε μαθητής ενός άλλου μεγάλου επιστήμονα του Τζων Ντάλτον (John Dalton), και ήταν από τους πρώτους που κατάλαβε τη σπουδαιότητα που έχουν για την επιστήμη οι ακριβείς μετρήσεις των φυσικών φαινομένων και ο προσδιορισμός των ποσοτικών σχέσεων, αρχές που τίμησε και εφάρμοσε σε όλη του τη ζωή, δεν είχε θεαματικά αποτελέσματα, αυτό όμως ήταν μόνο φαινομενικό, επειδή τα πειράματά του αφορούσαν πολύ μικρές διαφορές θερμοκρασίας. Έτσι τα αποτελέσματά του αρχικά απορρίφτηκαν τόσο από επιστημονικές περιοδικές εκδόσεις όσο και από την "πολλή" Βασιλική Εταιρία" (Royal Society).

Επειδή όμως παντού και πάντοτε (και μη νομίζετε πως η ημέτερη Φαιδρά Πορτοκαλέα έχει την αποκλειστικότητα...) χρειάζεται λίγο.. "μέσον" ,κατόρθωσε τελικά να τα δημοσιεύσει σε μια τοπική εφημερίδα του Μάντσεστερ όπου ο αδερφός του συνεργαζόταν ως κριτικός μουσικής.

Η εργασία του Τζάουλ άνοιξε το δρόμο για τον πρώτο νόμο της Θερμοδυναμικής , ο οποίος λέει πως η ενέργεια δεν μπορεί ούτε να κατασκευαστεί ,ούτε να καταστραφεί, αλλά μπορεί μόνο να μεταλλαχθεί.

20 περίπου χρόνια πριν τη συνάντηση του Κέλβιν με τον Τζάουλ στις Άλπεις, ένας Γάλλος μηχανικός του στρατού ονόματι Νικολά Καρνό (Nicolas Carnot) είχε -ως τυπικός μηχανικός- μια πιο πρακτική ανησυχία. O Tζέημς Βατ (James Watt) είχε ήδη περάσει στην ιστορία σαν ο κατασκευαστής της ατμομηχανής ,αλλά η ατμομηχανή αυτή αν και αποτελεσματική, σπαταλούσε -δηλαδή πετούσε στα "σκουπίδια"- σχεδόν το 95% της θερμικής ενέργειας (θερμότητας) που χρειαζόταν για να λειτουργήσει. Όχι ακριβώς "υπόδειγμα" αποδοτικότητας, οπωσδήποτε. Ο Καρνό διερεύνησε αυτή την κατάσταση και ανακάλυψε κάτι μάλλον απρόσμενο. Η κατασκευή της απόλυτα αποδοτικής μηχανής ήταν μεν αδύνατη, αλλά η μέγιστη αποδοτικότητα εκφραζόταν από μια απλή μαθηματική σχέση των θερμοκρασιών λειτουργίας της μηχανής! Ο Τόμσον-Κέλβιν εκτίμησε αυτή τη μοναδική (ως ποιότητα αλλά και ως ολικό αριθμό δημοσιεύσεων δυστυχώς) δημοσίευση του Καρνό, και την έφερε -από θαμμένη και παραγνωρισμένη που ήταν- στο προσκήνιο , ένα χρόνο μετά την τυχαία γνωριμία του με τον Τζάουλ στις Άλπεις.

Η εργασία του Καρνό θεμελιώνει το δεύτερο νόμο της Θερμοδυναμικής.O ίδιος δε, μνημονεύεται ως ο "Πατέρας της Θερμοδυναμικής".

Ο νόμος αυτός υπάρχει σε διάφορες εκφάνσεις και μορφές . Μια μορφή είναι αυτή του Καρνό σχετικά με τη μέγιστη θεωρητική αποδοτικότητα των μηχανών. Ο Ρούντολφ Κλαούζιους (Rudolf Clausius) διατύπωσε τον 2ο νόμο διά μέσω της Εντροπίας. Η εντροπία είναι μια θερμοδυναμική έννοια που υποδεικνύει τη "φυσική ροή", την εξέλιξη και φυσική κατεύθυνση των θερμοδυναμικών διεργασιών. Ένα παγάκι που θα μπει σε ένα ποτήρι με ζεστό νερό θα λιώσει και θα μειώσει τη θερμοκρασία του νερού, αλλά ένα ποτήρι με χλιαρό νερό δεν θα διαχωριστεί ποτέ(;) σε πάγο και ζεστό νερό!

