Στο διάβα της ιστορίας, το πιο προβληματικό χαρακτηριστικό του Βιβλίου Ι των Στοιχείων είναι το αμφιλεγόμενο αίτημα των παραλλήλων.
Το πρόβλημα δεν ανέκυψε επειδή κάποιος αμφισβήτησε ότι το αίτημα των παραλλήλων έπρεπε να είναι αληθές. Αντιθέτως, υπήρξε παγκόσμια συναίνεση ότι το αίτημα ήταν μια λογική αναγκαιότητα. Σε τελική ανάλυση, η γεωμετρία ήταν ένας αφηρημένος τρόπος περιγραφής του σύμπαντος – ένα είδος “καθαρής φυσικής” – και ασφαλώς η φυσική πραγματικότητα υπαγόρευε την αλήθεια του αιτήματος των παραλλήλων.
ΑΙΤΗΜΑ 5
Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ζεύγος γωνιών “εντός και επί τα αυτά” με άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών, τότε οι ευθείες, αν προεκταθούν επ’ άπειρον, τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.
Έτσι, δεν ήταν η αναγκαιότητα της δήλωσης του Ευκλείδη η οποία αμφισβητήθηκε. Μάλλον ήταν η ταξινόμησή της ως αιτήματος αντί πρότασης.
Ο κλασικός συγγραφέας Πρόκλος συνόψισε αυτή την άποψη με το σχόλιο: “Τούτο [το πέμπτο αίτημα] θα έπρεπε να διαγραφεί από τα αιτήματα, διότι πρόκειται για θεώρημα…”.
Αυτή η πεποίθηση δεν προκαλεί έκπληξη. Κατ’ αρχάς – και αυτό ίσως πράγματι να ενόχλησε τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες – το αίτημα ηχούσε σαν πρόταση, διότι η διατύπωσή του καταλάμβανε το μεγαλύτερο μέρος ολόκληρης παραγράφου. Επιπλέον, ο Ευκλείδης όχι μόνο έμοιαζε να αποφεύγει όσο μπορούσε τη χρήση του αιτήματος, αλλά κατάφερε να αποδείξει ορισμένα αρκετά πολύπλοκα αποτελέσματα χωρίς αυτό.
Για όλα αυτά φαίνεται πως αποτελούσε πολύ καλό λόγο η αναζήτηση μιας απόδειξης του Αιτήματος 5.
Αναρίθμητοι μαθηματικοί δοκίμασαν τις ικανότητές τους στην επινόηση μιας απόδειξης. Δυστυχώς, τα χρόνια απογοήτευσης έγιναν δεκαετίες και κατόπιν αιώνες αποτυχίας.
Η απόδειξη συνέχισε να διαφεύγει.
Αυτό που έκαναν οι γεωμέτρες στην πορεία ήταν να βρουν μια πληθώρα νέων αποτελεσμάτων που ήταν λογικώς ισοδύναμα με το αίτημα των παραλλήλων.
Πιο κάτω παραθέτουμε τέσσερα από τα πιο διάσημα ισοδύναμα του αιτήματος των παραλλήλων. Οφείλουμε να τονίσουμε ότι, εάν οποιοδήποτε από αυτά είχε αποδειχθεί μέσω των αιτημάτων 1 έως 4, τότε θα είχε αποδειχθεί και το πέμπτο αίτημα.
Το αξίωμα του Πρόκλου: Εάν μια ευθεία τέμνει μια από δυο παραλλήλους, τότε πρέπει να τέμνει και την άλλη.
Το αίτημα της ισαπέχουσας: Δυο παράλληλες ευθείες πάντα ισαπέχουν.
Το αίτημα του Πλέιφερ: Από ένα σημείο που δεν κείται επί δοθείσης ευθείας, μπορεί να αχθεί μία και μόνο μία ευθεία παράλληλη προς τη δοθείσα.
Το αίτημα του τριγώνου: Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με δύο ορθές.
Σε πείσμα αυτών των λογικών ισοδύναμων, η φύση του αιτήματος των παραλλήλων παρέμεινε αξεδιάλυτη μέχρι την Αναγέννηση και καθ’ όλη τη διάρκειά της.
Όποιος αποδείκνυε το αίτημα των παραλλήλων θα εξασφάλιζε αιώνια φήμη στα χρονικά των μαθηματικών.
Κάποιες φορές η απόδειξη έμοιαζε να είναι βασανιστικά κοντά, ωστόσο διέφευγε των προσπαθειών των καλύτερων μαθηματικών μυαλών του κόσμου.
Τότε, στις αρχές του 19ου αιώνα, τρεις μαθηματικοί είχαν ταυτόχρονα εκείνη την έκλαμψη που ήταν αναγκαία ώστε να δουν το πρόβλημα στις πραγματικές διαστάσεις του.
