Απόδειξη ταυτότητας

Μπορούμε να αποδείξουμε την ταυτότητα 

$𝑥^ 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥^ 2 + 𝑥 + 1)$ 

απλά αντικαθιστώντας στο χ μερικές τιμές? Η απάντηση είναι: Ναι!

Απόδειξη

Έστω το πολυώνυμο 

$𝑝(𝑥) = 𝑥^3 − 1 − (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1)$ 

τότε 

$𝑝(0) = 0^ 3 − 1 − (0 − 1)(0^ 2 + 0 + 1) = 0 $

$𝑝(1) = 1^ 3 − 1 − (1 − 1)(1^ 2 + 1 + 1) = 0 $

$𝑝(2) = 2^ 3 − 1 − (2 − 1)(2^ 2 + 2 + 1) = 0 $

$𝑝(3) = 3^ 3 − 1 − (3 − 1)(3^ 2 + 3 + 1) = 0$ 

Το $𝑝(𝑥)$ είναι τρίτου βαθμού και έχει τέσσερις ρίζες.Άρα $𝑝(𝑥) ≡ 0$, οπότε 

$𝑥^ 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 ^2 + 𝑥 + 1)$ !