Η εξίσωση της Εντροπίας

Κάπου εδώ πρέπει να μπει στην ιστορία μας και ο σπουδαίος Αυστριακός φυσικός Λούντβιχ Μπόλτσμαν (Ludwig Boltzmann) . To όνομα του και η εξίσωσή του "της εντροπίας" υπάρχει-εκτός από την ταφόπλακά του-και πάνω σε κάποιο από τα γραμματόσημα της Νικαράγουας με τις "Δέκα σημαντικότερες εξισώσεις που άλλαξαν το πρόσωπο της Γης" όπως είδαμε σε πρόσφατη ανάρτηση. Ο Μπόλτσμαν κατέληξε σε μια εντελώς διαφορετική διατύπωση του 2ου νόμου χρησιμοποιώντας όρους Πιθανότητας. Είναι ο πατέρας της Στατιστικής Μηχανικής.

Προτομή του Μπόλτσμαν στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης

Είναι πιθανότερο τα φυσικά συστήματα να μεταβούν από μια κατάσταση τάξης σε μια κατάσταση αταξίας, επειδή απλώς υπάρχουν πολύ περισσότερες καταστάσεις αταξίας απ'ό,τι τάξης.

Ο 2ος Νόμος της Θερμοδυναμικής εξηγεί έτσι γιατί ένα παρατημένο σπίτι βρομίζει κι αραχνιάζει ,ενώ ένα βρώμικο δωμάτιο δεν καθαρίζεται από μόνο του. Επειδή υπάρχουν πολύ περισσότεροι τρόποι για να βρομίσει ή να γίνει "ακατάστατο" ένα δωμάτιο, παρά για να καθαρίσει. Ή ,στο παράδειγμα του αρχαίου θεάτρου που είχα αναφέρει πρόσφατα, υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι να μετατραπεί ένα οικοδόμημα σε ερείπια ,αλλά πρακτικά μόνο μία κατάσταση αρχικής ακεραιότητας/τάξης και ταυτόχρονα μέγιστης πληροφορίας. Οι νόμοι της Θερμοδυναμικής έχουν γίνει μέρος της κατανόησης της ζωής μας επειδή ακριβώς έχουν εφαρμοσιμότητα σε διαφορετικά περιβάλλοντα και καταστάσεις.

Το κοινό ενδιαφέρον των Τζάουλ, Καρνό και Μπόλτσμαν για τη Θερμοδυναμική άλλωστε ,όπως ήδη είδαμε σε ένα γενικό περίγραμμα, εκφράστηκε μέσω τριών διακριτών προσεγγίσεων. Της πρακτικής (Καρνό), της πειραματικής (Τζάουλ), και της θεωρητικής (Μπόλτσμαν).

Τους "ένωσε" όμως και μια κάποια τραγικότητα στην προσωπική τους ζωή.

Ο Καρνό πέθανε σε ηλικία μόλις $36$ χρονών σε μια επιδημία χολέρας, αφού πρώτα η πατρίδα του τον "αντάμειψε" με αποστράτευση άνευ συντάξεως και με μια περίοδο νοσηλείας σε άσυλο λόγω "μανίας"...Λόγω της μεταδοτικής φύσης της φοβερής αρρώστιας , τα περισσότερα από τα λιγοστά υπάρχοντά του αλλά και τα περισσότερα από τα γραπτά του θάφτηκαν μαζί του και χάθηκαν διά παντός.

Ο Τζάουλ ήταν φιλάσθενος από παιδί και ταλανιζόταν από ένα χρόνιο πρόβλημα στη σπονδυλική στήλη μετά από παιδικό τραυματισμό του. Παρότι όπως είδαμε ήταν από πλούσια οικογένεια, τελικά πέθανε πάμφτωχος. Ο πατέρας του, που έμεινε μάλλον με το προαιώνιο παράπονο του γονιού που το παιδί του δεν "ανταποκρίθηκε" στις προσδοκίες (τις "επιχειρηματικές" στην προκειμένη περίπτωση),τουλάχιστον δεν θα μπορούσε να κατηγορήσει τον Τζέημς πως δεν τίμησε το οικογενειακό όνομα. Και πώς το τίμησε! Mε το να γίνει το όνομα Joule ταυτόσημο της μονάδας της Ενέργειας στο διεθνές σύστημα μονάδων (S.I.). 1 Joule ή 1 J ,οριζόμενο στα πλαίσια της Μηχανικής, είναι το Έργο που παράγεται, ή η Ενέργεια που καταναλώνεται, όταν μια δύναμη ενός Νιούτον 1N μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της στη διεύθυνσή της, κατά ένα μέτρο.

