"Ἄφνω δ'ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον, οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν. Ὁ δ'ὀργισθεὶς καῖ σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν "
Πλούταρχος (Βίος Μάρκελλου, 19,9)
Σημ: To μπρούντζινο καλλιτέχνημα που παριστάνει τον Αρχιμήδη βρίσκεται στο πάρκο του αστεροσκοπείου Αrchenhold στο Τreptow του Βερολίνου, και είναι έργο του μεγάλου καλλιτέχνη-γλύπτη Gerhard Thieme.
O Aρχιμήδης χρειάστηκε κάποτε να υπολογίσει για πρακτικούς λόγους (του χρειαζόταν στις μελέτες του σε σχέση με τις παραβολές) το άθροισμα:
$1+\frac{1}{4} +\frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} +...+\frac{1}{4^ν}$
Τα κατάφερε ,με ένα έξυπνο τρικ ,και είναι η πρώτη περίπτωση υπολογισμού του αθροίσματος (του ορίου ,θα λέγαμε με τη σημερινή ορολογία) μιας απειροσειράς στην Ιστορία!
1600 χρόνια μετά τον Αρχιμήδη, γύρω στα 1300, ο Νικολά ντ' Ορέσμ υπολόγισε το απειροάθροισμα:
$1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} + \frac{1}{4} +\frac{1}{5}...+\frac{1}{ν}$
και βρήκε πως η (αρμονική) αυτή σειρά αποκλίνει. Το άθροισμα των όρων της είναι άπειρο.
Μπορείτε να βρείτε με ποιον τρόπο προσέγγισαν και έλυσαν τα αντίστοιχα απειροαθροίσματά τους οι δύο παλιοί σοφοί; Ας θυμηθούμε μόνον, ότι δεν είχαν στη διάθεσή τους σύγχρονα εργαλεία όπως η έννοια της συνάρτησης και του ορίου. Αυτά αναπτύχθηκαν πολύ αργότερα, αρχικά κυρίως από τον Όϋλερ και στη συνέχεια τελειοποιήθηκαν από τους Κωσύ και Βάιερστρας.
Ζητείται δηλαδή μία ή μάλλον δύο προσεγγίσεις, γιατί είναι άλλη αυτή του Αρχιμήδη και άλλη αυτή του Ορέσμ, που βασίζονται σε απλές αριθμητικές μεθόδους και πράξεις ,και στοιχειώδεις μαθηματικές σκέψεις, σε σύγκριση με τα σημερινά στάνταρντς.
Ομαδοποιώ τους όρους της δοσμένης αρμονικής απειροσειράς 1+1/2+1/3+1/4+..+1/ν ως παρακάτω:
ΑπάντησηΔιαγραφή1+1/2+[1/3+1/4]+[1/5+1/6+1/7+1/8]+[1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16]+[1/19+..>
1+1/2+[1/4+1/4]+[1/8+1/8+1/8+1/8]+[1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16]+[1/32+1/32+..1/32 (16 όροι)]+[1/64+1/64+..=
1+1/2+[2/4]+[4/8]+[8/16]+[16/32]+[32/64]+...=
1+1/2+[1/2]+[1/2]+[1/2]+[1/2]+[1/2]+...
Επειδή τα [1/2] είναι άπειρα (Κάντορ, απειροσύνολα), άρα και το άθροισμα είναι άπειρο, άρα αποκλίνει, άρα κατά μείζονα λόγο αποκλίνει και η δοσμένη σειρά.
Πολύ σωστά. Αυτή ήταν και η σκέψη του Ορέσμ.
ΔιαγραφήΑνάλυση σε υποσειρές όλες μεγαλύτερες από 1/2.
Σειρά 1+1/4+1/4^2+1/4^3+...+1/4^ν
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό πρόγραμμα βρήκα ότι το άθροισμα των όρων της σειράς είναι 1+(1/3), άρα πρέπει να δείξουμε ότι:
Α=1/4+1/4^2+1/4^3+...+1/4^ν=1/3 ή
3Α=3/4+3/4^2+3/4^3+...+3/4^ν=1
θεωρώ ένα τετράγωνο και το χωρίζω σε 4 ίσα τετράγωνα.
Τα 3 από αυτά έχουν εμβαδόν 3/4.
Το 4ο που έμεινε το χωρίζω σε επίσης σε 4 ίσα τετράγωνα, εμβαδού το κάθε ένα 1/4*1/4=1/4^2.
Τα 3 από αυτά έχουν εμβαδόν 3/4^2.
Το εναπομείναν 4ο το χωρίζω επίσης σε 4 ίσα τετράγωνα, το κάθε ένα από αυτά έχει εμβαδόν 1/4*1/16=1/4^3, τα τρία από αυτά 3/4^3, κ.ο.κ συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία γεμίζουμε το αρχικό τετράγωνο με τους όρους της σειράς: 3/4+3/4^2+3/4^3+...+3/4^ν,
άρα 3Α=3/4+3/4^2+3/4^3+...+3/4^ν=1, άρα Α=1/3 και όλη η σειρά έχει άθροισμα 1+1/3
Πού ωραία η σκέψη!Συγχαρητήρια! Δεδομένης της "γεωμετρικότητας" της μεθόδου (ανάλογα απειροαθροίσματα με πεπερασμένο όριο, μπορούν να δειχτούν γεωμετρικά έτσι (με προσέγγιση δεδομένου εμβαδού μέχρι "εξάντλησης"), έχει παλιότερα αναρτήσει κι ο Σωκράτης ωραία widgets σχετικά)πιθανόν αυτή να ήταν η προσέγγιση του Αρχιμήδη! Λέω "πιθανόν" γιατί η πηγή μου ,που είναι ο Δρ.Μαθηματικών και ειδικός στον απειροστικό λογισμό και την Ιστορία του, Dr. A. Durán αναφέρει ότι ο τρόπος που το υπολόγισε ο Αρχιμήδης, αν και κατά βάση ως ιδέα είναι το ίδιο θεωρώ, αλλά σαν μέθοδος κάπως διαφέρει, καθότι περιορίζεται σε αριθμητική.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓράφεθ λοιπόν ο Ντουράν πως ο Αρχιμήδης σκέφτηκε να πολλαπλασιάσει το άθροισμα με το (1-1/4) που είναι 3/4.
(1+1/4 +1/4^2+...)*(1-1/4)=
=1+1/4 +1/4^2+...+1/4^ν -(1/4)*(1+1/4+1/4^2+..)
=1+1/4 +1/4^2+1/4^3+...-1/4-1/4^2-1/4^3-...
=1.
Και καθώς 1-1/4= 3/4 προκύπτει Σαρχικό=4/3 που είναι και το ζητούμενο (όριο).