Απόδειξη ταυτότητας

Μπορούμε να αποδείξουμε την ταυτότητα 

${𝑥}^3-1=(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)$ 

απλά αντικαθιστώντας στο χ μερικές τιμές? Η απάντηση είναι: Ναι!

Απόδειξη

Έστω το πολυώνυμο 

$𝑝(𝑥)={𝑥}^3-1-(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)$ 

τότε 

$𝑝(0)=0^3-1-(0-1)(0^2+0+1)=0$

$𝑝(1)=1^3-1-(1-1)(1^2+1+1)=0$

$𝑝(2)=2^3-1-(2-1)(2^2+2+1)=0$

$𝑝(3)=3^3-1-(3-1)(3^2+3+1)=0$ 

Το $𝑝(𝑥)$ είναι τρίτου βαθμού και έχει τέσσερις ρίζες.Άρα $𝑝(𝑥)\equiv 0$, οπότε 

${𝑥}^3-1=(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)$ !