Ο Μπόλτσμαν είχε εμφανίσει τάσεις για κατάθλιψη , και αυτοκατατρεχόταν από κάποιο φοβικό σύνδρομο "μη αποδοχής" για τις θεωρίες του και πιθανώς μειωμένης αυτοεκτίμησης. Τελικά αυτοκτόνησε και -ω! της τραγικής ειρωνείας!- η δουλειά του αναγνωρίστηκε με διθυράμβους αμέσως μετά το θάνατό του.

Γιατί όμως αυξάνεται η Εντροπία;

Για να απαντήσουμε σ' αυτό το ερώτημα πρέπει να ξέρουμε να υπολογίζουμε την εντροπία. Και υπολογισμός σημαίνει Μαθηματικά. Ξέρουμε πως η μεταβολή μιας μεταβλητής ποσότητας $x$ συνηθίζεται να συμβολίζεται στα Μαθηματικά με το $\Delta x$. Στη θερμοδυναμική η εντροπία ενός συστήματος συμβολίζεται με $S$ συνήθως. Την αλλαγή λοιπόν στην εντροπία του συστήματος ,είναι φυσικό να τη συμβολίσουμε $\Delta s$. To $\Delta s$ δεν είναι τίποτε άλλο από το σύνολο όλων των απειροστών ποσοτήτων $\Delta Q/T$ σε ένα σύστημα ή πιο τυπικά: το ολοκλήρωμα $dQ/T$, όπου ${\rm T}$ είναι η θερμοκρασία μιας συνιστώσας του συστήματος και $\Delta Q$ είναι η μεταβολή της θερμότητας αυτής της συνιστώσας για θερμοκρασία ${\rm T}$.

Μια ωραία παραστατική ποσοτική περιγραφή υπάρχει στο εξαιρετικό βιβλίο "The Fabric of the Cosmos" του B.Greene, την οποία  και αποδίδω ευθύς:

Aς φανταστούμε πως έχουμε ένα ποτήρι νερό με μερικά παγάκια. Η θερμότητα είναι το "μέτρο" της ταχύτητας των μορίων. Αυτή δηλαδή καθορίζει το πόσο γρήγορα κινούνται τα μόρια. Όταν τα γρήγορα μόρια συγκρούονται με τα αργά, τα πρώτα επιβραδύνονται (χάνοντας θερμότητα) και τα πιο αργά επιταχύνονται (κερδίζοντας θερμότητα). Ας υποθέσουμε πως μία $(1)$ μονάδα θερμότητας μεταφέρεται από μια μικρή ποσότητα νερού με θερμοκρασία $T_1$ σε ένα παγάκι με θερμοκρασία $T_2$. Προφανώς ισχύει $T_2<T_1$.

Η λογιστική της Θερμότητας είναι αλγεβρικής φύσεως. Οι κερδισμένες μονάδες είναι θετικές και οι χαμένες αρνητικές. Έτσι είχαμε μια μεταβολή στην εντροπία ως αποτέλεσμα της απώλειας μονάδων θερμότητας από τη μικρή ποσότητα νερού ίση με $-1/T_1$. Το κέρδος θερμότητας από το παγάκι συμβάλλει στην εντροπία κατά $+1/T_2$. Έχουμε συνολική λοιπόν μεταβολή στην εντροπία λόγω της προαναφερόμενης θερμικής συναλλαγής ίση με: $(-1/T_1)+(1/T_2)$  και είναι θετική, αφού $T_2<T_1$.

Όσο λιώνει ο πάγος και κρυώνει το νερό , καθεμία από αυτές τις συναλλαγές θερμότητας μεταβάλλει την εντροπία κατά μια θετική ποσότητα. Έτσι η εντροπία του συστήματος αυξάνεται.

Κάποια στιγμή ,όλα τα παγάκια θα έχουν λιώσει και το σύστημα θα έχει αποκτήσει ομοιόμορφα κατανεμημένη θερμοκρασία, μ'άλλα λόγια : Θα έχει φτάσει σε ισορροπία. Τότε πλέον δεν μπορούν να γίνουν άλλες συναλλαγές θερμότητας και το ποτήρι με το νερό παρουσιάζει τη μέγιστη εντροπία.