Ο πρώτος ήταν ο ασύγκριτος Καρλ Φρήντριχ Γκάους (1777 – 1855).
Ο Γκάους αναδιατύπωσε το πρόβλημα βάσει των μοιρών των γωνιών ενός τριγώνου. Επιθυμώντας να αποδείξει ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να ισούται με 180°, υπέθεσε για χάρη του επιχειρήματος ότι αυτό δεν ισχύει. Έτσι κατέληξε σε δύο εναλλακτικές λυσεις: ότι το άθροισμα των γωνιών είναι είτε μεγαλύτερο είτε μικρότερο των 180°.
Στη συνέχεια μελέτησε αμφότερες τις περιπτώσεις.
Κάνοντας χρήση του γεγονότος ότι οι ευθείες έχουν άπειρο μήκος (υπόθεση την οποία είχε κάνει έμμεσα και ο Ευκλείδης, και κανείς έως τότε δεν είχε αμφισβητήσει), ο Γκάους διαπίστωσε ότι η περίπτωση το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου να υπερβαίνει τις 180° οδηγούσε σε λογική αντίφαση. Έτσι, η περίπτωση αυτή ουσιαστικά απορριπτόταν.
Αν κατάφερνε με παρόμοιο τρόπο να απαλλαγεί και από τη δεύτερη περίπτωση, θα είχε θεμελιώσει, έμμεσα, την αναγκαιότητα του αιτήματος των παραλλήλων.
Ξεκινώντας από την υπόθεση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180°, ο Γκάους άρχισε να εξάγει συμπεράσματα τα οποία ήταν αρκετά παράξενα, φαινομενικά αλλόκοτα και αντίθετα στη διαίσθηση. Ωστόσο, ο Γκάους δεν βρήκε πουθενά τη λογική αντίφαση που αναζητούσε. Το 1824, συνόψισε την κατάσταση λέγοντας
… ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δεν μπορεί να είναι μικρότερο από 180° … αυτός είναι… ο ύφαλος στον οποίο ναυαγούν όλα τα σκάφη.
Βαθμιαία, καθώς ο Γκάους αναδιφούσε ολοένα και βαθύτερα σε αυτή την παράξενη γεωμετρία, πείστηκε ότι δεν υπήρχε καμία λογική αντίφαση.
Αντίθετα, άρχισε να αισθάνεται ότι ανέπτυσσε όχι μια μη συνεπή, αλλά μια εναλλακτική γεωμετρία, μια “μη ευκλείδεια” γεωμετρία, όπως την αποκάλεσε ο ίδιος, ο οποίος έγραψε σε μια ιδιωτική επιστολή το 1824:
Η υπόθεση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180° οδηγεί σε μια περίεργη γεωμετρία, αρκετά διαφορετική από τη δική μας, αλλά εντελώς συνεπή, την οποία έχω αναπτύξει προς μεγάλη ικανοποίησή μου.
Στη συνέχεια ήρθε στο προσκήνιο ο Ούγγρος μαθηματικός Γιάνος Μπόλιαϊ (Janos Bolyai, 1802 – 1860). Ο πατέρας του, ο Φάρκας Μπόλιαϊ, υπήρξε συνεργάτης του Γκάους και είχε ο ίδιος αφιερώσει μεγάλο μέρος της ζωής του σε μια μάταιη προσπάθεια να αποδείξει το αίτημα του Ευκλείδη.
Σε ηλικία που συχνά οι γιοι του ακολουθούσαν το επάγγελμα των πατέρων τους – είτε αυτό ήταν κληρικός είτε παπουτσής ή αρχιμάγειρας –, ο νεαρός Μπόλιαϊ τον ακολούθησε στη μάλλον εσωτερική προσπάθεια να αποδειχθεί το αίτημα των παραλλήλων. Ωστόσο, ο Φάρκας γνώριζε πολύ καλά τις δυσκολίες μιας τέτοιας σταδιοδρομίας και έγραψε στον γιο του την εξής έντονη προειδοποίηση:
Δεν πρέπει να δοκιμάσεις αυτή την προσέγγιση στις παραλλήλους.
Γνωρίζω αυτόν τον δρόμο μέχρι το τέλος του. Έχω περάσει μέσα απ’ αυτή την αβυσσαλέα νύχτα, η οποία έσβησε κάθε φως και κάθε χαρά της ζωής μου… Σε εκλιπαρώ, άφησε ήσυχη την επιστήμη των παραλλήλων.
ΤΑ ΜΕΓΑΛΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Ένα ταξίδι στη μεγαλοφυΐα
William Dunham
Πηγή: lecturesbureau
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου