Αλγεβρικές Ταυτότητες για Συμμετρικές Εξισώσεις

Αν $a+b=k$ και $ab=p$, όπου $k,p\in \mathbb{R},\mathbb{C}$, τότε ισχύουν οι παρακάτω ταυτότητες: 

• $a-b=\pm \sqrt{k^2-4p}$ 
• $a^2+b^2=k^2-2p$
• $a^2-b^2=\pm k\sqrt{k^2-4p}$ 
• $a^3+b^3=k^3-3pk$
• $a^3-b^3=\pm \sqrt{k^2-4p}[(k^2-p)$
• $a^4+b^4=k^4+2p^2-4k^{2}p$
• $a^4-b^4=\pm \sqrt{k^2-4p}[(k^3-2pk)$
• $a^5+b^5=k^5+5k{p}^2-5k^{3}p$
• $a^5-b^5=\pm \sqrt{k^2-4p}[(k^4-3k^{2}p+p^2)]$
• $a^6+b^6=k^6+9k^2{p}^2-6p{k}^4-2p^3$
• $a^6-b^6=\pm \sqrt{k^2-4p}[(k^5+3k{p}^2-4k^{3}p)]$
• $a^7+b^7=k^7-7k^{5}p+14k^3{p}^2-7k{p}^3$
• $a^7-b^7=\pm \sqrt{k^2-4p}[(k^6-5k^{4}p+6k^2{p}^2-p^3)]$
• $a^8+b^8=k^8-8k^{6}p+20k^4{p}^2-16k^2{p}^3+2p^4$
• $a^8-b^8=\pm \sqrt{k^2-4p}[(k^7-6k^{5}p+10k^3{p}^2-4k{p}^3)]$
• $a^9+b^9=k^9-9k^{7}p+27k^5{p}^2-30k^3{p}^3+9k{p}^4$
• $a^9-b^9=\pm \sqrt{k^2-4p}[(k^2-4p)(k^2-p{)}^3+3p^3(k^2-p)]$
• $a^{10}+b^{10}=k^{10}-10k^{8}p+35k^6{p}^2-50k^4{p}^3+25k^2{p}^4-2p^5$