Το σύστημα "Ποτήρι με νερό" δεν είναι παρά μια μικρογραφία του σύμπαντος. Γενικά ,τα θερμά πράγματα κρυώνουν και τα κρύα θερμαίνονται , η εντροπία αυξάνεται ,και βαδίζουμε ολοταχώς προς ένα ζοφερό αλλά ευτυχώς μακρινό μέλλον όπου όλα θα έχουν την ίδια θερμοκρασία και όπου δεν θα μπορούν να γίνουν άλλες ανταλλαγές  θερμότητας , και όπου όλα θα είναι αφόρητα πληκτικά ,αφού τίποτε καινούργιο δεν θα μπορεί να συμβεί. Το φαινόμενο αυτό αποκαλείται "Θερμικός θάνατος του σύμπαντος"

Σαν "παρηγοριά στον άρρωστο" όμως ,έχουμε τουλάχιστον το γεγονός πως η εντροπία δεν αυξάνεται παντού και πάντα. Σύμφωνα με το 2ο νόμο η εντροπία αυξάνεται στις αντιστρέψιμες διαδικασίες ,αλλά ευτυχώς πολλές ενδιαφέρουσες διαδικασίες δεν εμπίπτουν σ' αυτή την κατηγορία.

Η δημιουργία πάγου στο ψυγείο μας ή ας πούμε η γέννηση ενός παιδιού απαιτούν την τοπική μείωση της εντροπίας ,αλλά είναι πάντα εις βάρος της συνολικής αύξησης εντροπίας του σύμπαντος επειδή απλούστατα το σύμπαν πρέπει να παρέχει την ενέργεια για να λειτουργήσει το ψυγείο που θα φτιάξει τα παγάκια ,αλλά και αυτή που απαιτείται για να δημιουργηθεί το παιδί.

Η θερμοδυναμική θεωρία δεν λαμβάνει όμως υπόψιν της το ρόλο που παίζει η Βαρύτητα στην πρόκληση μιας κατά τόπους μείωσης της εντροπίας. Ένα μεγάλο νέφος υδρογόνου ας πούμε ,εξεταζόμενο υπό αυστηρά θερμοδυναμικό πρίσμα και με βάση μόνο τα θερμοδυναμικά του χαρακτηριστικά, είναι ένα σύστημα υψηλής εντροπίας. Αν όμως είναι αρκετά μεγάλο αυτό το νέφος, καταρρέει κάτω από την ίδια του τη βαρύτητα  έως του σημείου που η μάζα του γίνεται τόσο πυκνή ώστε να προκαλέσει θερμοπυρηνική τήξη και να γεννηθεί ένα άστρο. Αν το άστρο αυτό είναι αρκετά μεγάλο, τότε επίκειται μια ακόμη πιο θεαματική μείωση της εντροπίας, μιας και το αστέρι θα εκραγεί τελικά σε μια υπερκαινοφανή έκρηξη (Σούπερνόβα) και μέσω αυτής της συνεχούς διαδικασίας προκύπτουν τα βαριά στοιχεία από τα οποία παράγονται οι πλανήτες και οι ζωντανοί οργανισμοί. Η μοντέρνα Φυσική ίσως δείξει τελικά πως μπορεί και να υπάρχουν κάποιες "ρωγμές" στους νόμους της Κλασικής Θερμοδυναμικής με την πιο κάτω έννοια.

Απεικόνιση Σούπερνόβα

Η πιθανή ύπαρξη πολλών  διαστάσεων και η ενδεχόμενη δυνατότητα "διαρροής" ας πούμε βαρυτικής ενέργειας από τις τρεις διαστάσεις μας σε άλλες, βάζει στο θεωρητικό παιχνίδι μια ενδιαφέρουσα και ελκυστική δυνατότητα. Τη δυνατότητα να υπάρχει ίσως αντιστρόφως, και ενεργειακά "δωρεάν" εισροή πραγμάτων (όπως ας πούμε βαρύτητας) στις δικές μας διαστάσεις από άλλες. Δεν ξέρω πόσο "επιστημονική φαντασία" ακούγονται όλα αυτά ,πάντως δεν πρέπει να ξεχνούμε και τις διδαχές της ιστορίας της επιστήμης που υπαγορεύουν πως κάποια πράγματα, όσο θεμελιώδη και "μόνιμα" και να θεωρούνται, καμιά φορά αλλάζουν και αλλάζουν και εντυπωσιακά. Στο κάτω-κάτω της γραφής, η ίδια η αρχή διατήρησης της ενέργειας έχει αναδομηθεί  από τον μεγάλο Αϊνστάιν . Η πλέον κλασσική και πασίγνωστη εξίσωσή του $E=m{c}^2$ μας δίνει τη "συναλλαγματική ισοτιμία" ύλης και ενέργειας. Μία μονάδα ύλης μετατρέπεται σε $c^2$ μονάδες ενέργειας. Απαραίτητη λοιπόν η επαναδιατύπωση της αρχής διατήρησης ,ως εξής:

