Ασυμπτωτική Ανάλυση και Εφαρμογές του Νόμου του Stirling

Το όριο$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{n}n!}{n^n\cdot \sqrt{n}}=\sqrt{2\pi }$$ βασίζεται στην ασυμπτωτική προσέγγιση του παραγοντικού $n!$ μέσω του Νόμου του Stirling.

Νόμος του Stirling

Ο Νόμος του Stirling είναι μια προσέγγιση του παραγοντικού $n!$ για μεγάλες τιμές του $n$, και εκφράζεται ως: $$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$$ Εξήγηση του Ορίου 

Χρησιμοποιώντας την ασυμπτωτική προσέγγιση από τον Νόμο του Stirling, μπορούμε να αποδείξουμε ότι: $$\frac{e^{n}n!}{n^n\cdot \sqrt{n}}\sim \sqrt{2\pi }$$ καθώς $n\to \mathrm{\infty }$. 

Το αποτέλεσμα αυτό έχει σημαντικές εφαρμογές: 

• Θεωρία Πιθανοτήτων: Χρησιμοποιείται για προσεγγιστικούς υπολογισμούς πιθανοτήτων. 
• Συνδυαστική: Βοηθά στην ανάλυση προβλημάτων που περιλαμβάνουν παραγοντικά. 
• Ανάλυση: Εμφανίζεται σε ολοκληρώματα με εκθετικούς και παραγοντικούς όρους.