To σύνολο ύλης κι ενέργειας διατηρείται σύμφωνα με τον τύπο του Αϊνστάιν , ακριβώς (μιας και έπιασα τα οικονομικά ανάλογα) όπως διατηρείται σταθερή η συνολική αξία κάποιων μετρητών, ασχέτως αν τα έχουμε σε ευρώ ή δραχμές ή δολάρια ... αν και για τα οικονομικά δεν είμαι καθόλου σίγουρος και εμπιστεύομαι τον εαυτό μου ως προς την κατανόησή τους ακόμη λιγότερο απ' ό,τι σε σχέση με την σύγχρονη Φυσική και την Κοσμολογία... :-) Όπως και νά'χει, δεν αποκλείεται στο μέλλον να σημειωθεί μία ακόμη αλλαγή και αυτό είναι ένα από τα μεγαλεία της επιστήμης. Δεν υπάρχουν απόλυτα δόγματα.

H Στατιστική Μηχανική και η "δικιά της" Εντροπία

Θα κλείσω με τον εναλλακτικό περί εντροπίας ορισμό που δίνει η Στατιστική Μηχανική. Η στατιστική μηχανική προέκυψε ουσιαστικά από την ανάγκη διαχείρισης της Πληροφορίας. Σε κάθε μεγάλη συνάθροιση μορίων διαπιστώθηκε πως υφίσταται ένας τεράστιος όγκος διαθέσιμων πληροφοριών. Ας πάρουμε και πάλι το ποτήρι με το νερό μας. Περιέχει τουλάχιστον ${10}^{24}$ μόρια. Το καθένα καταλαμβάνει μια συγκεκριμένη θέση (που απαιτεί τρεις χωρικές συντεταγμένες για να καθοριστεί) και κινείται σε 3 διαφορετικές κατευθύνσεις (με τρία επίσης, διαφορετικά συνιστώντα ανύσματα ταχυτήτων). Ακόμα κι αν μπορούσαμε (που δεν μπορούμε) να έχουμε γνώση όλων αυτών των πληροφοριών για κάθε μόριο στο νερό του ποτηριού, τι στην ευχή θα τις κάναμε; Πώς και Πού θα τις αποθηκεύαμε και πώς θα τις διαχειριζόμασταν; Πληροφοριακός πληθωριστικός εφιάλτης!

Αν κάθε υπολογιστής είχε 1 terabyte  αποθηκευτικού χώρου θα χρειαζόταν ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής για κάθε άνθρωπο πάνω στον πλανήτη , για να αποθηκευτούν  οι πληροφορίες που περιέχει μόνο ένα ποτήρι νερό!
Ευτυχώς η Στατιστική, ένας από τους σπουδαιότερους κλάδους των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, μας είχε ήδη δείξει το δρόμο στο πώς αντιμετωπίζονται με επιτυχία (όταν υπάρχει γνώση και κρίση) και πώς αναλύονται τα δεδομένα μεγάλων συσσωρεύσεων. Ας πούμε η εισοδηματική κατανομή ενός μεγάλου πληθυσμού ,μιας χώρας φερειπείν, δεν αντιμετωπίζεται για κάθε άτομο ξεχωριστά ,γιατί τότε ο όγκος των πληροφοριών θα ήθελε πολλά βιβλία για να καταγραφεί και θα έμενε πρακτικά χωρίς δυνατότητα επεξεργασίας και χρήσης. Γίνονται λοιπόν συγκεντρωτικά εποπτικά διαγράμματα ,χωρίζονται εισοδηματικές κλάσεις, ποσοστά κ.λ.π. και έτσι υπάρχει ένας μπούσουλας για λήψη αποφάσεων και εκτέλεση ενεργειών.

 Η Στατιστική Μηχανική γεννήθηκε όταν συνειδητοποιήσαμε πως παρόμοιες αρχές μπορούν να εφαρμοστούν στη μελέτη των θέσεων και των κινήσεων μεγάλων μοριακών συναθροίσεων.

Οποιαδήποτε μακροκατάσταση ενός συστήματος , όπως το ποτήρι με το νερό και τα παγάκια, είναι μια συνάθροιση μικροκαταστάσεων, δηλαδή θερμοκρασίας, ταχύτητας και θέσης των μεμονωμένων μορίων. Το μέτρο του αριθμού των μικροκαταστάσεων λοιπόν που συνδέονται με κάθε μακροκατάσταση είναι ακριβώς ο ορισμός της εντροπίας ,σύμφωνα με τη Στατιστική Μηχανική.

Σε ένα ποτήρι νερό με παγάκια υπάρχουν λιγότερες μικροκαταστάσεις απ'ό,τι σε ένα ποτήρι με νερό ομοιογενούς θερμοκρασίας, επειδή τα μόρια του πάγου είναι πολύ περιορισμένα (άρα και με εύκολα προσδιορίσιμες παραμέτρους) ως προς την κινητικότητά τους. Έχουν θέση και ταχύτητες περιορισμένες ,ενώ αντίθετα ένα μόριο νερού είναι ελεύθερο να κινηθεί προς κάθε δυνατή κατεύθυνση και να βρεθεί οπουδήποτε. 

Υπό αυτό το πρίσμα , ο 2ος νόμος της Θερμοδυναμικής γίνεται μια διαπίστωση και μια δήλωση Πιθανοτήτων. Είναι πιθανότερο ένα σύστημα να εξελιχτεί προς μια κατάσταση μεγαλύτερης πιθανότητας. Ας θυμηθούμε το τόσο χρήσιμο ζάρι. Όταν ρίχνουμε ένα ζάρι είναι πιθανότερο να φέρει έναν αριθμό μεγαλύτερο από 3 ,και λιγότερα πιθανό να φέρει έναν αριθμό μικρότερο από 3. Κι αυτό βεβαίως ισχύει επειδή υπάρχουν δύο μόνο καταστάσεις "μικρότερου αριθμού" (το 1 και το 2) και τρεις καταστάσεις "μεγαλύτερου αριθμού" (το 4, το 5 και το 6). Ας θυμηθούμε και μια πιθανολογική προσέγγιση που είχα εισαγάγει παλιότερα σε σχέση με το πλήθος των αρρήτων αριθμών σε σύγκριση μ'αυτό των ρητών.
Τι σημαίνει ρητός αριθμός, εκφρασμένος δεκαδικά; Σημαίνει ένας αριθμός με πεπερασμένη δεκαδική αναπαράσταση, π.χ το $0,25$ που είναι το ίδιο με το 0,2500000… ή το 0,3333… ή με περιοδική. Π.χ το $3,37373737\dots$
Ας σκεφτούμε τώρα με όρους πιθανοτήτων. Ας πάρουμε το μολύβι και ας γράψουμε (ρίχνοντας ας πούμε ένα δεκάπλευρο ζάρι για τα 0,1,2,..,9) διαδοχικά ψηφία. Κάθε ψηφίο έχει 1 στις 10 πιθανότητες κάθε φορά για να γραφεί. Πόσο πιθανό είναι να πάρουμε (τυχαία!) ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο; Ή άπειρα μηδενικά μετά από κάποιο ψηφίο;
Ελάχιστα πιθανό! Σίγουρα δε, όσο οι ακολουθίες των ψηφίων μεγαλώνουν αυτή η πιθανότητα τείνει στο $0$. Ε, αυτή η σχεδόν μηδενική πιθανότητα , αυτά τα «απίθανα ή ελάχιστα πιθανά ενδεχόμενα» είναι οι ρητοί αριθμοί και το άπειρό τους. Ό,τι μένει συμπληρωματικά (τα πλέον πιθανά δηλαδή) είναι οι άρρητοι.

Με κάποια ίσως υπερβολή-ας κρίνει σχετικά ο αναγνώστης- θα μπορούσαμε να πούμε πως οι Άρρητοι αντιπροσωπεύουν πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών τις καταστάσεις μεγάλης εντροπίας και μέγιστης πιθανότητας ,και οι ρητοί αυτές της μικρής εντροπίας και της ελάχιστης πιθανότητας. 

 Προκύπτει λοιπόν μια πιθανολογική εξήγηση στο ερώτημα "Γιατί λιώνουν τα παγάκια;"

Υπάρχουν απλά λιγότερες καταστάσεις με ζεστό νερό και παγάκια απ'ό,τι καταστάσεις με χλιαρό νερό ενιαίας θερμοκρασίας. Έτσι ακόμη εξηγείται γιατί τα φυσικά συστήματα τείνουν προς την ισορροπία (και το σύμπαν προς τον θερμικό του θάνατο...) . Επειδή οι εξισορροπημένες καταστάσεις είναι οι καταστάσεις των περισσότερων πιθανοτήτων , και σημειωτέον πως οποιαδήποτε απόκλιση απ'αυτές θα τείνει να εξελιχτεί εκ νέου σε μία κατάσταση περισσότερων πιθανοτήτων.

Ο Στατιστικός όμως χαρακτήρας του 2ου Νόμου ανοίγει μια πόρτα η οποία είναι κλεισμένη ή μάλλον ανύπαρκτη στην κλασική διατύπωση. Ένα σύστημα δεν πρέπει κατανάγκην να βρίσκεται στην κατάσταση της μέγιστης πιθανότητάς του. Απλώς είναι πιθανότερο να βρίσκεται σ'αυτή απ'ό,τι σε μια άλλη κατάσταση. Αυτό είναι πολύ σημαντικό, τουλάχιστον θεωρητικά, γιατί επιτρέπει -όσο τρελό κι αφύσικο κι απίθανο (να ο σωστός όρος!) κι αν ακούγεται αυτό- σε ένα ποτήρι με ομοιόμορφα χλιαρό νερό να  μπορεί μέσω μιας ιδιαίτερα απίθανης μετάβασης να καταλήξει σε ένα ποτήρι με παγάκια μέσα σε καυτό νερό! Περιμένοντας όμως να "κάτσουν" οι πιθανότητες για να γίνει αυτό, μάλλον δεν θα μας έφτανε η εικαζόμενη ηλικία ζωής του γαλαξία μας. Ο παλιός μεγάλος φυσικός Τζωρτζ Γκάμοφ είχε υπολογίσει σε κάποιο θαυμάσιο βιβλίο του (το "One, Two, Three,...,Infinity") το χρόνο που θα απαιτούνταν-με βάση πάντα την πιθανοτική προσέγγιση- για να συμβεί μια παρόμοια τρελή κατάσταση. Το να μαζευτούν όλα τα μόρια του αέρα ενός δωματίου σε μία από τις γωνιές στο ταβάνι ,αφήνοντάς μας να ασφυκτιούμε. Έδειξε ότι θα πρέπει να περιμένουμε,κατά μέσο όρο, ...μια αιωνιότητα και μια μέρα μέχρι να συμβεί αυτή η κατάσταση , αποτέλεσμα εξαιρετικά ανακουφιστικό θα έλεγα. :-)

Γιώργος Ριζόπουλος

Λεμεσός, Σεπτέμβρης 2014

ΥΓ. To κείμενο αυτό αποτελεί προϊόν κοπιαστικής μεν αλλά ευχάριστης προσωπικής δουλειάς. 

Εδώ και κάποιο διάστημα είχα σκοπό να γράψω κάτι παρόμοιο ,αλλά την τελική ώθηση να το κάνω οφείλω να αναγνωρίσω πως μου την έδωσε η πρόσφατη σχετική με το θέμα ανταλλαγή απόψεων που είχα με τους εκλεκτούς σχολιαστές Πάνο και Στράτο. Τους ευχαριστώ από καρδιάς!

Για τη συγγραφή του κειμένου χρησιμοποίησα στοιχεία και αποσπάσματα από κείμενα των Χάινερ Κνοχ, Τζέημς Στάιν και Μπράιαν Γκρην , τα οποία και ενσωμάτωσα στο κείμενο σε δική μου μεταφραστική και εννοιολογική απόδοση και συναρμογή. Εξυπακούεται πως οποιοδήποτε πραγματολογικό ή επιστημονικό σφάλμα (αν και ευελπιστώ πως δεν υπάρχει) βαρύνει αποκλειστικά εμένα. Οποιαδήποτε παρατήρηση ,σχόλιο, υπόδειξη , προσθήκη ή διόρθωση είναι ευπρόσδεκτη.

Γ.Ρ

------------------------------------------------------------------